非等腰⊿ABC的外心為O，內(nèi)心為I.內(nèi)切圓?與三邊BC、CA、AB分別切于點(diǎn)D、E、F.過(guò)點(diǎn)D作DP⊥FE于點(diǎn)P，并與?交于點(diǎn)Q,過(guò)A作AT⊥BC與直線OI交于點(diǎn)T.若OT∥BC. 求證：PQ=PT.

      各輔助線如圖所示.AI與⊿ABC外接圓交于點(diǎn)M，MN為外接圓直徑,MN交BC于K.AI中點(diǎn)為R，AT與⊿ABC外接圓交于點(diǎn)S,交BC于點(diǎn)J.易知⊿AFE∽⊿NBC,由熟知的結(jié)論知FP/EP=BD/CD（為節(jié)省篇幅，證明略）故D、P為位似對(duì)應(yīng)點(diǎn), 圓M(MB)和圓I(IF)為位似對(duì)應(yīng)圓.

    由雞爪定理，MI=MB所以點(diǎn)I在圓M(MB)上，進(jìn)而I、Q為位似對(duì)應(yīng)點(diǎn).

設(shè)AQ與I(IF)交于點(diǎn)T’，由位似對(duì)應(yīng)關(guān)系，∠MNS=∠IAT’.

由OI∥BC知OI垂直平分MN，于是∠IAT’=∠MNS=∠NMA=∠MAT=∠IAT，故T’和T重合，即點(diǎn)Q在AT上.

作出⊿ABC的三個(gè)旁心如右圖:

    易知O為旁心三角形九點(diǎn)圓圓心，I為旁心三角形垂心，故OI為旁心三角形歐拉線，又⊿DEF和旁心三角形順向相似，所以，故⊿DEF的歐拉線和OI平行，則知⊿DEF的垂心在OI上，即OI與DP的交點(diǎn)H為⊿DEF的垂心。

由垂心性質(zhì)知PH=PQ，即點(diǎn)P為HQ中點(diǎn)，又⊿HTQ為直角三角形，所以PQ=PT.

命題得證！