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分享 | 史寧中，東北師范大學(xué)原校長(zhǎng)，現(xiàn)任榮譽(yù)教授、博導(dǎo)，教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組組長(zhǎng)
整理 | 《中小學(xué)老師參考》 本文約6800字，閱讀需18分鐘 今天我想分享的題目是《初中數(shù)學(xué)課標(biāo)的變化——對(duì)教學(xué)的啟示》，主要從從以下四個(gè)方面進(jìn)行分享：1、初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2、初中數(shù)學(xué)課程的變化趨勢(shì)3、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)4、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2014年，教育部為了落實(shí)國(guó)家“立德樹(shù)人”教育方針，要求把立德樹(shù)人、核心素養(yǎng)貫穿到義務(wù)教育階段高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中。針對(duì)數(shù)學(xué)課程，在高中階段我們達(dá)成了一個(gè)共識(shí)，即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)以及情感、態(tài)度價(jià)值觀(guān)。也逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教育有關(guān)，與人的行為有關(guān)，總體布局主要是指人的行為、思維和做事的習(xí)慣。
這次在修訂義務(wù)教育階段小學(xué)、初中課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了進(jìn)一步延伸：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一致性、階段性、發(fā)展性。
所謂一致性，是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要貫穿到小學(xué)、初中、高中、大學(xué)階段的整個(gè)教育教學(xué)過(guò)程中。所謂發(fā)展性，是指核心素養(yǎng)是逐漸發(fā)展起來(lái)的。越是低學(xué)段，要更加側(cè)重意識(shí)；越是高學(xué)段，更側(cè)重能力。舉個(gè)例子，初中階段的數(shù)學(xué)眼光，有一個(gè)關(guān)鍵詞是“空間觀(guān)念”，但到小學(xué)階段強(qiáng)調(diào)的是“空間意識(shí)”。意識(shí)和觀(guān)念本質(zhì)上都是對(duì)事物的一種認(rèn)識(shí)，意識(shí)更側(cè)重直觀(guān)，觀(guān)念更基于明確的概念。核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，在高中我們定了6個(gè)，初中定了7個(gè)，小學(xué)定了9個(gè)。
| 高中
| 初中
| 小學(xué) | 數(shù)學(xué)眼光
| ·數(shù)學(xué)抽象 ·直觀(guān)想象 | ·抽象意識(shí) ·空間觀(guān)念、 幾何直觀(guān) | ·符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感 ·空間意識(shí)、幾何直觀(guān) | | 數(shù)學(xué)思維 | ·邏輯推理 ·數(shù)學(xué)計(jì)算 | ·推理能力 ·運(yùn)算能力 | ·推理意識(shí) ·運(yùn)算能力 | | 數(shù)學(xué)語(yǔ)言 | ·數(shù)學(xué)建模 ·數(shù)據(jù)分析 | ·建模思想 ·數(shù)據(jù)觀(guān)念 | ·模型意識(shí) ·數(shù)據(jù)意識(shí)
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數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以歸納為三句話(huà)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。·數(shù)學(xué)的眼光：本質(zhì)上是抽象，數(shù)學(xué)研究不是某個(gè)特例和個(gè)案，而是研究一般的方法、符號(hào)表達(dá)。 數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀(guān)察方式；通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀(guān)察，學(xué)生能夠解釋所學(xué)的數(shù)學(xué)事實(shí)，表述概念的現(xiàn)實(shí)背景；能夠在生活實(shí)踐和其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)元素，及這些元素所表述的事物之間簡(jiǎn)單的聯(lián)系與規(guī)律；能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)與提出有意義的問(wèn)題，進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)的好奇心與想象力。