我們首先談?wù)剶?shù)學(xué)科學(xué)是什么？及它在近代科學(xué)技術(shù)中的位置，數(shù)學(xué)問題的來源及它的價值觀等問題。
錢學(xué)森在論及現(xiàn)代科學(xué)結(jié)構(gòu)時，將它分成自然科學(xué)，社會科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)，后來又加系統(tǒng)科學(xué)，思維科學(xué)，人體科學(xué)等.但前三者是基本的。
簡言之，自然科學(xué)是從物質(zhì)運動這個著眼點去研究整個客觀世界。
社會科學(xué)是從人類社會發(fā)展運動的著眼點來研究整個客觀世界。
數(shù)學(xué)科學(xué)是什么？無論哪一門科學(xué)技術(shù)，都離不開數(shù)學(xué)科學(xué)的一門或幾門學(xué)科，所以容易理解，數(shù)學(xué)科學(xué)是研究整個客觀世界的.但它從什么著眼點來研究呢？恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式或數(shù)量關(guān)系”。
數(shù)學(xué)科學(xué)應(yīng)該是獨立于自然科學(xué)與社會科學(xué)的另一門科學(xué)。
傳統(tǒng)的“基礎(chǔ)學(xué)科”提法，指的是“數(shù)，理，化，天，地，生”，但錢學(xué)森認(rèn)為“一門是物理，研究物質(zhì)運動基本規(guī)律的學(xué)問，一門是數(shù)學(xué)，指導(dǎo)我們推理和演算的學(xué)問，其他學(xué)問都是從這兩門派生出來的”，“比如化學(xué)，它實際上是研究分子變化的物理”，天文學(xué)“要研究星星內(nèi)部到底是怎樣變化的”，“要研究的是宇宙的演化”，這只能靠物理，地學(xué)中現(xiàn)代板塊理論與弄清地球深處的情況都要靠物理，“生物學(xué)到分子水平”“也就歸結(jié)到物理學(xué)上去了”.因此數(shù)學(xué)和物理又是其他四門學(xué)科之基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)中最初的問題都來源于經(jīng)驗，由外部現(xiàn)象提出來的.整數(shù)起源于“數(shù)”，它的四則運算法則就是以這種方式在人類文明的早期被發(fā)現(xiàn)的.最初的幾何問題也是這樣.如用圓規(guī)直尺三等分任意角，二倍立方及化圓為方等，以后的微積分，曲線論，曲面論與付里葉級數(shù)等最初的問題，及來自物理，天文與力學(xué)的問題都是這樣的。
但是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它意識到自身的獨立性，通常不受明顯的外部影響，而是借助于推理，對概念的一般化來提出自己的問題，例如素數(shù)理論與伽羅華理論等，華羅庚很早指出“從數(shù)學(xué)本身來說，它研究的最基本的對象是'數(shù)’與'形’，因此，幾何圖形’所引出的幾何直覺，和由'數(shù)’而引出的具體關(guān)系和概念，往往是數(shù)學(xué)中極豐富的源泉”.因此，否定數(shù)學(xué)發(fā)展的的內(nèi)部動力，無疑是極左路線對數(shù)學(xué)發(fā)展的干擾。
問題的選擇對于數(shù)學(xué)發(fā)展是至關(guān)重要的。
最早系統(tǒng)地指出并闡述這一觀點的是希爾伯特在1900年國際數(shù)學(xué)大會上的報告，他在報告中特別以三體問題’與'費馬問題’作為例子來說明一個好的數(shù)學(xué)問題對于推動數(shù)學(xué)發(fā)展的作用.三體問題是天文學(xué)中的問題.費馬問題是說不定方程
