王  橋

昨天上午，鄭州市二?？剂藬祵W。整體感覺這次二模的試卷還是比較接近中考實戰(zhàn)的。非常有意思的是，這三道題都看到了“手拉手”模型的身影。這里把三道壓軸題做下解析。

   1、（2021鄭州二模第10題）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，點D在邊BC上（不與B、C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，過點F作FN⊥CA，交CA的延長線于點N，連接FB，交DE于點P，給出以下結論：

（1）CN=FN+CD；（2）∠ADC=∠ABF；（3）四邊形CBFN為矩形；（4）∠AFB+∠FAB=135°；（5）EF2=FP ·BC；其中正確結論的個數是（  ）

  A、2   B、3   C、4   D、5

   解析：首先，容易看出來“弦圖”的模型。由正方形ADEF易得AD=AF，且∠DAF=90°。又∵∠FNA=∠ACD，則易證明△FNA≌△ACD，則FN=AC，且AN=DC，∴CN=AN+AC=FN+CD，則（1）正確；

   ∵AC=BC，則易證四邊形CBFN為矩形，則（3）正確；∵∠ACB=45°，則∠ABF=45°，∴∠AFB+∠FAB=135°，（4）也正確；而顯然∠ADC＞45°，則∠ADC≠∠ABF，（2）錯誤；

   由矩形NCBF得，∠NFP=90°，又∵正方形ADEF，則∠AFE=90°，∴∠NFA=∠PFE，易知∠N=∠E=90°，則△NFA∽△EFP，則FN:FA=FE:FP，即FA·FE=FN·FP，∵PA=FE，FN=BC，∴EF2=FP·BC，則（5）成立?！斎?，也可以過點E作EM⊥FP于點M，構造“射影定理”模型。顯然EF2=FP·FM；再通過證明△ACD≌△FME，則AC=FM=BC，經過等量代換即得EF2=FP ·BC。

   按理說，這道題目至此已經可以告一段落，但是突然發(fā)現，這道題目還很有搞頭。有興趣的，可以繼續(xù)探究下下列問題：

（6）試說明∠ADC=∠AFB；

（7）若CD=3，AC=4，求BE；

2、（2021鄭州二模第15題）在矩形ABCD中，AB=2，AD=2√3，M、N分別是AB、CD的中點，點P為線段MN上一動點，以線段BP為邊，在BP左側作等邊三角形BPQ，連接QM，則QM的最小值為        

解析：又是幾何最值！首先判斷幾何最值的類型——因為M為定點，Q為動點，首先要判斷點Q的軌跡類型。觀察到點Q是由點P逆時針旋轉60°得到，屬于“定比定角”的“瓜豆模型”，點P的軌跡為直線型，在MN上，則點Q的軌跡也為直線型，顯然屬于“垂線段最短”！——關于“瓜豆原理”，詳見“老王的數學”公眾號相關文章。

如圖，以把BM繞著點B逆時針旋轉60°到BE，連接ME。其實也就是構造了正△BEM和正△BQP“手拉手”，則易證明△BEQ≌△BMP，即∠BEQ=∠BMP=90°，∵∠ABC=60°，MB=NA=MC=1，則E、Q、A三點共線，點E恰為Rt△ACB的直角頂點，其中∠ABE=60°。即點Q移動的軌跡在直線AE上。根據垂線段最短的性質，只有MQ⊥AE時，此時MQ=1/2BC=1/2.即QM的最小值為1/2.

3、（2021鄭州二模第23題）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到。小明同學在數學學習中遇到了這樣一個問題：“如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，點P在AB邊上，過點P作PQ⊥AC于點Q，將△APQ繞點A逆時針方向旋轉，如圖2，連接CQ，O為BC邊的中點，連接PO并延長到點M，使OM=OP，連接CM。探究在△APQ的旋轉過程中，線段CM、CQ之間的數量關系和位置關系。”小明計劃采用從特殊到一般的方法探究這個問題。

  特例研究：

（1）如圖3，當α=30°時，CQ:CM=        ，直線CQ與CM所夾銳角的度數為     ；如圖4，當α=45°時，CQ:CM=        ，直線CQ與CM所夾銳角的度數為     ；

