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來(lái)源：本文譯自http://www./portfolio/，中譯文曾發(fā)表于 《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊》2017 年第 1 期。大雅之美：十位大數(shù)學(xué)家心中最美的公式牛頓法Stephen Smale (史蒂文·斯梅爾)  上圖中的表達(dá)式是牛頓法的一個(gè)數(shù)學(xué)描述。 早在牛頓之前，該思想就已經(jīng)被希臘人用來(lái)尋找一個(gè)正數(shù)的平方根。自牛頓以后，該迭代式被更廣泛地用來(lái)求解方程 的近似解。在我的早期數(shù)學(xué)生涯中，我為這個(gè)問(wèn)題而著迷——為什么這個(gè)迭代法是如此快速和有效，它的局限性又是什么。 在 是一個(gè)多項(xiàng)式的特殊情況下，代數(shù)學(xué)基本定理認(rèn)為方程 有解。解 可能是一個(gè)實(shí)數(shù)或者是一個(gè)虛數(shù)。在 19 世紀(jì)早期，高斯就基于一個(gè)算法，給出了上述解存在性定理的證明，該算法可以通過(guò)多次運(yùn)用牛頓法來(lái)完成（他的證明里有一處邏輯跳躍）。我 1981 年的文章 “代數(shù)學(xué)基本定理和復(fù)雜性理論”（The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory）就基于牛頓方法，并與高斯的想法相關(guān)。 在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，計(jì)算理論的中心問(wèn)題是討論算法的計(jì)算復(fù)雜度；在該理論中，如果某個(gè)問(wèn)題可解，意味著存在一個(gè)計(jì)算機(jī)算法能夠?qū)Υ藛?wèn)題進(jìn)行求解。而且，執(zhí)行該算法所花費(fèi)的總指令的數(shù)目是算法輸入大小的多項(xiàng)式函數(shù)。一方面，我通過(guò)從計(jì)算機(jī)學(xué)科所討論的這個(gè)問(wèn)題獲得靈感。另一方面，我發(fā)現(xiàn)，牛頓法的復(fù)雜性分析并且依賴于算法復(fù)雜度的計(jì)算形式。 在上面提到的文章中，我利用了算術(shù)運(yùn)算的頻次，而不是計(jì)算機(jī)指令執(zhí)行的頻次，來(lái)計(jì)算算法的復(fù)雜度。此外，數(shù)值分析中 “條件數(shù)” 的概念，在我根據(jù)計(jì)算復(fù)雜度理論進(jìn)行代數(shù)學(xué)基本定理研究時(shí)，扮演了重要角色。我在對(duì)復(fù)雜度的新觀點(diǎn)下，展現(xiàn)了給定問(wèn)題的可解性。 尋找一個(gè)多項(xiàng)式零點(diǎn)的問(wèn)題，可以自然地推廣到一個(gè)多項(xiàng)式方程組求解問(wèn)題。在處理這個(gè)擴(kuò)展問(wèn)題時(shí)，邁克·沙勃（Mike Shub）與我合作發(fā)表了系列論文，我們稱之為 “貝祖定理的復(fù)雜性”（Complexity of Bezout's Theorem）。我們的目標(biāo)是，通過(guò)找到一種能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求出近似解的算法，使該問(wèn)題可解。但我們的這項(xiàng)努力以失敗告終，直到今天它仍然是一個(gè)重要的公開問(wèn)題。然而，彼得·比爾吉斯?fàn)枺≒eter Burgisser）和菲利普·卡克（Felipe Cucker）最近發(fā)表于《數(shù)學(xué)年刊》（Annals ofMathematics）的文章，已經(jīng)很接近該問(wèn)題的解。研究中，他們參考了卡洛斯·貝爾特蘭（Carlos Beltran）和路易斯·帕爾多（Luis Pardo）的研究思路，同時(shí)牛頓法在他們的工作中無(wú)疑發(fā)揮了重要作用。 蘭諾·布萊姆（Lenore Blum）加入了邁克·沙勃和我的團(tuán)隊(duì)，我們一起將計(jì)算機(jī)科學(xué)的圖靈機(jī)一般化，給予零點(diǎn)尋找研究以基本支持。我們的三人項(xiàng)目的相關(guān)實(shí)數(shù)算法已根植于多項(xiàng)式時(shí)間，NP - 完全性，可解性的環(huán)境，并且這一切非常有意義。最終，菲利普·卡克與我們合作撰寫了《復(fù)雜性與實(shí)計(jì)算》（Complexity and Real Computation）。其中的參考文獻(xiàn)之一是我著作集第 3 卷的第 650 頁(yè)。 約翰·濟(jì)慈（John Keats）寫道，“美即真，真即美……”他還寫道 “美的事物永遠(yuǎn)是賞心悅目的。” 我在此補(bǔ)充一點(diǎn)，美是簡(jiǎn)潔和深刻的。我希望，我的幾句話會(huì)使你相信，牛頓法是大美的體現(xiàn)。 