例題：（初中數學題 有關圓與菱形的知識）如圖，BD為半圓O的直徑，且BD=8，點A為BD延長線上一點，AE與半圓O相切于點E，連接BE，DE，過點B作BC⊥AE交AE的延長線于點C，交半圓于點F．

（1）求證：BE平分∠DBC；

（2）當AD長是多少時，四邊形BOEF是菱形.

知識回顧

菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）；③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；④對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。

圓的切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。判定：經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。

分析：（1）因為AE與半圓O相切于點E，所以連接OE是常用的輔助線，再證明OE∥BC，即可推出∠OEB=∠EBC，再證明∠OEB=∠OBE即可得出結論．

（2）首先連接EF，OF，可以推測出當AD=4時，四邊形BOEF是菱形，再根據條件想辦法證明△ODE，△OBF，△OEF都是等邊三角形，即可推出“四邊形BOEF是菱形”成立．

我們想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！

解答：（1）證明：連接OE，如圖，

∵AC是⊙O的切線，

∴AC⊥OE，

∵BC⊥AE，

∴OE∥BC，

∴∠OEB=∠EBC，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠EBC=∠OBE，

∴BE平分∠DBC．

（2）解：當AD=4時，四邊形BOEF是菱形．

（以下推理過程有多種不同方法，此處僅選擇一種示范）

理由：連接EF，OF，如圖，

∵BD=8，AD=4，

∴AD=OD=OB=4，

∵∠AEO=90°，

∴DE=1/2AO=4，

∴DE=OE=OD=4，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠EOA=60°，

∵OE∥BC，

∴∠OBF=∠AOE=60°，

∵OF=OB，

∴△OBF是等邊三角形，

∴BF=OB=OF，∠FOB=60°，

∴∠EOF=60°，

∵OE=OF，

∴△EOF是等邊三角形，

∴EF=OE=OB=BF，

∴四邊形BOEF是菱形．

（完畢）

這道題屬于綜合題，考查了切線的性質、菱形的判定、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造圖形以方便解決問題。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。