一、知識(shí)點(diǎn)解析   

1. 基本知識(shí)

（1）實(shí)數(shù)的分類：

常見的分類方式有兩種：

      按符號(hào)分：正數(shù)、負(fù)數(shù)、零。

按外在表現(xiàn)形式分，實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)、無理數(shù)。其中整數(shù)和分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)）稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。

還可以按屬性分：代數(shù)數(shù)、超越數(shù)，如果一個(gè)實(shí)數(shù)是某個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱此數(shù)為代數(shù)數(shù)，否則稱為超越數(shù)。比如是代數(shù)數(shù)，而圓周率π是超越數(shù)。

當(dāng)數(shù)擴(kuò)充到含有符號(hào)時(shí)，要特別注意打破原有的“算術(shù)”思維定式，比如，有這樣一個(gè)簡單問題：一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于它的本身，求這個(gè)數(shù)。是否會(huì)脫口而出它是1？實(shí)際上還有一個(gè)數(shù)“-1”。顯然避免錯(cuò)誤的好辦法就是代數(shù)方法：設(shè)所求的數(shù)為x，求解未知數(shù)。

（2）有理數(shù)與無理數(shù)的性質(zhì)：

有理數(shù)對四則運(yùn)算封閉，無理數(shù)對四則運(yùn)算中的任何一個(gè)都不封閉，也就是說兩個(gè)無理數(shù)相加（減、乘、除）后可能是有理數(shù)。

任何兩個(gè)有理數(shù)之間必存在一個(gè)有理數(shù)（比如，它們的平均值）。由此可知，任何兩個(gè)有理數(shù)之間存在著無窮個(gè)有理數(shù)。這一性質(zhì)稱為有理數(shù)的“稠密性”，即有理數(shù)密密麻麻地分布在數(shù)軸上，但是，全體有理數(shù)并沒有覆蓋整個(gè)數(shù)軸，因?yàn)閿?shù)軸上還有另一類數(shù)——無理數(shù)。

（3）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，這一性質(zhì)稱為實(shí)數(shù)的連續(xù)性。

設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，則或者a＞b，或者a＜b，或者a=b，三者必居其一。這一性質(zhì)稱為實(shí)數(shù)的可比性或有序性。

（4）絕對值及其性質(zhì)：

絕對值的代數(shù)定義：

形象地說，絕對值符號(hào)“關(guān)”住了誰，去掉絕對值符號(hào)時(shí)就要討論誰的值的正負(fù)。

絕對值的幾何意義：x的絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。由此可以得到 |x-y|、|x+y|。|x-y|的幾何意義是，數(shù)軸上表示數(shù)x、y的兩點(diǎn)間的距離。

（5）非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)

正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。所謂非負(fù)數(shù)，也就是“不是負(fù)數(shù)”實(shí)數(shù)。常見的三種非負(fù)數(shù)的形式是：平方數(shù)x²、絕對值 |x|，算術(shù)平方根。

2. 基本方法

（1）反證法：先假設(shè)待證的結(jié)論不成立，然后依此并結(jié)合題設(shè)條件，推出一個(gè)不可能成立的結(jié)論，從而說明原來的假設(shè)錯(cuò)誤，達(dá)到證明要證的結(jié)論的目的。

（2）配方法：由前兩項(xiàng)配第三項(xiàng)，口訣是：加上一次項(xiàng)一半的平方；由兩頭兩項(xiàng)配中間項(xiàng)，口訣是：加上（減去）兩“底”積的2倍。

（3）不等式控制閥：根據(jù)題設(shè)的代數(shù)式的意義，得出字母滿足的不等式，由此求出字母的取值（范圍）。

（4）零點(diǎn)分區(qū)法：使代數(shù)值為零的點(diǎn)（字母的取值）稱為零點(diǎn)。對字母的取值分零點(diǎn)左邊、零點(diǎn)、零點(diǎn)右邊三種情況討論的方法叫零點(diǎn)分區(qū)法。

（5）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義研究問題的方法叫做數(shù)形結(jié)合法。

3. 基本問題

（1）化簡含有絕對值符號(hào)的代數(shù)式或求值：常采用零點(diǎn)分區(qū)法、數(shù)形結(jié)合法。

（2）證明一個(gè)數(shù)為無理數(shù)：常采用反證法。

（3）解特殊的不定方程：常采用配方法然后結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解。

（4）在約數(shù)條件下求代數(shù)式的值：約數(shù)條件實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)不定方程，通常可利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出它的解，然后帶入代數(shù)式求值。

（5）證明條件等式：將所給的條件等式配方，由此得到字母的更簡化的關(guān)系，進(jìn)而推出要證明的等式。

（6）求簡單類型的最值：對于形如A=p±q²的代數(shù)式，利用q²≥0，可求出它的最小或最大值。

這部分主要考察學(xué)生的對實(shí)數(shù)與非負(fù)數(shù)的了解及掌握。是我們學(xué)習(xí)的數(shù)域的擴(kuò)充，有一些新的結(jié)論，需要推翻之前的思維定式。絕對值和非負(fù)數(shù)部分是初中奧數(shù)的常客，這部分題型種類繁多，要在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)上，認(rèn)真學(xué)習(xí)，多加練習(xí)，讓我們在例題和解答中一起學(xué)習(xí)吧。

二、例題

例1

分析：反證法。

解答：

例2

解方程：

分析：反證法。

解答：

例3

例4

例5