譯者：崔繼峰，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 校譯：賈挺杰，邵美悅 安培定律Simon Donaldson  我的很多研究工作涉及到微分幾何中和數(shù)學(xué)物理相關(guān)的一些課題與四維空間拓?fù)涞慕徊?。黑板上的?nèi)容想部分地通過(guò)與三維空間的類比，闡明這其中的一些想法。 圖示的主題是電磁學(xué)的安培定律，這圖大概和讀者在標(biāo)準(zhǔn)物理課本中所見類似。左上用粗體黑線表示電流 流過(guò)一個(gè)封閉線圈。小的箭頭則表示電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng) 。在二維這對(duì)應(yīng)于將鐵屑散落在一張紙上所形成的圖樣。磁場(chǎng)在每點(diǎn)都有定義，因此我們應(yīng)該想象每一點(diǎn)都有一個(gè)小箭頭表示磁場(chǎng)，只不過(guò)在圖示時(shí)我們只畫出一些作示意。用普通的語(yǔ)言陳述左圖這個(gè)基本的物理現(xiàn)象就是，電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向 “環(huán)繞” 線圈，安培定律則對(duì)此給出了一個(gè)精確的定量刻畫。 向量場(chǎng)這個(gè)概念，比如磁場(chǎng)（或者電流，看作被局限為沿著線圈），是 19 世紀(jì)早期數(shù)學(xué)物理中一個(gè)非常重要的觀念進(jìn)展。它為描述電、磁、重力等提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架。這其中有一個(gè)重要的概念是向量場(chǎng)通過(guò)某一曲面的通量。數(shù)學(xué)上，這個(gè)定義由曲面積分給出；而直觀上，可以把向量場(chǎng)想象成某個(gè)流體在每點(diǎn)的流速，那么通量就是流體流過(guò)該曲面的流速。 安培定律的 “積分形式”可表述為：由電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)繞一曲面的邊界曲線的環(huán)量等于電流通過(guò)該曲面的通量。黑板中心橫穿線圈的小圓盤給出了這樣一個(gè)曲面的示意。安培定律的 “微分形式” 就是黑板右下方的一組方程：電流在空間 坐標(biāo)下的三個(gè)分量可以分別表為磁場(chǎng)在空間 坐標(biāo)下的三個(gè)分量的導(dǎo)數(shù)組合。 這個(gè)黑板試圖傳達(dá)我認(rèn)為數(shù)學(xué)中一些非常美妙的方面。左邊是一些圖片和文字，右邊是一組方程。他們是同一個(gè)事物的不同描述，引發(fā)不同角度的理解：圖形的和符號(hào)的。更進(jìn)一步，這個(gè)圖示代表一個(gè)具體的物體——真實(shí)世界中的一個(gè)帶電流的銅線圈。數(shù)學(xué)家畫同樣的示意圖，但是它可以不僅僅代表一個(gè)在三維空間中的一維線圈。通過(guò)想象，它也可以代表一個(gè)在七維空間中的三維對(duì)象，甚至是在無(wú)窮維空間中的對(duì)象。這種從我們物理直覺到抽象情形的拓展具有顯著的有效性。在頭腦中這種直覺的，圖形的，符號(hào)的和抽象的交互思維非常美妙且令人愉悅。 所有這些和拓?fù)鋵W(xué)（一種研究對(duì)象在連續(xù)形變下保持不變的性質(zhì)的學(xué)科）又有什么關(guān)系呢？示意圖中，打結(jié)的閉合線圈暗示著這種聯(lián)系。一個(gè)扭結(jié)就是一個(gè)封閉線圈但你無(wú)法通過(guò)連續(xù)形變（即不允許剪開和粘合）把它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的圓圈。這是一種我們憑經(jīng)驗(yàn)可以理解但在數(shù)學(xué)上不容易精確闡明的概念。很容易想見，這樣的扭結(jié)可以有任意的復(fù)雜度，致使拓?fù)鋵W(xué)變得相當(dāng)微妙。具體來(lái)說(shuō)，存在一種扭結(jié)到四維空間的聯(lián)系：扭結(jié)自身暗含了如何按一定的方式將標(biāo)準(zhǔn)四維空間構(gòu)建粘合成一個(gè)新的四維空間的信息。 黑板所示當(dāng)然更多地側(cè)重于思想而非背后精確的數(shù)學(xué)。它想傳遞的思想是，研究一個(gè)扭結(jié)閉合電路產(chǎn)生的磁場(chǎng)是和扭結(jié)以及四維空間的拓?fù)溆嘘P(guān)聯(lián)的。在過(guò)去的三十年間，確有許許多多契合這種思想的研究進(jìn)展，盡管他們細(xì)節(jié)不盡相同。例如這些發(fā)展涉及到將電磁場(chǎng)論推廣到 “楊－米爾斯場(chǎng)”，以及和量子力學(xué)、量子場(chǎng)論建立聯(lián)系。這一點(diǎn)用左下角的磁場(chǎng)通過(guò)一個(gè)小圓盤的通量來(lái)示意。