·數(shù)學(xué)的思維：主要是邏輯推理，這使得數(shù)學(xué)具有了嚴(yán)謹(jǐn)性，這是數(shù)學(xué)的基本特征之一。數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系；能夠合乎邏輯地解釋或者論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析與解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再”發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。·數(shù)學(xué)的語(yǔ)言：主要是數(shù)學(xué)的模型。在現(xiàn)代社會(huì)，不僅是數(shù)學(xué)、物理等理科，很多文科都開(kāi)始使用數(shù)據(jù)模型。因此，使得數(shù)學(xué)具有應(yīng)用的廣泛性。數(shù)學(xué)不僅要教會(huì)人們?nèi)绾稳タ?，教?huì)人們?nèi)绾稳ハ?，還要教會(huì)人們會(huì)不會(huì)去表達(dá)，因此數(shù)學(xué)可以看作是一種特殊的自然語(yǔ)言表示自然界的現(xiàn)象。即數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。經(jīng)歷利用數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)世界事物的表達(dá)過(guò)程，學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式，理解數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和法則是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的客觀(guān)反映； 能夠有意識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)的表達(dá)形式描述、解釋與探究現(xiàn)實(shí)世界中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。 能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，有意識(shí)使用真實(shí)數(shù)據(jù)表達(dá)、解釋與分析現(xiàn)實(shí)世界中不確定現(xiàn)象的數(shù)量特征；欣賞數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流有關(guān)事物的習(xí)慣。
 初中數(shù)學(xué)課程的變化趨勢(shì)新修訂的初中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)一樣，包括四個(gè)領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，綜合與實(shí)踐。
基本理念是——更加適應(yīng)核心素養(yǎng)的教學(xué)。因此，在課程內(nèi)容的選擇上，特別是在提出了評(píng)價(jià)建議與教學(xué)建議的時(shí)候，教學(xué)要求強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生理解內(nèi)容本質(zhì)，知道學(xué)生的認(rèn)知。這兩條是老師教學(xué)最起碼的出發(fā)點(diǎn)。基本原則是——在幾何層強(qiáng)調(diào)直觀(guān)、代數(shù)強(qiáng)調(diào)證明、教學(xué)要求上強(qiáng)調(diào)設(shè)合適情境，提出合適問(wèn)題。新內(nèi)容變化是——把小學(xué)負(fù)數(shù)、方程、反比例內(nèi)容移到初中。這次新修訂的初中數(shù)學(xué)課標(biāo)有以下幾個(gè)原則：
老師在未來(lái)的初中教學(xué)中要注意，我們不是為了教書(shū)而教書(shū)，教書(shū)的目的是為了解決問(wèn)題，為了學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)、思考、表達(dá)、解釋現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題。過(guò)去初中是怎么教負(fù)數(shù)的呢？經(jīng)常有教材這么教，如果a b=0,稱(chēng)b為a的相反數(shù)，把b寫(xiě)成-a。這是形式上的，但不是本質(zhì)，負(fù)數(shù)本質(zhì)上的產(chǎn)生，也是通過(guò)抽象得到的。負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國(guó)古代《九章算術(shù)》方程篇，里面講了一個(gè)故事，有人到集市上賣(mài)牛賣(mài)馬，得到的錢(qián)為正，買(mǎi)豬付出的錢(qián)為負(fù)。也就是負(fù)數(shù)和正數(shù)一樣，都是對(duì)數(shù)量的抽象意識(shí)。不同之處在于意義相反，比如賣(mài)牛與買(mǎi)豬，單價(jià)都為5塊錢(qián)，數(shù)量上相等，收到的錢(qián)為正，交出的錢(qián)是負(fù)。這就是負(fù)數(shù)的真正含義。老師一定要讓學(xué)生理解，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生和正數(shù)一樣，也是源于對(duì)數(shù)量的抽象。因此，教概念的時(shí)候，如果不談性質(zhì)，單純教概念，會(huì)讓學(xué)生很難理解，也不利于核心素養(yǎng)的形成。