當(dāng)時，沒有非平凡解，所謂平凡解即為x=0，y=z或y= 0，x=z，這樣一個很特殊、似乎不重要的問題卻對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了十分重大的作用.受這個問題的啟發(fā)，庫默爾引進(jìn)了理想數(shù)的概念并發(fā)現(xiàn)分圓域的整理想的唯一素理想因子分解定理，其意義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)論范圍而深入到代數(shù)與函數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，20世紀(jì)最偉大的成就之一為費馬問題的研究之巨大進(jìn)展與最終解決，(法爾廷斯與懷爾斯).它是橢圓曲線論，伽華羅表示論與模形式理論等重大成就的發(fā)展與綜合使用的結(jié)果。特別是希爾伯特在會上提出了23個問題，推薦給 20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家研究.這些問題基本上都來自數(shù)學(xué)自身的矛盾，經(jīng)過一個世紀(jì)的努力，有的解決了，有的部分解決了，有的則還要留待21世紀(jì)來解決.凡希爾伯特問題有了進(jìn)展，在國際數(shù)學(xué)界都會受到注目。例如希爾伯特第一問題，即已解決(柯恩)，它是說沒有一個無窮集合，其勢在有理數(shù)集合與連續(xù)統(tǒng)集合之間.又如第七問題也已解決(蓋爾豐德與西那德爾)，即為一個超越數(shù)，與我們中國人有些關(guān)系的是第八問題，這個問題包括所謂的黎曼猜想與兩個變數(shù)非齊次線性不定方程在素數(shù)中求解問題，后者是以哥德巴赫猜想與孿生素數(shù)有無窮多為背景的，即 2n= p+p'，每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和)，p-p'=2(存在無窮多對素數(shù)(p，p')使p-p'=2).上世紀(jì)20年代開始就有突破性進(jìn)展，解析數(shù)論中的圓法，篩法，與指數(shù)和估計方法的產(chǎn)生與發(fā)展都與這個問題有密切關(guān)系，我國數(shù)學(xué)家陳景潤，潘承洞對這個問題作過重要貢獻(xiàn)，陳景潤的結(jié)果'1+2'，即每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)與一個不超過2個素數(shù)因子乘積之和，至今仍是領(lǐng)先結(jié)果。除希爾伯特的 23個問題之外，還有一些難題被解決了.例如單復(fù)變函數(shù)論中的比勃巴赫猜想與傅里葉級數(shù)中的魯金猜想等。數(shù)學(xué)自身的矛盾發(fā)展，除要解決一些疑難問題之外，本身的概念亦需要作進(jìn)一步的延拓與推廣，甚至建立，拓?fù)鋵W(xué)特別是代數(shù)拓?fù)涞陌l(fā)展與進(jìn)步，很大程度上改變了數(shù)學(xué)的面貌，又如廣義函數(shù)的進(jìn)一步系統(tǒng)研究，使函數(shù)的概念為之一新.以上大概是 20世紀(jì)以數(shù)學(xué)本身為源泉的一些重要發(fā)展，它在廣度與深度上都比 19世紀(jì)及以前不可同日而語。另一方面，客觀世界總是不停地給數(shù)學(xué)提出問題，使一定新的領(lǐng)域建立，發(fā)展與成熟，例如受到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)與軍事的需要，在20世紀(jì)20~30年代產(chǎn)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計，在二次大戰(zhàn)期間受到軍事與經(jīng)濟(jì)的影響與需求產(chǎn)生了運籌學(xué).又如受到計算機(jī)科學(xué)的影響而產(chǎn)生了近代組合學(xué)與圖論.近年來，公約密碼與信息安全的研究，更使古老而一向被認(rèn)為沒有實際應(yīng)用的數(shù)論有了很重要的應(yīng)用。什么是衡量數(shù)學(xué)成果的價值標(biāo)準(zhǔn)？