這個(gè)量在經(jīng)典的電磁學(xué)中沒(méi)有什么意義（就作者所知），但在磁場(chǎng)與電子的“波函數(shù)” 相互作用的量子理論里是核心。 三維和四維有什么特殊之處呢？這在拓?fù)鋵W(xué)中是個(gè)深刻的問(wèn)題。結(jié)果表明，維數(shù)大于 4 的空間在許多方面都更容易理解。我們甚至無(wú)需搞清楚問(wèn)題的具體含義，就可以通過(guò)所展示的方程式來(lái)體會(huì)三維的特殊性。右邊后兩個(gè)方程可以由循環(huán)重排三個(gè)坐標(biāo) 依次得到。這件事依賴于 中恰有三個(gè)對(duì)：。我們可以把電磁學(xué)形式地推廣到高維，這樣磁場(chǎng)就不再是一個(gè)向量場(chǎng)，而是一個(gè)更復(fù)雜的對(duì)象。三維的特殊性就在于，磁場(chǎng)和電場(chǎng)同樣都是向量場(chǎng)。四維中有類似的推廣，也是基于四維特殊的拓?fù)湫再|(zhì)。從本質(zhì)上理解這些是一個(gè)極具吸引力的問(wèn)題，而我們目前大概也只是看到了最終真理的一些影子罷了。在這里，我們還從中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的另一個(gè)美妙所在：不同領(lǐng)域之間產(chǎn)生的令人驚訝而神秘的聯(lián)系，以及那些交織在那些看似簡(jiǎn)單并充分理解中的完全未知。 譯者：來(lái)米加，上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 校譯：林開亮 指標(biāo)定理Sir Michael Atiyah  數(shù)學(xué)既是一門藝術(shù)，也是一門科學(xué)，而美在其中扮演至關(guān)重要的角色，這是數(shù)學(xué)家眾所周知的事實(shí)。偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾（Hermann Weyl）是我心目中的一個(gè)英雄。他說(shuō)：“我的工作總是試圖將真和美統(tǒng)一起來(lái)，如果我必須做出抉擇，我常常選擇美。” 我覺得他講得非常好。 數(shù)學(xué)是最精準(zhǔn)的科學(xué)，它致力于發(fā)現(xiàn)真理，外爾的話貌似有些荒誕，甚至帶有挑釁的感覺——好像只是一句半開玩笑的話。但是我相信，外爾講這句話的時(shí)候是非常認(rèn)真的。在外爾的話中有一個(gè)明顯的悖論，我們尋求客觀真理，可是任何時(shí)候，真理都是不確定的，是暫時(shí)的。然而美是一種主觀體驗(yàn)， “情人眼里出西施”，我們相信美是指引我們找到真理的光。 何為數(shù)學(xué)之美？是否與藝術(shù)之美、音樂(lè)之美、詩(shī)歌之美類似？維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）表面上是一個(gè)嚴(yán)肅的分析學(xué)家，他卻曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“如果沒(méi)有一顆詩(shī)人般的靈魂，就不可能成為完全的數(shù)學(xué)家?！?/span> 這樣的表達(dá)對(duì)門外漢而言是難以理解的，然而我也曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，著名的歐拉公式π 也許最可與數(shù)學(xué)比肩的一種藝術(shù)形式就是建筑了，其中有充滿精美細(xì)節(jié)的宏觀視野，實(shí)體基礎(chǔ)和功能效用都是其本質(zhì)組成。 我選擇這樣一個(gè)方程來(lái)闡釋我自己的工作美妙之處，它宏偉壯觀，它歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，它與數(shù)學(xué)的許多分支有多重聯(lián)系，包括：拓?fù)洌瑤缀?，分析。但是其表述之精巧?xì)節(jié)，其簡(jiǎn)潔性使人們忽略了掩于其中的深度，只有真正領(lǐng)會(huì)的學(xué)者方能明白。 就像一座有三層塔的建筑，這個(gè)方程有三項(xiàng)，這三項(xiàng)分屬數(shù)學(xué)的不同部分，卻以一種驚人的方式聯(lián)系在一起。就像偉大的建筑學(xué)家一樣，它也有自己的特征，可以追根溯源至很久以前，展現(xiàn)了當(dāng)今最先進(jìn)的技術(shù)，同時(shí)又指向未來(lái)。 這個(gè)方程的前身與許多歷史上主流問(wèn)題都有聯(lián)系：歐拉的柯尼斯堡七橋問(wèn)題，黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)以及高斯測(cè)地。這些故事充滿詩(shī)意，但是未來(lái)與歷史同樣重要。許多主流分支已經(jīng)消失，只有少數(shù)流傳至今。 大約四十年前，我發(fā)現(xiàn)了這個(gè)方程，自那時(shí)起，人們就發(fā)現(xiàn)它在基礎(chǔ)物理中有讓人意想不到的令人神魂顛倒的應(yīng)用，這一點(diǎn)外爾應(yīng)該是理解的，并且會(huì)很欣賞。