手拉手是數(shù)學(xué)中最常見的一種幾何圖形。屬于共端點(diǎn)幾何模型的一種類別。在平時(shí)的考試之中，經(jīng)常會遇到這樣一類考題。

它是我們研究幾何圖形的基礎(chǔ)。當(dāng)然，對于手拉手模型結(jié)論的研究，我們這一節(jié)也會提供一些手段。比如旋轉(zhuǎn)、全等都是我們的處理手段。

當(dāng)然，說了那么多，我們來說下，什么是手拉手模型，我們看下什么樣的圖形叫做手拉手模型。

手拉手模型主要抓三個(gè)條件：

1：共頂點(diǎn)

2：等腰（等邊，正方形等等，換句話講共頂點(diǎn)的兩邊相等）

3：頂角相等

手拉手模型主要分為：“等邊△+等邊△”和“等腰△+等腰△”

類型一：等邊△+等邊△

前題條件：圖中，B,C,D三點(diǎn)共線，有等邊△ABC和等邊△CDE.

（1）圖中，B,C,D三點(diǎn)共線，有等邊△ABC和等邊△CDE.

我們可以得到以下一些結(jié)論：

結(jié)論一：△ACD≌△BCE

（2）記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N：

結(jié)論二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD

（3）連接MN：

結(jié)論三：△MNC是等邊三角形+MN//BC

（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：

因?yàn)椤鰽CD≌△BCE

所以過點(diǎn)C作CG⊥BE,CH⊥AD ∴CG與CH分別是BE與AD邊上的高

∵BE=AD ∴CG=CH 所以易知Rt△PGC≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2

結(jié)論四：PC平分∠BPD

（5）∵∠CAD+∠CDA=∠ACB=60°

∴∠DBE+∠CDA=60° ∴∠BPD=120° 由（4）可知

∠BPC=∠CPD=60° ∴∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

（6）連接AE：

結(jié)論六：P點(diǎn)是△ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。?/p>

（7）因?yàn)椤螦PB=∠ACB=60°

所以可以得到:△AMP∽△BMC

同理可以得到以下幾組相似三角形：

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

當(dāng)然，我們也可以得到A、B、C、P四點(diǎn)共圓/P、C、D、E四點(diǎn)共圓

結(jié)論七：△AMP∽△BMC，

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

+A、B、C、P四點(diǎn)共圓和P、C、D、E四點(diǎn)共圓

(8) 如圖，在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF為等邊三角形

∴易證：△PCE≌△FCD

∴有PD=CP+PE

同理可得:BP=AP+PC

結(jié)論八：PD=CP+PE，BP=AP+PC

注意：當(dāng)然前面都是在B、C、D共線的時(shí)候得出的結(jié)論。當(dāng)B、C、D不共線的時(shí)候，只有MN//BC不成立

類型二：等腰△+等腰△

前題條件：等腰△ABC和等腰△CDE,點(diǎn)C是公共頂點(diǎn)，∠ACB=∠DCE=α，如圖所示：

圖（1），（2）這種位置關(guān)系可以的到△ADC≌△CBE,AD=BE

圖（3）除了可以得到全等結(jié)論外，還可以得到：

（1）CH平分∠AHE

（2）A、B、H、C 四點(diǎn)共圓

（3）A、C、H、D、E四點(diǎn)共圓

圖（1），（2）要得到類似結(jié)論需要延長AD,CE

現(xiàn)在討論下α=90°的情況.

即，“等腰Rt△+等腰Rt△”的情況：

這里面有許多有趣的結(jié)論.

在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEC,如圖，拍攝了幾張靜態(tài)的照片.

由圖(1),(2),(3)可以得到: △ADC≌△BCE,以及AD與BE垂直，或它們延長線垂直.

圖(3)可以得到幾組相似三角形。其實(shí)和前面的結(jié)論一樣。這里不多做贅述。

當(dāng)然，上面的等腰直角三角形除了上面的結(jié)論之外，這里再補(bǔ)充一些結(jié)論。

如圖，連接AE,BD。由于AD⊥BE，所以四邊形ABDE為錘美四邊形。

結(jié)論：(1)錘美四邊形結(jié)論：AB平方+DE平方=BD平方+AE平方

（2）AF=BF+CF;EF=DF+CF

錘美四邊形的結(jié)論就不證明了，主要是利用勾股定理進(jìn)行證明，網(wǎng)上有很多。

分別取線段AE,BD的中點(diǎn)為點(diǎn)M,N

結(jié)論：（1）AE=2CN;BD=2MC;

（1） △ACE與△BCD的面積相等；

（2） MC⊥BD, CN⊥AE

證明：如圖延長，CN于H,使得CN=NH

∴容易知道：AC=DH,CD=CE

∵∠ACE+∠BCD=180° ∠CBD+∠BCD+∠BDC=180° ∠CBD=∠BDH ,

∴∠CBD+∠CDB=∠BDH+∠CDB=∠CDH ∴∠CDH+∠BCD=180°

∴∠ACE=∠CDH ∴△ACE≌△CDH ∴CH=2CN=AE

同樣的方法可以證明：△AGC≌△BCD ∴BD=2MC;

所以也容易知道△ACE與△BCD面積相等.

如圖，延長MC與BD相交于點(diǎn)P, 易知∠ACM+∠BCP=90°,

∵∠ACM=∠CBP ∴∠CBP+∠BCP=90° ∴CP⊥BD ∴即MC⊥BD

同理可得：CN⊥AE

好啦，今天的分享就到這里。