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與極值點(diǎn)有關(guān)的多元最值問(wèn)題處理策略探究 廖邦亮 廣東河源中學(xué)    本文研究與極值點(diǎn)有關(guān)的多元最值問(wèn)題或不等式證明問(wèn)題的解題策略,其題型特征為x1,x2是含有參數(shù)a的函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),求涉及x1,x2和a這三個(gè)參變量的表達(dá)式的最值或證明不等式. 解決多元最值問(wèn)題的基本想法是消元成一元變量問(wèn)題,然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)來(lái)研究單調(diào)性得到解答.消元過(guò)程中需要用到三個(gè)變量之間的關(guān)系.x1或x2與a的關(guān)系可以由方程f'(x1)=0或f'(x2)=0得到,有的題目可以由韋達(dá)定理得到x1+x2和x1x2的值.  【命題意圖】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)雙變量不等式問(wèn)題；考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 【解題思路】這類(lèi)問(wèn)題首先要根據(jù)具體函數(shù)解析式將待求式子或待證式子展開(kāi)整理,然后觀察x1,x2和a這三個(gè)參數(shù)在式子中的分布情況,結(jié)合已知條件思考最終要保留哪個(gè)參數(shù).如果一個(gè)參數(shù)所在的結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜,就可以考慮將其保留. 【命題意圖】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)雙變量不等式問(wèn)題；考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 【解題思路】分離參數(shù)是求解恒成立問(wèn)題的常用手法.本題關(guān)于x1,x2對(duì)稱(chēng)的,利用韋達(dá)定理整體消元化簡(jiǎn).
【命題意圖】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)雙變量最問(wèn)題；考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
【命題意圖】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)雙變量不等式問(wèn)題；考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 【解題思路】導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在但不可求時(shí),常虛設(shè)零點(diǎn),利用零點(diǎn)存在定理估計(jì)所設(shè)零點(diǎn)所在的一個(gè)小范圍,然后將所設(shè)零點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)常數(shù)代入化簡(jiǎn),如本題.如果可以,盡量將對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)和指數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的分式結(jié)構(gòu)或整式結(jié)構(gòu).
【總結(jié)】這類(lèi)問(wèn)題的解決思路清晰，方向明確，需要重視解題當(dāng)中可能出現(xiàn)的難點(diǎn)：最終要轉(zhuǎn)化為哪個(gè)變量的函數(shù)？多元變一元以后，自變量的取值范圍怎么求？構(gòu)造函數(shù)以后，如果導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求怎么辦？  作者簡(jiǎn)介：廖邦亮，男，中學(xué)一級(jí)教師，湖南師范大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)研究生，現(xiàn)就職于廣東河源市河源中學(xué)，任教高中數(shù)學(xué)。 |
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