事實(shí)上，其中許多關(guān)鍵的想法都可以追溯到外爾本人的工作。 最后，就我個(gè)人而言，我用此方程與我的同事進(jìn)行了廣泛合作：波恩的赫茲布魯赫（Fritz Hirzebruch），哈佛的博特（Raoul Bott），MIT（麻省理工學(xué)院）的辛格（Is Singer）和孟買的帕托迪（Vijay Patodi）。像許多天才詩(shī)人一樣，帕托迪也英年早逝。 美是一種人生體驗(yàn)，最美不過(guò)與朋友共賞。 譯者：邵紅亮，重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 校譯：林開亮 Ree 群公式Enrico Bombieri1  數(shù)學(xué)中存在美嗎？這個(gè)問(wèn)題關(guān)心的是數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系，可被驗(yàn)證的證明即真正的數(shù)學(xué)對(duì)象。數(shù)學(xué)家通常會(huì)贊同，在定理和證明的結(jié)構(gòu)之中的確存在著美，即便大多數(shù)時(shí)候這種美只有數(shù)學(xué)家自己才能看得到。 群的概念漂亮地表達(dá)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱。群是什么？考慮任意一個(gè)對(duì)象，不論它是具體的還是抽象的。該對(duì)象的一個(gè)對(duì)稱——數(shù)學(xué)的行話叫自同構(gòu)——就是該對(duì)象到自身的一個(gè)保持它的所有性質(zhì)的映射。兩個(gè)對(duì)稱的乘積，即兩個(gè)映射的復(fù)合，仍然是一個(gè)對(duì)稱，而且每個(gè)對(duì)稱都有一個(gè)倒過(guò)來(lái)的逆。數(shù)學(xué)家認(rèn)為連續(xù)的 Lie 群——譬如圓周或球面的旋轉(zhuǎn)群——是很大一部分?jǐn)?shù)學(xué)和物理的漂亮基礎(chǔ)。除了連續(xù)的 Lie 群，還有不連續(xù)的有限群和離散群；有一些是通過(guò)將 Lie 群約化到一個(gè)有限或離散的框架下得到的。 群可以極其復(fù)雜。給定一個(gè)群，也許會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，存在從該群到另一個(gè)群的一個(gè)保持乘積結(jié)構(gòu)的映射。一個(gè)群稱為單群，如果這樣一個(gè)映射的像要么是該群的一個(gè)復(fù)本要么是只有一個(gè)元素（恒同映射）的平凡群。單群是構(gòu)建所有群的基本積木，因此在研究任意群時(shí)，知道所有的單群非常重要。對(duì)稱的一般有限群首次出現(xiàn)在 évariste Galois 關(guān)于代數(shù)方程的工作中。Galois 在 18 歲時(shí)就證明了五次一般代數(shù)方程不可通過(guò)代數(shù)操作求解，其論證要點(diǎn)是，作用在 5 個(gè)字母 上的偶置換（即由偶數(shù)個(gè)對(duì)換相乘得到的置換）群是單群。這個(gè)群是最小的非交換的單群，同時(shí)也是正二十面體的對(duì)稱群。正二十面體是一個(gè)非常漂亮的幾何對(duì)象！可以想見，單群可以描述為一些特殊幾何對(duì)象的對(duì)稱群。然而，研究一個(gè)抽象化、假設(shè)出的單群，其困難恰恰包含了從其內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)構(gòu)造出一個(gè)豐富的幾何對(duì)象。迄今為止，羅列出所有有限單群的分類定理的完全證明占據(jù) 3000 多頁(yè)篇幅，匯聚了一百多位數(shù)學(xué)家近四十年的努力。 源自 Lie 群的有限單群系列很容易就發(fā)現(xiàn)了，只有三個(gè)例外。這些系列不是來(lái)自實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，而是來(lái)自特征為 的有限域，這里 是一個(gè)素?cái)?shù)。在特征為 的有限域里，仍然可以做普通的算術(shù)，不過(guò)，一個(gè)數(shù)用 去乘總是得到 。一切都很順利，即便可能沒(méi)那么容易，除了數(shù)學(xué)家 Ree 的發(fā)現(xiàn)——特征 2 下的 Lie 群 和 和特征 3 下的 也存在額外的對(duì)稱，它們可以得到新的單群系列，今天我們稱之為 twisted Ree 群——留下的問(wèn)題：twisted 群及其唯一性之前由 Suzuki 通過(guò)完全不同的方法得到， 情形的唯一性也得到了，但 情形則難以捉摸。 經(jīng)過(guò) Thompson 的艱苦努力，的唯一性問(wèn)題歸結(jié)為，證明特征為 3 的有限域上的某個(gè)滿足一組極其復(fù)雜的多元方程組的變換 ，具有性質(zhì)其平方 作用于 如同 ，換言之 。