過(guò)去小學(xué)數(shù)學(xué)，雖然也教方程，但是是簡(jiǎn)單方程，類(lèi)似5-X=2，主要是強(qiáng)調(diào)解方程的方法，不強(qiáng)調(diào)建立方程的背景。現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)了字母表示數(shù)背后的性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。5-x=2很簡(jiǎn)單，比如，樹(shù)上有5只鳥(niǎo)，飛走了幾只還剩2只？在本質(zhì)上，是減法問(wèn)題，而不是方程，能用減法算的問(wèn)題，為什么要用方程？特別是字母表示數(shù)，主要不是表示未知數(shù)，它是表示方程的系數(shù)，這樣才從算術(shù)走向代數(shù)。講方程，必須是在用傳統(tǒng)的算術(shù)方法解答比較困難的情況下，再來(lái)引入方程，如“雞兔同籠”的問(wèn)題，引入方程，會(huì)讓孩子們感受到用方程解答問(wèn)題的重要性。
現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)讓學(xué)生感悟由正比例到正比例函數(shù)，即正比例y/x=a到函數(shù)y=ax的變化，為初中講函數(shù)做鋪墊。而在初中階數(shù)學(xué)階段，直接講反比例函數(shù)（y=k/x，k是不為0的常數(shù)）。
過(guò)去小學(xué)講百分?jǐn)?shù)，只是說(shuō)一瓶飲料中果汁的含量占百分之多少，多是指確定性的東西，其實(shí)在大數(shù)據(jù)時(shí)代，百分?jǐn)?shù)越來(lái)越多地來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象。因此，初中階段也要在此意義上講百分?jǐn)?shù)，并增加了分布式計(jì)算，這完全是大數(shù)據(jù)時(shí)代的要求。比如針對(duì)一個(gè)輿情，測(cè)量大家的關(guān)注度，網(wǎng)站A的數(shù)據(jù)是60%，網(wǎng)站B的數(shù)據(jù)是70%，如何做總的統(tǒng)計(jì)？這時(shí)候用分布式計(jì)算能很高效地算出最終結(jié)果。也是在順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的趨勢(shì)下，分布式計(jì)算被納入了初中教學(xué)中，此外，近似計(jì)算也被納入到初中課堂。
未來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)變化很大，教師要把握以下幾點(diǎn)：前提是，老師教學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，這些知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（相輔相成）。在方法上，要設(shè)計(jì)合適的情境，提出合適的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考（幾何作圖）。在目標(biāo)上，學(xué)生能夠掌握知識(shí)、理解本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。此外，數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐強(qiáng)調(diào)與其他學(xué)科的融合、與生活、傳統(tǒng)文化的聯(lián)系，10%的小學(xué)以主題活動(dòng)的形式、初中以項(xiàng)目探究的形式，新課標(biāo)頒布后，會(huì)有項(xiàng)目名稱(chēng)和案例。基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)
