為什么要學(xué)習(xí)弧度制？

skysun000001 2022-01-22

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我們在中學(xué)時都學(xué)習(xí)過用“度數(shù)”來刻畫角的大小，比如用表示周角的大小，表示平角的大小，表示直角的大小等等。

我們在學(xué)生時代都用過的量角器

而到了高中，我們把角的單位由“度”換成了“弧度”，這時前面提到的角度都有了如下轉(zhuǎn)化：

實際上，對于任意度數(shù)的角，轉(zhuǎn)化為弧度可以通過如下公式：

這對每一個學(xué)過高中數(shù)學(xué)的人都不陌生，可是同學(xué)們往往只記住了這種轉(zhuǎn)化的方法，卻并不明白為什么非要將180度換成一個無理數(shù)，或者我們可以更直白地發(fā)出靈魂拷問：初中使用角度制對角的大小進(jìn)行刻畫似乎已經(jīng)十分完美，為什么還要引入和學(xué)習(xí)弧度制，其意義何在？

今天大小吳就來和大家探討一下這個問題。

1 角度制的起源

這一切要從角度制與弧度制的歷史說起。

在富饒的美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人就開創(chuàng)性地將圓周進(jìn)行360等分，并取其中一份稱1“度”，記為，度下面又設(shè)有“分”和“秒”的單位，60分為1度，60秒為1分，這即為最早的角度制。

古巴比倫時期用楔形文字記錄的數(shù)學(xué)題

但是由于年代過于久遠(yuǎn)，我們已經(jīng)無從得知古巴比倫人何時靈光一現(xiàn)想出這種度量方式，也不清楚他們?yōu)槭裁匆獙A周等分成360等份，后世對其的解釋主要有以下幾種：

古巴比倫人熟悉用60進(jìn)制進(jìn)行計算。
360是一個接近一年中天數(shù)的較為整齊的數(shù)據(jù)。
360能被8整除，因此在以360度為周角大小的情況下，平角、直角、以及半個直角這些典型的角的度數(shù)都是整數(shù)。
360有多個因數(shù)，這使得各種正多邊形的內(nèi)角大小也恰為整數(shù)度數(shù)（正邊形的內(nèi)角大小為）。

也許正是因為上述多種原因，聰明的古巴比倫人最終選擇了360這個神奇的數(shù)字作為角度制的肇始，無疑，這是一種完美的制度，它深刻影響了后世的數(shù)學(xué)，并在天文、航海、測繪等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，直至每一個現(xiàn)代社會的學(xué)生都要對其進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2 弧度的雛形

古巴比倫人對圓周的劃分，在一定程度上影響了后來的古希臘天文學(xué)。在古希臘時期“地心說”十分流行，人們認(rèn)為太陽繞著地球做圓周運動，因此產(chǎn)生了許多圓形軌道的計算問題，進(jìn)一步地，人們就想知道已知弧長如何求對應(yīng)弦長這類三角學(xué)問題，為此古希臘人希帕科斯（公元前190-120）首次繪制了弦表，又如托勒密的著作《大成》中也有類似弦表，這使得弦表的思想為人所熟知，這也即為三角學(xué)的開端。

“地心說”的代表人物——托勒密

什么是弦表呢？制作弦表的目的是在一個半徑固定的圓中，求給定弧所對的弦長。希帕科斯對各種不同的弧長，列出了對應(yīng)的弦長（以單位圓為例，弦長已轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)）：

弧長	弦長
1/2圓周長	2
1/3圓周長	1.732
1/4圓周長	1.414

實際的弦表還有很多其他數(shù)據(jù)，利用這個表格就可以解決一系列天文學(xué)問題。

古希臘人通過弦表也發(fā)現(xiàn)了弧長與弦長的一一對應(yīng)關(guān)系，這即是最早的三角函數(shù)。只不過古希臘人還沒有形成“函數(shù)”的概念，他們在不知不覺中使用弧長作為三角函數(shù)的自變量，并且為了單位的統(tǒng)一，他們沿用了古巴比倫人的60進(jìn)制，將弧長的度量也用60進(jìn)制表示。

實際上，這也就是弧度的雛形，“弧長與弦長的對應(yīng)關(guān)系”可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“角的大小與弦長的對應(yīng)關(guān)系”，由于用弧長作為自變量時需要給定圓的半徑，而用弧度（角的大?。┳鳛樽宰兞縿t無需給定半徑，避免了換算的繁復(fù)，這就不難理解后人發(fā)明并引入弧度制這件事是十分自然與必要的。

3 半弦表

公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多沿用了希帕科斯弦表的思想，進(jìn)一步制作了半弦表。在其中他把弦所對的弧的一半與半弦對應(yīng)。觀察下圖，你是否覺得有些熟悉？沒錯，我們知道在單位圓中，這里的半弦也即為正弦。因此印度數(shù)學(xué)家發(fā)明的半弦表非常接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中正弦的定義。隨后幾百年，文明的交流使得半弦表在阿拉伯、印度、中國等地區(qū)廣為流傳，同時還首次出現(xiàn)了余弦、正切等三角學(xué)概念。

但是在這一段時期，各種三角函數(shù)表仍然是給定半徑情況下（半）弧長與（半）弦長的對應(yīng)關(guān)系，且在形式上大都以表格為主，角的范圍也僅僅局限在內(nèi)，沒有真正形成抽象的“三角函數(shù)”。

4 弧度制的出現(xiàn)與確立

時間來到了14世紀(jì)，隨著文藝復(fù)興在歐洲興起，數(shù)學(xué)與三角學(xué)也重新蓬勃發(fā)展起來。

哥白尼的學(xué)生，印度數(shù)學(xué)家利提克斯在學(xué)習(xí)古希臘數(shù)學(xué)時發(fā)現(xiàn)在給定半徑的圓中角和弧長實際上是可以一一對應(yīng)的。因此他突破性地改變了正弦的定義，在他之前，正弦的定義是：

利提克斯將其改成了：

這真是一個非常偉大的突破！因為這樣一來三角學(xué)中的各種（三角比）定義就不再依賴于圓而可以僅在一個直角三角形中進(jìn)行討論了。也正是因為如此，角成為了三角函數(shù)的自變量，之后弧度制便逐漸登上了歷史舞臺。

艾薩克·牛頓（1643—1727）

時間又過去了好幾百年，直到那個被蘋果砸中的神一樣男人的出現(xiàn)，微積分終于成為了數(shù)學(xué)的主流，進(jìn)一步地，人們開始研究包括三角函數(shù)在內(nèi)的各種抽象的函數(shù)，而且人們早已習(xí)慣用10進(jìn)制，這當(dāng)然也包括對弦長的計算。

然而這樣就會造成一個問題：10進(jìn)制下的弦長與60進(jìn)制下的角并不統(tǒng)一，人們在查閱三角函數(shù)表時感到無比的繁瑣。在這種情況下，角度制終于不再適宜人們對于數(shù)學(xué)研究的需要。

于是乎，人們開始考慮使用新的單位制來度量角的大小，弧度制終于應(yīng)運而生！弧度大約是在1714年由英國數(shù)學(xué)家羅杰·柯特斯提出的，這位偉大的數(shù)學(xué)家深刻地意識到這種度量角度的方式的優(yōu)越性與必要性。