不幸的是，消元法的普通代數(shù)操作很快就會(huì)給出項(xiàng)數(shù)是如此之多的等式，以至于全世界所有的計(jì)算機(jī)合在一起都無(wú)法存儲(chǔ)下來(lái)。怎么辦？早在 1973 年，Thompson 就引發(fā)了我對(duì)這個(gè)問(wèn)題的興趣，但我迷失在公式的迷宮里。1979 年，當(dāng)有限單群的分類工作達(dá)到高潮時(shí)，我再一次考察了 Thompson 的等式。我自問(wèn)：是否有必要寫下這些 “不可能” 的公式，也許有辦法可以繞開。利用一個(gè)奇妙的技巧，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)消元能夠提取到一點(diǎn)點(diǎn)有用的額外信息，再度利用那一技巧重新消元并結(jié)合新的信息，額外的信息可以精細(xì)化。重復(fù)這個(gè)精細(xì)化過(guò)程三次，就得到了所需要的等式 ，除了極少數(shù)情形需要用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證。因此，唯一性的問(wèn)題解決了，另一項(xiàng)技巧也添加到有限單群分類的證明中。2 這個(gè)等式是用白色粉筆寫在暗藍(lán)灰色的黑板上，左邊是 Thompson 的等式，雙箭頭指向 ，意指左邊的等式蘊(yùn)含了 twisted Ree 群的唯一性。問(wèn)題很漂亮，而所期待的解答也很簡(jiǎn)單，因而優(yōu)美，Thompson 等式具有內(nèi)在隱秘的美，因?yàn)樗从沉艘粋€(gè)群的性質(zhì)。對(duì)專家來(lái)說(shuō)，避開蠻力而得到的解答也具有其自身的美。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家在追尋其真理時(shí)——有時(shí)是自動(dòng)地——以尋求美為向?qū)АＵ缭?shī)人濟(jì)慈（Keats）所說(shuō)，美即真，真即美。 譯者：林開亮，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 MacDonald 等式Freeman Dyson  MacDonald 等式是我最美妙的發(fā)現(xiàn)。它屬于數(shù)論，這是數(shù)學(xué)中最無(wú)用和最古老的分支。我的朋友 Ian MacDonald 享受了第一個(gè)發(fā)現(xiàn)它的快樂(lè)，而我作為第二個(gè)發(fā)現(xiàn)者享有幾乎同等程度的快樂(lè)。我們的女兒在同一班上小學(xué)，因此我們談?wù)撐覀兊呐畠憾徽剶?shù)學(xué)。我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)滿足的一個(gè)方程，函數(shù)是 32 歲英年早逝的印度天才數(shù)學(xué)家 Srinivassa Ramanujan 最后四年里探究的課題。這里我寫下函數(shù)的 MacDonald 等式。 MacDonald 等式具有神奇的五重對(duì)稱性，這一點(diǎn)逃過(guò)了 Ramanujan 的法眼。在等式的右邊，有十個(gè)乘在一起的差，此即五重對(duì)稱性。我們要感激 Ramanujan，不僅感激他所發(fā)現(xiàn)的許多美妙的東西，還有他留給后人發(fā)現(xiàn)的其它美妙的東西。 為解釋 MacDonald 等式的意義，我們來(lái)查考一下最簡(jiǎn)單的三種情況，. 求和取遍所有滿足條件 且 的整數(shù) . 而 “” 的條件意味著， 是被 5 除余 1 的數(shù)，是被 5 除余 2 的數(shù)，是被 5 除余 3 數(shù)，是被 5除余 4 的數(shù)，是被 5 除余 0（整除）的數(shù)。而等式中的驚嘆號(hào)含義是 。因此，當(dāng) 時(shí)，只有唯一取值 1,2,?2,?1,0，根據(jù) MacDonald 等式，我們得到 . 當(dāng) 時(shí)，只有唯一取值 1,?3,3,?1,0，我們得到 .當(dāng) 時(shí)，有兩種取值 1,?3,?2,4,0和 ?4,2,3,?1,0，我們得到 .容易驗(yàn)證，的這三個(gè)值與 Ramanujan 等式給出的值一致。 MacDonald 等式是 Ian MacDonald 發(fā)現(xiàn)的存在于兩種對(duì)稱之間的更深刻聯(lián)系的一個(gè)特殊情況。這兩種對(duì)稱我們分別稱為模對(duì)稱與仿射對(duì)稱，它們最初在科學(xué)的不同部分被發(fā)現(xiàn)，模對(duì)稱來(lái)自數(shù)學(xué)，仿射對(duì)稱來(lái)自物理。每個(gè)人都可以通過(guò)欣賞藝術(shù)家 Mauritz Escher 畫中飛翔的天使與魔鬼而看到模對(duì)稱的展示。Escher 懂得數(shù)學(xué)，準(zhǔn)確掌握了細(xì)節(jié)。仿射對(duì)稱則體現(xiàn)于物理學(xué)家用高能加速器創(chuàng)造的粒子的稀有組合中。