【原】通過 2020 全國 1 卷 20 題看如何系統(tǒng)性突破解析幾何

博約書齋 2021-08-23

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我們習慣了程序化的運算,尋思幾何分析來優(yōu)化,通過基本結(jié)論高效解題,但卻常常忽略模型。

【點評】追溯解 Descartes 和 Fermat 創(chuàng)立解析幾何的心路歷程,發(fā)現(xiàn)其原動力是他們對普適性方法的追求,因而解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩。法一思路簡單,暴力計算求定點。

法二:由極點極線知識知道答案。定點在 x 軸上,故設直線 CD: x = my + n ,

【點評】解析幾何從四個維度去突破:

(一)方法本質(zhì):Descartes 和 Fermat 創(chuàng)立解析幾何的原動力是他們對普適性方法的追求,因而解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩,代數(shù)方法研究幾何問題,這是方法本質(zhì),關鍵步驟是轉(zhuǎn)化,積累轉(zhuǎn)化和處理運算的方法。

(二)問題本身:

在笛卡爾和費馬引進解析幾何學以后的百余年里,代數(shù)的和分析的方法通知了幾何學,幾乎排除了綜合的方法。

首先,一個真正的問題是,到底解析幾何學是不是幾何學?

凱特爾說:“我們大多數(shù)年輕數(shù)學家這么輕視純粹幾何學,是不恰當?shù)?年輕人嫌其方法具有普遍性,他問道,這究竟是幾何學的過錯還是研究幾何學的人的過錯呢?”

“在一門科學的哲理性的、基礎性的研究中,光知道某件事情是對的卻不知道它為什么對、不知道它在所屬的真理系列中處于什么地位,這難道夠嗎?”純粹幾何學的學說往往會給出,而在許多問題中會給出一個簡單而自然的辦法來洞察諸真理的來源,去揭露那鏈接它們的神秘鏈索,去使它們獨特地、明白地、完全地被認識。

彭賽列深信純粹幾何學的獨立性和重要性,雖然他承認分析學的威力,但他相信能夠賦予綜合幾何學以同樣的威力。他說:解析方法的威力不在于運用代數(shù)而在于它的普遍性,這個優(yōu)越性產(chǎn)生于這樣的事實:從一個典型的圖形發(fā)現(xiàn)的度量性質(zhì),對于由這個典型的或基本的圖形派生出來的所有圖形都仍然適用,頂多改變一下正負號。這種普遍性在綜合幾何學里能由連續(xù)性原理得到保證。

彭賽列是充分認識到射影幾何學具有獨特方法和目標的新數(shù)學分支的第一位數(shù)學家, 17世紀的射影幾何學家討論特殊問題,而彭賽列卻考慮一般問題,探索幾何圖形在任一投影的所有截影所共有的那些性質(zhì),即在投影和截影下保持不變的性質(zhì),彭賽列也考慮一個空間圖形到另一個空間圖形的射影變換。

基于全國卷的研究,二者相輔相成,全國新課標卷一直注重幾何分析,注重適度幾何分析。

(三)結(jié)論:這里面用了第三定義的結(jié)論,這和中點弦結(jié)論是相通的,而橢圓的極限情況可以視為圓,就是圓垂徑定理所產(chǎn)生的的斜率之積為是 ? 1 相通的。既然圓中有很多性質(zhì),橢圓中也有很多性質(zhì),記住最核心的,《高觀點下解析幾何系統(tǒng)性突破》一書在突破運算一節(jié),給出了核心結(jié)論(基本結(jié)論)。

(四)模型:幾何結(jié)構(gòu)蘊含著幾何中一定的位置關系和相應的數(shù)量關系,一定的幾何結(jié)構(gòu)有相應的處理方式。這可以視為幾何中的模型,在問題解決中,一旦辨識出幾何模型,就發(fā)現(xiàn)了相應的關系和找到處理問題的方式,使得問題得到高效地解決。分離出、轉(zhuǎn)化為一些基本的幾何模型也是解決幾何問題基本方法,《幾何新觀點、解析幾何新視野》的工作就是分離出幾何中最基本、最重要的一些幾何模型,那什么是基本模型呢?與重要的幾何元素相聯(lián)系,比如圓中的直徑與所對的圓周角構(gòu)成的三角形,垂徑定理構(gòu)成的三角形,再比如焦點三角形、“阿基米德三角形”等,并進行分類、延伸和拓展,實現(xiàn)從宏觀把握幾何問題。

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