一定要知道，基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)眼光，是具有抽象意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)。小學(xué)是相對(duì)具體的。針對(duì)抽象意識(shí)，小學(xué)是符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感。針對(duì)空間觀(guān)念，小學(xué)是空間意識(shí)。在這個(gè)過(guò)程中，具體該如何教學(xué)？過(guò)程是，有兩匹馬，兩粒米，兩個(gè)方塊表達(dá)，抽象出符號(hào)2。在形式上去掉數(shù)量的名詞，用符號(hào)表示數(shù)。實(shí)質(zhì)上舍去事物的背景，使得數(shù)具有了一般性。從而感悟數(shù)學(xué)是一種符號(hào)表達(dá)，是對(duì)數(shù)量的抽象。對(duì)應(yīng)符號(hào)意識(shí)。層次：兩粒米→□□，從感性具體到感性一般，這是簡(jiǎn)約階段。記得我在一次講課時(shí)候，有一位老師提過(guò)一個(gè)讓我印象很深刻的問(wèn)題，我問(wèn)“你是不是講3的時(shí)候，是3個(gè)蘋(píng)果。講4的時(shí)候，是4個(gè)梨呢？”數(shù)學(xué)一定要抽象，要舍去背景，抽象成沒(méi)有名詞的符號(hào)，比如兩個(gè)□□。□□→2，感性一般→理性具體，符號(hào)階段。用語(yǔ)言表達(dá)舍棄背景，還沒(méi)有進(jìn)入數(shù)學(xué)。要進(jìn)入數(shù)學(xué)，還要把感性一般上升到理性具體，用符號(hào)表達(dá)。因此在初中階段，強(qiáng)調(diào)字母表示數(shù)，從理性具體上升到理性一般（普適階段）。老師在教學(xué)過(guò)程中，要知道教學(xué)背后的理念是什么，這樣的話(huà)，就可以用理念有意識(shí)的指導(dǎo)教學(xué)，也會(huì)讓基于核心素養(yǎng)的教學(xué)成為可能。不僅學(xué)習(xí)是一種經(jīng)驗(yàn)積累，老師的教學(xué)也是經(jīng)驗(yàn)積累，但積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，必須要學(xué)會(huì)反思。過(guò)程：回顧自然數(shù)的形成過(guò)程，《九章算術(shù)》的故事內(nèi)涵：負(fù)數(shù)也是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量相等、意義相反感悟：數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是抽象的，因此具有一般性過(guò)程：從有理數(shù)到實(shí)數(shù)內(nèi)涵：運(yùn)算的封閉性（進(jìn)入教學(xué)：整數(shù)對(duì)減法封閉）感悟：教學(xué)研究對(duì)象拓展（數(shù)域擴(kuò)充）的過(guò)程與邏輯理解：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)的本質(zhì)是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與線(xiàn)段長(zhǎng)度初中階段一開(kāi)始，要講代數(shù)式的運(yùn)算，在這個(gè)過(guò)程中，讓孩子們進(jìn)一步理解符合的意義，通過(guò)符合進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。
過(guò)程：從字母表示性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律到代數(shù)式內(nèi)涵：理解符號(hào)的意義，從算術(shù)進(jìn)入代數(shù)感悟：符號(hào)與數(shù)的共性，運(yùn)算、論證；符號(hào)與數(shù)的差異，結(jié)論具有一般性。過(guò)程：從四則運(yùn)算困難的問(wèn)題開(kāi)始（新方法的必要性）內(nèi)涵：等號(hào)表示量相等，等號(hào)兩邊講兩個(gè)故事感悟：等量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)；伏筆：方程與函數(shù)零解、圖形的關(guān)系小學(xué)側(cè)重知覺(jué)，強(qiáng)調(diào)空間意識(shí)、幾何直觀(guān)。概念沒(méi)有定義：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)、長(zhǎng)方形與正方形的包含關(guān)系命題沒(méi)有證明：三角形內(nèi)角和180度增加動(dòng)手操作：折裝紙盒，立體到平面（三年級(jí)），平面到立體尺規(guī)作圖，作等長(zhǎng)線(xiàn)段（三年級(jí)）、三角形周長(zhǎng)感悟圖形的存在，知道數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是抽象的存在，形成空間意識(shí)、幾何直觀(guān)。初中關(guān)注邏輯，空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)。定義概念：垂直、平行、切線(xiàn)、平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系：長(zhǎng)方形與正方形的包含關(guān)系，全等，相似形成：空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)；抽象意識(shí)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言名義定義，對(duì)某一類(lèi)數(shù)學(xué)研究對(duì)象標(biāo)明符號(hào)或者指明稱(chēng)謂。用A表示點(diǎn)（希爾伯特）；定義不能似是而非，比如角的定義。實(shí)質(zhì)定義，用揭示內(nèi)涵的方法對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象賦予稱(chēng)謂，“A是B”的形式，充分必要，比如方程的定義，并不是充分必要的，含有未知數(shù)的等式叫做方程，按照充分必要的話(huà)，方程就是含有未知數(shù)的等式，但事實(shí)并不是這樣。只有含有未知數(shù)，表示等量關(guān)系的等式，才是方程。