數(shù)學(xué)家 Robert Langlands 第一個(gè)猜測(cè)出這些對(duì)稱與其它類型的對(duì)稱之間的聯(lián)系。Ian MacDonald 在實(shí)現(xiàn) Langlands 的夢(mèng)想方向上邁出了一大步。我在這里所寫下的等式僅僅是 MacDonald 那一大步留下的一點(diǎn)印記。 譯者：林開亮，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 P?=NPRichard M.Karp3  計(jì)算復(fù)雜度理論是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)分支，它主要關(guān)心機(jī)器計(jì)算效率的極限。計(jì)算復(fù)雜度理論主要研究需要大量的計(jì)算步驟來(lái)求解的問(wèn)題。這些問(wèn)題的輸入和輸出取自有限字母表中的字符串；輸入的長(zhǎng)度不受限制。研究一個(gè)計(jì)算問(wèn)題的核心是將其所需的計(jì)算步驟表達(dá)為以輸入的長(zhǎng)度為自變量的函數(shù)。 有些計(jì)算問(wèn)題的步數(shù)的增長(zhǎng)速度非?？臁Ｒ元?dú)立集問(wèn)題為例。該問(wèn)題中圖是由一些點(diǎn)和線構(gòu)成的對(duì)象，其中點(diǎn)稱之為頂點(diǎn)，線稱之為邊。對(duì)于一個(gè)給定的圖，如果某個(gè)由其部分頂點(diǎn)構(gòu)成的集合中不存在有邊相連的兩個(gè)頂點(diǎn)，我們稱這個(gè)頂點(diǎn)集是獨(dú)立的。獨(dú)立集問(wèn)題即給定一個(gè)圖和一個(gè)正整數(shù) ，判定這個(gè)圖是否包含大小為 的獨(dú)立集。所有已知的解決獨(dú)立集問(wèn)題的算法都有 “組合爆炸” 現(xiàn)象，即所需要的計(jì)算步數(shù)以圖的大小的指數(shù)級(jí)函數(shù)增長(zhǎng)。另一方面，給定的頂點(diǎn)集是否是給定圖的獨(dú)立集卻很容易檢查。有很多問(wèn)題都有這樣的二分性：即很難判定一個(gè)給定結(jié)構(gòu)類型是否存在（存在性問(wèn)題），卻很容易判定給定的結(jié)構(gòu)是否為所求的類型（驗(yàn)證性問(wèn)題）。 解決存在性問(wèn)題比解決其對(duì)應(yīng)的驗(yàn)證性問(wèn)題困難是一個(gè)共識(shí)。例如，似乎很難決定一個(gè)拼圖是否可解。但是給定拼圖塊的順序，很容易驗(yàn)證其是否為一解。同樣，數(shù)獨(dú)問(wèn)題似乎很難解，但是很容易驗(yàn)證給定的解。計(jì)算復(fù)雜度理論中給出了 P 和 NP 的精確定義：P 問(wèn)題是容易解決的存在性問(wèn)題類，而 NP 問(wèn)題 是容易驗(yàn)證解的存在性問(wèn)題類。人們一般認(rèn)為驗(yàn)證解比給出解要容易，因此似乎 NP 類真包含 P 類。但是這個(gè)論斷還沒(méi)有證明。P=NP 是否成立是理論計(jì)算機(jī)領(lǐng)域核心的未解決問(wèn)題4，并且是所有數(shù)學(xué)分支中最難的問(wèn)題之一5，因其難解而聞名于世。 1972 年我在一篇題為 “組合問(wèn)題之間的互約性” 的文章中提出了一種數(shù)學(xué)技術(shù)，用它能證明成千上萬(wàn)個(gè)從數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程、商業(yè)和日常生活中產(chǎn)生的計(jì)算問(wèn)題是等價(jià)的。這里等價(jià)是指其中一個(gè)問(wèn)題的有效的算法能生成其他所有 NP 問(wèn)題的有效算法，因此如果 P=NP，則問(wèn)題完全解決，相反，如果 P 不等于 NP，那么這些問(wèn)題都不容易解決。這類問(wèn)題被稱為 NP 完全問(wèn)題。NP 完全是一個(gè)廣泛發(fā)生的現(xiàn)象，大多數(shù)應(yīng)用中產(chǎn)生的組合問(wèn)題屬于 NP 完全類，因此，它們極有可能很難解決。 我提出的這一數(shù)學(xué)技術(shù)源于多倫多大學(xué)的 Stephen Cook 在 1971 年的一篇文章，這篇文章中證明了一個(gè)特定的問(wèn)題，即命題邏輯中的限制性滿足問(wèn)題（記為 Sat）是 NP 完全的。他證明了任何 NP 類中的問(wèn)題可以有效規(guī)約到 Sat，即對(duì)于任意 NP 問(wèn)題 A，存在一個(gè)有效算法可以把 A 中的任何實(shí)例轉(zhuǎn)化成一個(gè) Sat 中等價(jià)的實(shí)例。因此，如果 Sat 容易解決，則每一個(gè) NP 問(wèn)題都容易解決。差不多同時(shí)，當(dāng)時(shí)在蘇聯(lián)，現(xiàn)在是波士頓大學(xué)教授的 Leonid Levin 也證明了一個(gè)類似的結(jié)果。 