比較大小

這類題型往往不需要進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，只需要找到某個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷即可。常見(jiàn)的對(duì)比方法有以下幾種。

(一)作差法

任意兩數(shù)a、b,如果a - b>0,則a>b;如果a -bl,則a>b;如果a/bl,貝ab;如果a/b=l,則a=b

(二)作比法

當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時(shí)，如果a/b>l,則a>b;如果a/bl,貝ab;如果a/b=l,則a=b

(三)中間值法

對(duì)任意兩數(shù)a、b，當(dāng)很難直接用作差法或者作比法比較大小時(shí)，我們通常選取中間值^如果a> c，而 c>b，則 a>b。

(四)倒數(shù)法

相近兩個(gè)正分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，可通過(guò)比較分?jǐn)?shù)倒數(shù)的大小來(lái)比較原分?jǐn)?shù)的大小，倒數(shù)大者的值反而小。

(五)不等式法

根據(jù)(c+d)/(a+b)介于c/a和d/b之間，從而可以比較分子、分母反向變化的分?jǐn)?shù)大小。

【例題1】請(qǐng)比較a、b的大小:a=1/(989+897),b=1/(889+798)()

A. a>b B. a

C.a = b D.不確定

【解析】答案為B。先比較兩個(gè)數(shù)的分母，顯然989 + 897>889 + 798。當(dāng)分子都為1時(shí)，分母大的分?jǐn)?shù)小于分母小的分?jǐn)?shù)。故正確答案為B。

比例問(wèn)題

比例問(wèn)題是數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最常見(jiàn)的問(wèn)題，應(yīng)用面較寬，主要有兩種基本類型：求比值和比例分配。

1.求值型問(wèn)題

【例題1】甲讀一本書(shū)，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比是3 : 4，后來(lái)又讀了 33頁(yè)，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比變?yōu)? : 3。這本書(shū)共有多少頁(yè)?()

A. 152 B.168

C. 224 D. 280

【解析】答案為B。設(shè)這本書(shū)共有x頁(yè)，第一次已讀3/7x，后來(lái)又讀了 33頁(yè)，已讀的變?yōu)?/8x，可以建立等式：3/7x+33 = 5/8x解得 x=168。

【例題2】?jī)蓚€(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是3 : 1，另一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是4 ： 1，若把兩瓶酒精溶液混合，則混合后的酒精和水的體積之比是多少?( )

A.31 : 9 B. 7 : 2

C. 31 ： 40 D. 20 : 11

【解析】答案為A。根據(jù)題意得：

兩個(gè)瓶子中酒精含量占溶液總量分別為：3/(3+1)=3/4,4/(4+1)=4/5。

將兩個(gè)分?jǐn)?shù)3/4和4/5化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即3/4=15/20,4/5 =16/20。

所以，兩瓶子溶液混合，則溶液中酒精與溶液總量之比為31 : 40，那么，酒精與水的比為31 : 9，故選A項(xiàng)。

2.比例分配型問(wèn)題

【例題1】有兩堆棋子，A堆有黑子350個(gè)和白子500個(gè)，B堆有黑子400個(gè)和白子100個(gè)，為了使A堆中黑子占50%，B堆中黑子占75%，那么要從B堆中拿白子多少個(gè)到A堆?( )

A.12 B. 15 C. 20 D. 25

【解析】答案為D。要使A堆中黑子占50%,即黑、白子-樣多，從B堆中拿到A堆的黑子應(yīng)比白子多150個(gè)，設(shè)從B堆中拿白子x個(gè)，則拿黑子x+150個(gè)，則B堆還剩黑子400-(x+150)個(gè)，共有棋子

400 + 100-(2x+150)，有[400-(x+150)]/[400 + 100-(2x+150)]=75%，解得 x=25。所以要拿白子 25 個(gè)到 A 堆。

【例題2】一塊試驗(yàn)田，以前這塊地所種植的是普通水稻。現(xiàn)在將該試驗(yàn)田的1/3種上超級(jí)水稻，收割時(shí)發(fā)現(xiàn)該試驗(yàn)田水稻總產(chǎn)量是以前總產(chǎn)量的1.5倍，如果普通水稻的產(chǎn)量不變，則超級(jí)水稻的平均產(chǎn)量與普通水稻的平均產(chǎn)量之比是( )

A. 5 : 2 B. 4 : 3 C. 3 : 1 D. 2 : 1

【解析】答案為A。設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量為x,超級(jí)水稻的畝產(chǎn)量為y,則所求為根據(jù)條件可y/x,