數(shù)學(xué)既然是一門獨立科學(xué)，那就不能把是否對其他學(xué)科有用當(dāng)成唯一的價值標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然有用是十分重要的，這里講的是自身的標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)除要求真實性外，還要求“美”！什么是數(shù)學(xué)美？這無疑帶有主觀色彩，且與數(shù)學(xué)家的文化背景有關(guān)，哈代說過：“美是第一要素，世界是不會給丑的數(shù)學(xué)以永久的位置的”.韋爾說過：“我的工作總是把美和真聯(lián)系起來，而當(dāng)我必須作出選擇時，我通常選擇美”.馮·諾依曼說：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要都是美學(xué)的.”龐加萊說：“數(shù)學(xué)家非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風(fēng)”.總之，概括地說，美就是“簡單，清晰，對稱，奇異”.當(dāng)然應(yīng)用數(shù)學(xué)作為一個學(xué)科登上數(shù)學(xué)科學(xué)的舞臺恐怕還是近半個多世紀(jì)的事，除同樣要求真與美之外，它的問題的實際背景應(yīng)更明確，成果應(yīng)該更有用。
有人認(rèn)為重要的數(shù)學(xué)應(yīng)該符合“興趣，深刻，有用”的標(biāo)準(zhǔn)，符合這個標(biāo)準(zhǔn)的好的數(shù)學(xué)幾乎都是美的.簡單清晰的東西才會令人感興趣，所以美的東西才會引起人的興趣，美的結(jié)果又常常是深刻的，與有用的.除前面列舉的純粹數(shù)學(xué)的例子外，20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的線性規(guī)劃，快速傅里葉分析，有限元方法，蒙特卡羅方法與偽蒙特卡羅方法及小波分析等等都是既簡單(符合數(shù)學(xué)美之標(biāo)準(zhǔn))又是很有用的成就，過去常常認(rèn)為數(shù)論是最沒有用的一門數(shù)學(xué)，它美，可供觀賞而已.但隨著信息安全理論的發(fā)展，已日益有用，以至于在一次報告中，葛立恒說：“現(xiàn)在，數(shù)論是最有用的一門數(shù)學(xué)”.所以我想數(shù)學(xué)的價值標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是清楚的。21世紀(jì)的數(shù)學(xué)會怎么樣？
這是每一個數(shù)學(xué)家都應(yīng)該思考的.人不會“算命”，要作出準(zhǔn)確預(yù)測幾乎做不到，我本人水平不高，知識有限，更不敢亂言，但大概趨勢有一點預(yù)測供作參考。希爾伯特提出23個問題的一百年之后的2000年，Clay研究所發(fā)布了七個問題，即黎曼猜想，龐加萊猜想，霍奇猜想，BSD猜想，納維— 斯托克斯方程，楊一米爾斯理論與 NP完全問題為千禧年待解決問題，每個問題懸賞一百萬美金獎金，另外還有別的著名數(shù)學(xué)家提出待解決問題.哥德巴赫猜想也曾被懸賞百萬美元求解二年，無人去領(lǐng)獎。傳說俄國數(shù)學(xué)家帕雷爾曼解決了拓?fù)鋵W(xué)的中心問題，龐加萊猜想，若果如此，則實現(xiàn)了本世紀(jì)之開門紅。可以想象，21世紀(jì)會有不少難題得到突破，進(jìn)展，甚至解決。每當(dāng)計算機(jī)得到進(jìn)步，計算方法總有相應(yīng)的進(jìn)步，有人認(rèn)為科學(xué)計算的進(jìn)步，計算機(jī)與計算方法的功勞各占一半，隨著每秒多少萬億運算的機(jī)器的出現(xiàn)，對新的算法的要求，必定帶動計算方法的更快速發(fā)展。過去小規(guī)模信息產(chǎn)生的數(shù)理統(tǒng)計方法，對于大批量信息不宜于處理，尋求新的數(shù)據(jù)處理方法也是看得到的待解決之問題。總之，數(shù)學(xué)問題的兩種源泉都是很重要的，至今也遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有枯竭，我們不可偏廢任何一方。物理主導(dǎo)自然科學(xué)的發(fā)展，甚至微積分，傅里葉級數(shù)，復(fù)變函數(shù)論，微分方程，特別是幾何學(xué)的發(fā)展，如果在21世紀(jì)，繼續(xù)主導(dǎo)，我想幾何、拓?fù)?，微分方程等除自身的矛盾發(fā)展外，外部刺激仍然是很強(qiáng)的動力.有人說：21世紀(jì)可能是生命科學(xué)與信息科學(xué)的世紀(jì)，如果信息科學(xué)居于一定的主導(dǎo)，則離散數(shù)學(xué)，例如數(shù)論，組合與圖論等，除自身之問題外，亦會有強(qiáng)有力的外部動力。