一般結論：

（2）將△APQ繞點A逆時針方向旋轉的過程中，線段CQ、CM之間的數量關系如何（用含α的式子表示）？直線CQ與CM所夾銳角的度數是多少度？僅就圖2所示情況說明理由；

問題解決：

（3）如圖4，在Rt△ABC中，AB=4，α=45°，AP=3，將△APQ由初始位置繞點A逆時針方向旋轉β角（0°<β<180°），當點Q到直線AC的距離為2時，請直接寫出線段CM的值。

解析：正像題目中引言提到的：類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到。從特殊到一般，是最常見的思想方法之一。這次我們不妨倒過來，繼續(xù)體驗下從一般到特殊的以逸待勞的“建模法”。

我們先從第（2）問中的圖2所表示的一般情況入手。

如圖，顯然是△ABC和△APQ手拉手，需要連接PB。

∵△ABC∽△APQ，∠BAC=∠PAQ=α，則∠BAP=∠CAQ，且AB:AC=AP:AQ，∴△ABP∽△ACQ，且CQ:BP=AC:AB=AQ:AP=cosα?！逴M=OP，OB=OC，則易證明△OPB≌△OMC，則CMPB，且∠BPO=∠M，即MC∥BP。則CQ:CM=CQ:PB=cosα。

設PB所在直線與QC所在直線交于點N，BP所在直線與AC交于點D?！摺鰽BP∽△ACQ，則∠ABP=∠ACQ。

又∵∠ADB=∠NDC，∴∠BAC=∠CNB=α，則CQ與CM所夾銳角也為α。——詳見《春季攻勢》第11講“一線三等角與手拉手”。

建立了具有一般性的模型，那么，咱們還可以將α限定為30°和45°時，即可求出第（1）問中的兩個空分別應該填√3:3，30°和√2:2,45°。

對于第（3）問，一般則要借助“隱形圓”幫助我們理解——詳見“老王的數學”公眾號相關文章“河南中考與圓”及《春季攻勢》第14講“圓與輔助圓”。

首先需要注意的是，我們在前面建立的模型，推出的一般性的結論仍然成立！即不論△APQ旋轉到任意位置，“CM=PB，CQ:CM=CQ:PB=cosα”的結論以及“CQ與CM所夾銳角為α”的結論永遠成立！而當“AB=4，α=45°，AP=3，將△APQ由初始位置繞點A逆時針方向旋轉β角（0°<β<180°），當點Q到直線AC的距離為2時”則是屬于“特殊情況”！

特殊性融于一般性之中，一般性包含了特殊性！而對于特殊情況，除了要運用好一般性的結論，也要根據特殊性的“特殊圖形”和“特殊位置”所滿足的“特殊條件”來研究其“特殊結論”。

如圖，當α=45°時，△ABC和△APQ都是等腰直角三角形。在△APQ的旋轉過程中，點P在以A為圓心，3為半徑的圓上運動，點Q在以A為圓心，以為半徑的圓上運動，CQ、CM的長度在發(fā)生著變化，Q到AC的距離也在發(fā)生著變化。但當Q到AC的距離為2時，CQ、CM必為確定的長度。

我們不妨作與AC平行線的直線，且直線到AC的距離為2，則直線與小圓的交點即為點Q的位置。這樣的點有兩個，則分別對應的點P也有兩個位置，分別如圖1——2所示。

這三道題，都有“手拉手”模型的身影。尤其是后兩道，用“手拉手”模型的基本策略來解決，正所謂一以貫之；通過構造我們已經熟悉或掌握的數學模型，相當于把陌生的復雜的問題轉化為我們熟悉的簡單的數學問題。而建立起一般性的模型，又可以借用這個一般性的結論，解決任意的特殊性問題，可謂是一勞永逸——這才是建模法的精髓。當然，我們學習知識研究問題的最常見方法還是從特殊到一般的方法，先從常見的、特殊的、簡單的情況入手，進行歸納總結，得出一般性的結論——即建立起模型，然后再把一般性的結論運用到任意的特殊情況中。

數學的根本目的是為了讓學生通過數學學習，領會并逐漸掌握類比、歸納、抽象、建模、轉化、演繹等數學思想方法，而非純粹的刷題做題及考試。這次鄭州二模的第23題，創(chuàng)設了“從特殊到一般”及“從一般到特殊”的問題情境，強調了數學思想方法的引領作用，值得點贊！