列方程1/3y+2/3x=. 5x，即 5x = 2y;，解得：y : x = 5 : 2，故選 A 項(xiàng)。

路程問(wèn)題

路程問(wèn)題也是實(shí)際應(yīng)用題中常見(jiàn)的典型問(wèn)題。路程問(wèn)題涉及距離、速度和時(shí)間三者之間的關(guān)系：距離=速度×?xí)r間。主要有四種基本類型：相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、背向運(yùn)動(dòng)和逆行問(wèn)題。

1.相遇問(wèn)題

相遇問(wèn)題亦稱相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。兩個(gè)物體以不同速度從兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)若干時(shí)間后相遇。這樣的問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。相遇問(wèn)題的核心是“速度和”問(wèn)題。

相遇問(wèn)題的核心公式：

相距路程+(甲速度+乙速度)=相遇時(shí)間

(甲速度+乙速度)×相遇時(shí)間=相距路程

相距路程+相遇時(shí)間一甲速度=乙速度

相距路程=甲路程+乙路程

=甲速度×相遇時(shí)間+乙速度×相遇時(shí)間

=(曱速度+乙速度)×相遇時(shí)間 =速度和×相遇時(shí)間

【例題1】甲、乙兩地相距40公里，某人從甲地騎車出發(fā)，開(kāi)始以每小時(shí)30公里的速度騎了24分 鐘，接著又以每小時(shí)8公里的速度騎完剩下的路程。問(wèn)該人共花了多少分鐘才騎完全部路程?( )

A. 117 B. 234 C. 150 D. 210

【解析】答案為B。由題意可知，前半段騎車的路程為：(24/60)×30=12(公里)，則剩下的路程為：40 - 12= 28(公里)。后半段的騎車時(shí)間為：28/8=3. 5(小時(shí))，總時(shí)間為：24+3. 5×60 = 234(分鐘)，故選B項(xiàng)。

【例題2】載重汽車每小時(shí)行45千米，小汽車的速度是載重汽車的1. 4倍。它們從相距162千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，如果出發(fā)時(shí)是8時(shí)15分，相遇時(shí)是幾時(shí)幾分?( ) A. 9點(diǎn)30分 B. 9點(diǎn)45分 C. 9點(diǎn)50分 D. 9點(diǎn)55分

【解析】答案為B。先求出小汽車的速度45 ×I. 4 = 63(千米/小時(shí))，得出兩車相遇時(shí)行駛的時(shí)間 162 + (45 + 63) = 1. 5(小時(shí))，相遇時(shí)是9時(shí)45分。

2.追及問(wèn)題

追及問(wèn)題亦稱同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。甲、乙兩人以不同速度(乙快、甲慢)從兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行(甲在前，乙在后)，經(jīng)過(guò)若干時(shí)間后，乙追上甲，這樣的問(wèn)題叫做追及問(wèn)題。追及問(wèn)題的核心是“速度差”的問(wèn)題。

追及問(wèn)題的核心公式：

追及路程÷(乙速度一甲速度)=追及時(shí)間

(乙速度一甲速度)×追及時(shí)間=追及路程

追及路程÷追及時(shí)間+甲速度=乙速度

追及路程=乙路程一甲路程

=乙速度×追及時(shí)間一甲速度×追及時(shí)間

=(乙速度一甲速度)×追及時(shí)間

=速度差×追及時(shí)間

【例題1】甲乙兩船同時(shí)從兩個(gè)碼頭出發(fā)，方向相同，乙船在前，每小時(shí)行24千米，甲船在后，每小時(shí)行28千米，4小時(shí)后甲船追上乙船，求兩個(gè)碼頭相距多少千米?( )

A.14 B. 13 C. 19 D.16

【解析】答案選D項(xiàng)。甲對(duì)乙的追及速度差=28 - 24 = 4(千米/小時(shí))，追及時(shí)間為4(小時(shí))，則追及的距離為4×4 = 16(千米)，即兩碼頭之間的距離。

【例題2】狗追狐貍，狗跳一次前進(jìn)15分米，狐貍跳一次前進(jìn)10分米。狗每跳4次的時(shí)間狐貍恰好跳2次。如果開(kāi)始時(shí)狗離狐貍有300分米，那么狗跑( )分米才能追上狐貍。