在一篇 1972 年的文章中，我用有效規(guī)約樹來(lái)證明 21 個(gè)經(jīng)典問(wèn)題是 NP 完全的，從而證實(shí)了 NP 完全問(wèn)題的普遍存在。主題圖通過(guò)規(guī)約樹展示了其中的 13 個(gè)問(wèn)題之間的規(guī)約。規(guī)約樹的每一個(gè)的節(jié)點(diǎn)上標(biāo)記一個(gè) NP 問(wèn)題，每一條邊表明上面的問(wèn)題可以有效規(guī)約到下面的問(wèn)題，要是下面的問(wèn)題容易解決，則上面的問(wèn)題也容易。如果這棵樹上的所有問(wèn)題都是容易解決的，那么 Sat 問(wèn)題就是容易解決的，因此，由 Cook 的開創(chuàng)性結(jié)果可知，任何 NP 類中的問(wèn)題都是容易解決的。 復(fù)雜度理論學(xué)家中比較盛行（并非全體接受）的看法是，P 不等于 NP，但是目前還沒(méi)有證明或者反證。也許某些聰明的年輕人受這篇論文的啟發(fā)，會(huì)找到攻克 N 和 NP 難題的辦法。 數(shù)學(xué)之美存在于多個(gè)層面：在對(duì)稱而精妙的數(shù)學(xué)曲線中、在曲面和組合結(jié)構(gòu)中，也在邏輯微妙的數(shù)學(xué)證明中，抑或，如 NP 完全一例中，發(fā)現(xiàn)隱藏在看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的單一準(zhǔn)則，也美妙非凡。 譯者：龍旸靖，上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 守恒律Peter Lax  守恒律是指某物理量 (如質(zhì)量、動(dòng)量、能量等) 在任何區(qū)域中的總量的增長(zhǎng)率都等于單位時(shí)間內(nèi)從該區(qū)域的邊界流入的或者產(chǎn)生的這種物理量的多少。這個(gè)思想因其基本而美。一旦將其細(xì)節(jié)具體化 ，就會(huì)得到很多不同的現(xiàn)象。支配流體的流的定律就是守恒律。 守恒律是理解沖擊波的關(guān)鍵。我于 1945 年在部隊(duì)的時(shí)候開始接觸沖擊波。當(dāng)時(shí)我被派去 Los Alamos 參與（美國(guó)）原子彈計(jì)劃，而沒(méi)有去太平洋參與入侵日本，因?yàn)樵訌椕馊チ巳肭秩毡镜谋匾?。原子彈不能通過(guò)試錯(cuò)的辦法來(lái)制造，所以算出炸彈引爆時(shí)產(chǎn)生的流極其重要。Von Neumann 意識(shí)到這種計(jì)算非依賴計(jì)算機(jī)不可，這是他支持計(jì)算機(jī)的最初動(dòng)力。當(dāng)然他也意識(shí)到計(jì)算機(jī)在設(shè)計(jì)原子武器外的其他方面的重要性。 Von Neumann 在數(shù)值計(jì)算中把沖擊波看作流體的一部分，而非其邊界，這是一個(gè)美妙而原創(chuàng)的想法。這樣處理帶有沖擊波的流既有力又簡(jiǎn)單。許多人不知道，Von Neumann 不僅僅是 20 世紀(jì)的理論數(shù)學(xué)家，而且是一位頂尖的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。 譯者：龍旸靖，上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 校譯：劉云朋 13？大衛(wèi)·芒福德6 數(shù)學(xué)家們一大部分的工作是在研究那些經(jīng)推理而得的 “對(duì)象”，使其變得像我們?nèi)粘Ｉ钜粯诱鎸?shí)，雖然它們遠(yuǎn)非實(shí)物一樣地存在。柏拉圖7正多面體在高維情形的推廣是相對(duì)簡(jiǎn)單的例子。人們希望能在高迪8主持修建的圣家族大教堂9的某個(gè)尖頂上放置正二十面體，這的確是可真實(shí)觸碰的對(duì)象。但數(shù)學(xué)家們一致認(rèn)為，空間的維數(shù)可以超越 3，19 世紀(jì)數(shù)學(xué)家施萊夫利10發(fā)現(xiàn)了柏拉圖多面體在四維情形下的推廣。對(duì)此，我們只能想象。記 是虧格 的光滑射影曲線的?？臻g，很長(zhǎng)時(shí)間里，我的關(guān)注點(diǎn)一直在于：如何很好地理解其結(jié)構(gòu)。在我的學(xué)生時(shí)代，即便以數(shù)學(xué)家所謂清晰的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，這類空間似乎依舊籠罩在煙霧之中，它們是一種介于成熟數(shù)學(xué)和幻象之間的存在。我曾嘗試改變這種狀況。 與此同時(shí)，亞歷山大·格羅滕迪克11橫空出世。他有著前人從未具有的高度抽象的思維能力，并對(duì)人們尚未理解的具體問(wèn)題予以啟發(fā)。事實(shí)證明：他深刻的結(jié)果可以應(yīng)用于我長(zhǎng)期困擾的空間結(jié)構(gòu)問(wèn)題。而那時(shí)的我卻不知該如何利用。