小學(xué)是推理意識(shí)、運(yùn)算能力；初中是推理能力、運(yùn)算能力小學(xué)階段，增加了說(shuō)理，通過(guò)兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短說(shuō)明（說(shuō)理的前提）；三角形兩邊之和大于第三邊（說(shuō)理的結(jié)論）初中是理解命題，知道基本事實(shí)是證明的出發(fā)點(diǎn)。知道什么是數(shù)學(xué)命題、兩種表達(dá)形式。證明命題：知道數(shù)學(xué)推理至少需要三個(gè)命題；知道什么是演繹推理、論理的基本路徑
性質(zhì)命題：具有“A是B”的形式，三角形內(nèi)角和是180度，三角形兩邊之和大于第三邊。過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)能且只能作一條平行線(xiàn)。關(guān)系命題：具有“如果P，那么Q”的形式，兩條直線(xiàn)被第三條直接所截，如果同位角相等，那么兩條直線(xiàn)平行。如果兩條直線(xiàn)平行，那么同位角相等。
小學(xué)推理意識(shí)、運(yùn)算能力小學(xué)：增加說(shuō)理，通過(guò)兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短說(shuō)明（說(shuō)理的前提）三角形兩邊之和大于第三邊（說(shuō)理的結(jié)論）初中：理解命題，知道基本事實(shí)是證明的出發(fā)點(diǎn)；知道什么是數(shù)學(xué)命題、證明命題，知道數(shù)學(xué)推理至少需要三個(gè)命題，知道什么是演繹推理、論理的基本路徑。證明：因?yàn)閮牲c(diǎn)之間直線(xiàn)段最短，三角形的兩邊是折線(xiàn)，所以?xún)蛇呏痛笥诘谌叀?/span>數(shù)學(xué)推理至少要有三個(gè)性質(zhì)命題：前提命題、論證命題，結(jié)論命題。數(shù)學(xué)推理形式，P是性質(zhì)，A是集合，X是元素。A→P。（前提命題：兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短）X∈A。（論證命題：三角形的兩邊是折線(xiàn)）X→P。（結(jié)論命題：兩邊之和大于第三邊）基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)這里的評(píng)價(jià)并非指考試，而是指教學(xué)評(píng)價(jià)，老師在教學(xué)中可以通過(guò)評(píng)價(jià)來(lái)促進(jìn)教學(xué)。變化一，要從概念記憶轉(zhuǎn)變到概念理解，要關(guān)注性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。
比如原來(lái)考題可能是三角形的內(nèi)角和是_____（填空180度），這是考概念。以后會(huì)變成：三角形最少會(huì)有幾個(gè)銳角？——性質(zhì)四邊形的內(nèi)角和是______（填空360度）——關(guān)系多邊形的外角和是_______(填空180度)——規(guī)律這些變化，即從概念拓展到性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律中，從而進(jìn)行評(píng)價(jià)。變化二，從幾何證明到幾何證明 代數(shù)證明。對(duì)應(yīng)的素養(yǎng)是推理能力，計(jì)算能力。
推理的依據(jù)是，幾何基本事實(shí) 代數(shù)基本事實(shí)兩個(gè)代數(shù)基本事實(shí)，從小學(xué)開(kāi)始就有，強(qiáng)調(diào)1．傳遞性：a≥b,b≥c→a≥c,曹沖稱(chēng)象的故事。代數(shù)證明：加一個(gè)正數(shù)比原來(lái)的數(shù)大，加一個(gè)負(fù)數(shù)比原來(lái)的數(shù)小。代數(shù)證明：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位、十位、百位的數(shù)之和能夠被3整除，那么這個(gè)數(shù)可以被3整除。從數(shù)學(xué)的眼光來(lái)講曹沖稱(chēng)象的故事，一定要講數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想。曹沖稱(chēng)象為什么是可行的呢？它最起碼有兩個(gè)：一個(gè)是等量的等量相等。就是說(shuō)無(wú)論是象把船讓它沉了多少、還是石頭把船沉到相同，只要沉到相同的地方，那么重量就是相等，就是等量的等量相等。還有知道一件事情，總量等于分量的和,就是說(shuō)象太大撐不了，那么要用一些石頭放在一起得到跟象同樣的重量，然后再分別計(jì)算這些石頭的重量，得到重力重量。這是總量等于分量和，就是曹沖稱(chēng)象中所蘊(yùn)含的這個(gè)數(shù)學(xué)（道理）。