A. 300 B.350 C. 400 D. 450

【解析】答案為D。依題意可知，狗跳15×4 = 60(分米)與狐貍跳10×2 = 20(分米)的時(shí)間相同。如果把狗跳4次的時(shí)間當(dāng)作一個(gè)單位時(shí)間，則狗追上狐貍所需的時(shí)間為300+(60 -20) = 7. 5。在7.5單位時(shí)間里狗跳了7.5×4==30(次)，狗跑的路程為15×30 = 450(分米)。故選D項(xiàng)。

【例題3】姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了 80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走 60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這

樣跑來(lái)跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來(lái)。問(wèn)小狗共跑了多少米?( )

A. 600 B. 800 C.1200 D. 1600

【解析】答案為A。此題將追及問(wèn)題和一般路程問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，是一道經(jīng)典習(xí)題。首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟，速度差= 60 -40 = 20(米/分)，追及距離=80(米)，所以，姐姐只要80 + 20 = 4(分鐘)即可追上弟弟，在這4分鐘內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以小狗跑的路=150×4=600(米)。

3.背向運(yùn)動(dòng)

甲、乙兩物體以不同速度從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行，經(jīng)過(guò)若干時(shí)間后，求甲、乙的相距路程。這樣的問(wèn)題叫做背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的核心公式：

相距路程÷(甲速度+乙速度)=行駛時(shí)間

(甲速度+乙速度)×行駛時(shí)間=相距路程

相距路程÷行駛時(shí)間一甲速度=乙速度

【例題】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點(diǎn)A背向時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，那么，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是( ) A.166 米 B.176 米 C.224 米 D. 234 米

【解析】答案為B。此題為典型的速度和問(wèn)題，為方便理解可設(shè)甲的速度為x米/分，乙的速度為y米/分，則依題意可列方程：8x+8y= 400×3,x-y=6(速度差0.1米/秒=6米/分)

從而解得x=78，y=72。由y=72，可知，8分鐘乙跑了 576米，顯然距起點(diǎn)的最短距離為176米。

4.逆行問(wèn)題

物體的逆行速度不但與物體本身運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)，而且還與阻礙的速度有關(guān)。

逆行問(wèn)題的核心公式：

順行速度=物體本來(lái)速度+水(風(fēng))速

逆行速度=物體本來(lái)速度一水(風(fēng))速

根據(jù)上面兩個(gè)關(guān)系，我們可以指出如下兩個(gè)關(guān)系：

物體本來(lái)速度=(順行速度+逆行速度)÷2

水(風(fēng))速=(順行速度一逆行速度)÷2

【例題】一條河的水流速度是每小時(shí)2千米，一只船從這條河的上游甲地順流到達(dá)下游的丙地，然后逆流到達(dá)中游的乙地，共用6小時(shí)。已知這條船的順流速度是逆流速度的2倍，從甲地到乙地相距12千米。求甲、丙兩地的距離。( )

A. 21千米 B. 16千米 C. 24千米 D. 15千米

【解析】答案為C。設(shè)逆流速度為v，則順流速度為2v,根據(jù)題意可知，2v-v= 2×2，即v=4。再

設(shè)從乙地到丙地的距離為s,根據(jù)題意可知，12/8 + s/8 +s/4 = 6,解得12，所以甲、丙兩地的距離為 12 + 12 = 24(千米)。

行程問(wèn)題一直都是熱點(diǎn)，幾乎每年都會(huì)考到，考察的難度也往往是所有運(yùn)算題型當(dāng)中最難的一部分。因此行程問(wèn)題是大部分考生最為頭疼的一個(gè)題型，但是，任何題目都有技巧，只要摸準(zhǔn)了這些題的規(guī)律，可以按照相同的思路去解決。

那么，我們來(lái)看看對(duì)于行程問(wèn)題我們?cè)撨\(yùn)用什么樣的思路。

首先，我們來(lái)看行程問(wèn)題的核心公式S=VT。這種等號(hào)一邊是一個(gè)量，另一邊是兩個(gè)量乘積的公式，可以稱之為比例型公式。這種公式有一個(gè)潛在的規(guī)律就是，不管題目怎么設(shè)置，路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量總有一個(gè)是確定不變的，而另外兩個(gè)量都是變的，只要找到公式當(dāng)中的不變量，等量關(guān)系就找出來(lái)了，所以關(guān)鍵是找這個(gè)不變的量。

一般來(lái)說(shuō)，在這三個(gè)量當(dāng)中，由于往往涉及不同主體，因此速度大多時(shí)候是個(gè)變量，所以不變量基本上隱藏在路程和時(shí)間這兩個(gè)量里面，兩種情況分別如下。

