近些年來(lái)，中考試題中出現(xiàn)了不少和阿氏圓有關(guān)的試題.有時(shí)出現(xiàn)在填空題中，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題中.現(xiàn)在將我在解題過(guò)程中的心得整理一下，分享給各位，希望對(duì)大家有幫助.

阿波羅尼斯圓

已知平面上兩點(diǎn)、，則所有滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，故稱(chēng)阿氏圓.上圖，如果那么點(diǎn)在以為直徑的圓上.其中，點(diǎn)是線段的 內(nèi)分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的外分點(diǎn).

• 先證明下圖中是的平分線

  

作如下的輔助線：

由于，可得.
所以，是的平分線.

• 再證明下圖中是的外角平分線

由于，可得.
所以，是的外角平分線.

可知，下圖中的，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.當(dāng)
設(shè)，則，，

的半徑為：.

上面寫(xiě)得這行復(fù)雜，主要是說(shuō)明當(dāng)、確定的時(shí)候，的半徑就是確定的.

在初中范圍內(nèi)，我們只要圖中的點(diǎn)，也就是下圖這個(gè)樣子：

在這里，將上圖的定義為線段的阿氏圓.
當(dāng)時(shí)，圓心在線段偏一側(cè)，且它的半徑是由的大小決定的.
在這里，將點(diǎn)、點(diǎn)分別定義為圓外點(diǎn)、圓內(nèi)點(diǎn)，將點(diǎn)定義為分點(diǎn).

解決問(wèn)題

例1
如圖，在中，，，，的半徑為，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，求的最小值.

從題目來(lái)看，暫時(shí)隱藏、,現(xiàn)在只知道圓外點(diǎn)，分點(diǎn)，要確定圓內(nèi)點(diǎn)，使得，連結(jié)，那么必有.

 為什么？再看下圖，可以驗(yàn)證啊!  

看看上圖中主要線段的大小，是不是可以得出：
，相似比是?
所以.怎么這么巧的呢？
其實(shí)，沒(méi)有辦法不巧啊！
因?yàn)榘⑹蠄A的半徑，圓內(nèi)、外點(diǎn)之間的距離以及比值之間的關(guān)系早就定下來(lái)了：

為了不來(lái)回翻屏，這里再顯示一次.

上面的等式中有兩個(gè)量確定，那么第三個(gè)量就確定了.只要找到點(diǎn)使.

總結(jié)：先確定已知條件中的圓外點(diǎn)、圓內(nèi)點(diǎn)、分點(diǎn)哪兩個(gè)點(diǎn)確定，再根據(jù)比例確定第三個(gè)點(diǎn).然后就是用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理計(jì)算了.

剛剛是找圓內(nèi)點(diǎn)，現(xiàn)在再看一個(gè)找圓外點(diǎn)的問(wèn)題：

例2
已知扇形中，，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，求的最小值.

確定三個(gè)點(diǎn)：

再驗(yàn)證，

再舉一個(gè)作連接圓外點(diǎn)和圓心輔助線的例子
例3
已知的半徑為，、為切線，、，為上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.還是確定三個(gè)點(diǎn)：圓外點(diǎn)、圓內(nèi)點(diǎn)、分點(diǎn)：

自行驗(yàn)證、

易得下圖中、都是等腰直角三角形，、、三點(diǎn)一線，

總結(jié)

解此類(lèi)題一般順序是：

• 確定動(dòng)點(diǎn)是不是在圓上運(yùn)動(dòng)；
• 確定圓內(nèi)點(diǎn)、圓外點(diǎn)、分點(diǎn)；
• 根據(jù)比例確定要找的點(diǎn)；
• 再驗(yàn)證動(dòng)點(diǎn)、圓心、圓內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與動(dòng)點(diǎn)、圓心、圓外點(diǎn)構(gòu)成的三角形是否相似；
• 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短用勾股定理計(jì)算最值．