因此我們數(shù)學(xué)講這個(gè)傳統(tǒng)的故事、傳統(tǒng)文化其實(shí)要講出是如何用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看這個(gè)問(wèn)題。變化三，從幾何證明到幾何直觀(guān)，對(duì)應(yīng)素養(yǎng)：空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)。
過(guò)去是給了條件，給了結(jié)果，讓你用演繹推理的方法去證明，現(xiàn)在可能要讓孩子們做這樣的題：如圖所示，判斷＜D與＜A的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；判斷BA AC與BD DC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。說(shuō)明垂直平分線(xiàn)尺規(guī)作圖的理由，通過(guò)透明紙對(duì)折，通過(guò)等腰三角形中線(xiàn)，說(shuō)明角平分線(xiàn)尺規(guī)作圖的理由，如何用十進(jìn)進(jìn)度量角的大小。孩子在做這道題的過(guò)程中，會(huì)聯(lián)系到生活中的常識(shí)，比較難。變化四，從證明結(jié)論到猜想結(jié)論，對(duì)應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀(guān)念
問(wèn)題一、以矩形的邊為軸旋轉(zhuǎn)矩形得到什么圖形？圍繞長(zhǎng)邊得到圖形的體積大，還是短邊？證明你的猜想。判別式 B2-4ac=0,圖象與X軸有一個(gè)交點(diǎn)判別式B2-4ac>0，圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)判別式B2-4ac<0，圖象與X軸有幾個(gè)交點(diǎn)？變化五，從證明結(jié)論到推斷結(jié)論，對(duì)應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀(guān)念
中國(guó)現(xiàn)在經(jīng)常會(huì)碰到很多卡脖子的問(wèn)題，一個(gè)很重要的原因，是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)是別人制定的，我們?cè)谄疵ミ_(dá)到這些標(biāo)準(zhǔn)，因此應(yīng)該學(xué)會(huì)自己制定標(biāo)準(zhǔn)。在面對(duì)這樣的問(wèn)題，我們現(xiàn)在在小學(xué)開(kāi)始學(xué)習(xí)自己制定標(biāo)準(zhǔn)。有這樣一道題，也是屬于國(guó)家義務(wù)教育監(jiān)測(cè)的題目。問(wèn)題：有五名同學(xué)參加學(xué)校三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦拢?/span>- 每項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的第一名是誰(shuí)？
- 你認(rèn)為，綜合三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的第一名應(yīng)當(dāng)是誰(shuí)？為什么？
——這就比較難，學(xué)生需要判斷60米跑差一秒，和立定跳遠(yuǎn)差一厘米、一分米，鉛球差一厘米、一分米哪個(gè)難？哪個(gè)簡(jiǎn)單？然后用加權(quán)平均來(lái)決定綜合成績(jī)，背后也是標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題。怎么來(lái)判斷學(xué)生答對(duì)和答錯(cuò)，我們起了個(gè)名字叫滿(mǎn)意原則。也就是學(xué)生只要說(shuō)出他思考的東西和結(jié)論是一致的，那就是對(duì)的。還有一個(gè)加分原則，如果學(xué)生思考合理或思考深入。如果這道題是10分的話(huà)，那么他就可以得到12分。3. 請(qǐng)綜合三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，給出這五名同學(xué)的名次。學(xué)生在得到這道題答案的過(guò)程中，要制定原則，按照這個(gè)原則，來(lái)推斷。變化六，從回答問(wèn)題到提出問(wèn)題，對(duì)應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀(guān)念。
問(wèn)題：以矩形的邊為軸旋轉(zhuǎn)矩形得到什么圖形？圍繞長(zhǎng)邊得到圖形的體積大，還是短邊。證明你的猜想。進(jìn)一步提出問(wèn)題：如果把矩形換成三角形呢？其他多邊形的情況呢？通過(guò)拓展問(wèn)題的方式，培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的能力，想辦法讓學(xué)生思考，感悟到數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)。
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