這些結(jié)果的強(qiáng)大之處在 20 年后才變得明顯起來(lái)：通過(guò)與喬·哈里斯12合作，我們終于能夠?qū)?nbsp; 看作真實(shí)的對(duì)象（借助標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語(yǔ)，它是一個(gè)擬射影代數(shù)簇）。  這個(gè)公式意味著什么？它優(yōu)美在何處？它表明：兩個(gè)對(duì)象（“線叢”）本質(zhì)相同（“同構(gòu)”）。等式左邊的對(duì)象決定 的幾何。追溯至高斯13，人們就已經(jīng)知道空間可大致分為三種：像平面一樣的平坦空間；像球面一樣的正曲率空間；以及像馬鞍面一樣的負(fù)曲率空間（曲面上三角形內(nèi)角和小于 180°）。等式左邊決定了 在上述三分法中的位置；博特14將等式右邊稱為 “重言” 結(jié)構(gòu)：完全由決定的基本對(duì)象。上述同構(gòu)表明，在 充分大的條件下，是負(fù)曲率空間。 上述公式最讓人震驚的地方是數(shù)字 13。翻閱數(shù)學(xué)雜志，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，除頁(yè)碼外，論文中一般不會(huì)出現(xiàn)大于 2 的數(shù)字。此處出現(xiàn)的 13 在計(jì)數(shù)問(wèn)題的悠久歷史中擁有顯赫家世，另外一個(gè)關(guān)于計(jì)數(shù)問(wèn)題的例子是一個(gè) 3 次曲面上恰好有 27 條直線（包括復(fù)直線）。就此而言，我始終覺得造物主在跟我們開玩笑。 譯者：陳見柯，中國(guó)傳媒大學(xué) 校譯：林開亮 電弱理論的拉格朗日密度Steven Weinberg  這是方程的原始版本，后來(lái)成了自然界兩種基本的力——電磁力與弱核力——的標(biāo)準(zhǔn)理論。弱核力盡管不像電磁力那么常見，卻產(chǎn)生一種重要的放射性（衰變）以及核反應(yīng)鏈的第一步（太陽(yáng)和其它恒星賴此發(fā)熱）。我在這方面的第一篇論文發(fā)表于 1967 年，其中的 (4) 式就是這個(gè)方程。它在那幾年是基本粒子物理領(lǐng)域發(fā)表的論文中引用最多的，也許現(xiàn)在仍然如此。 電弱理論是一種場(chǎng)論，它的基本成分是場(chǎng)，其中也包括電場(chǎng)和磁場(chǎng)。方程左側(cè)的由場(chǎng)及場(chǎng)的變化率組合而成，稱為此理論的拉格朗日密度。拉格朗日密度是像能量密度那樣的東西，根據(jù)物理學(xué)家從二十世紀(jì)三十年代就開始使用的規(guī)則，理論中各種場(chǎng)所遵循的方程都方便地蘊(yùn)含在拉格朗日密度之中。 方程右邊的大部分符號(hào)是理論中的各種場(chǎng)。弱力和電磁力由和 傳遞，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是和 的組合。中微子和左手電子場(chǎng)（該場(chǎng)描述的電子，其自旋對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的環(huán)繞與左手四指彎曲時(shí)對(duì)拇指的環(huán)繞方向一致）合在一起用 表示。右手的電子場(chǎng)用 表示。 和 是數(shù)值常數(shù)，與電子的荷有關(guān)，其值只能從實(shí)驗(yàn)得到。 方程的第三、四行描述了理論中中微子和左手電子之間、弱力和電磁力之間的對(duì)稱性破缺機(jī)制。符號(hào)表示某四分量的場(chǎng)，它與其它場(chǎng)相互作用，從而賦予電子質(zhì)量而使中微子仍無(wú)質(zhì)量，賦予傳遞弱相互作用的三種粒子質(zhì)量而使光子（光的粒子）仍無(wú)質(zhì)量。余下的常數(shù) 、、 與電子的質(zhì)量、弱力的強(qiáng)度有關(guān)。場(chǎng)的四分量之一對(duì)應(yīng)某種新的粒子，到 2012 年實(shí)驗(yàn)上才見到它的蹤影。 這個(gè)方程可能看似不大美，它美在渾然天成——給定成分后，其結(jié)構(gòu)可由數(shù)學(xué)的自洽條件很好地確定下來(lái)。略去一行，甚或只把一個(gè)負(fù)號(hào)改成正號(hào)，都會(huì)讓整體不再自洽。 方程從簡(jiǎn)，略去了繆子（一種像電子而更重的粒子）和相應(yīng)的中微子。顯然，可以類比電子及其中微子把它們包含進(jìn)來(lái)。 1971 年，此理論進(jìn)而把夸克（構(gòu)成質(zhì)子和中子的基本粒子）也包含進(jìn)來(lái)，之后不斷得到實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。 譯者：劉云朋，天津大學(xué)理學(xué)院 校譯：林開亮 嚴(yán)格保持的色 SU3 對(duì)稱群Murray Gell-Mann 
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來(lái)自： 千美于飛 > 《機(jī)械工程》