第一，路程作為不變量。這種情況一般來(lái)說(shuō)是比較好尋找的，我們拿一個(gè)之前的考題來(lái)舉例：

【例題】有甲、乙、丙三人，甲每小時(shí)走80公里，乙每小時(shí)走70公里，丙每小時(shí)走60公里?，F(xiàn)在甲從A處出發(fā)，乙、丙兩人從B處同時(shí)出發(fā)相向而行，在途中甲與乙相遇15分鐘后，甲又與丙相遇。求AB兩地的距離。( )

A.315公里 B.525公里

C.465公里 D.455公里

這是一個(gè)相遇問(wèn)題，在這個(gè)題目中，三人速度都有，很明顯是不一樣的。我們知道，在相遇追及問(wèn)題里，相遇距離就是兩地之間的整個(gè)全程，不管是甲丙之間還是甲乙之間，都是這一個(gè)全程;也就是說(shuō)，在這個(gè)題目中路程是潛在的不變量，變量是速度和時(shí)間。那么我們圍繞路程這個(gè)等量關(guān)系列出兩個(gè)表示路程的式子就可以解決：設(shè)甲乙相遇時(shí)間是T，那么甲丙相遇時(shí)間就是T+1/4，利用相遇公式有(80+70)T=(80+60)(T+1/4)。解得T=3.5,因此整個(gè)距離是525。

這是關(guān)于以路程為不變量的情況。

第二，時(shí)間作為不變量。這種情況可能更為隱蔽，有的學(xué)員很可能意識(shí)不到。我們?cè)囅?，如果速度是變量，時(shí)間也是變量的話，那么路程必然是不一樣的，所以在題目中如果提到了二人行駛的路程不一樣，一般是在告訴大家時(shí)間是變量;還有有一種很隱蔽的說(shuō)法就是“二人同時(shí)出發(fā)，在某點(diǎn)相遇”，這就是告訴我們二人所用的時(shí)間是相等的，可以完全拿時(shí)間做等量關(guān)系來(lái)列式。

【例題】小張和小王同時(shí)騎摩托車從A地向B地出發(fā)，小張的車速是每小時(shí)40公里，小王的車速是每小時(shí)48公里。小王到達(dá)B地后立即向回返，又騎了15分鐘后與小張相遇。那么A地與B地之間的距離是多少公里?( )

A.144 B.136

C.132 D.128

在這個(gè)題目中，兩個(gè)人的速度是不一樣的，而且題目中給出“同時(shí)出發(fā)”“相遇”這樣的字眼，所以時(shí)間一定是不變量。拿時(shí)間作為等量關(guān)系，則甲的路程是S+12，乙的路程是S-12，速度分別是48和40，那么用時(shí)間相等列式應(yīng)該表示成：，解得S=132。

以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明，我們?cè)谟鲂谐虇?wèn)題的時(shí)候，克服心理上的畏難情緒，按部就班地找到題目中的不變量，分別用另外兩個(gè)量表示出來(lái)列在等式兩邊，就可以求出題目的設(shè)問(wèn)。

圖示法解復(fù)雜路程問(wèn)題的思路：

甲乙兩地之間有一條公路，李明從甲地出發(fā)步行往乙地，同時(shí)張平從乙地出發(fā)騎摩托車往甲地。80分鐘后兩人在途中相遇，張平達(dá)到甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過(guò)20分鐘張平在途中追上李明，張平到達(dá)乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去。當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平追上李明的次數(shù)是（ ）次。

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3

解析：答案是C.這是一道路程問(wèn)題，沒(méi)有給出路程和速度，屬于難度較大的題目。我們以“甲乙兩人路程與速度之間存在的關(guān)系”為切入點(diǎn)進(jìn)行分析。在這里把以李明的步行速度作為標(biāo)準(zhǔn)量。

如上圖所示：假設(shè)A點(diǎn)是兩個(gè)人第一次相遇的地點(diǎn)；B點(diǎn)是兩個(gè)人第二次追及的地點(diǎn)。

已知“李明從甲地到A點(diǎn)，步行了80分鐘，從A點(diǎn)到B點(diǎn)步行了20分鐘”，我們還知道：

張平從兩人相遇的A點(diǎn)到甲地，再回頭到B點(diǎn)共花費(fèi)了20分鐘（摩托車），而這段路程換成步行則需要 80×2＋20＝180分鐘。也就是說(shuō)相同的路程，摩托車與步行的時(shí)間比是20：180=1：9，反之速度比是9：1，即李明步行走完全程，張平騎摩托車將走完9個(gè)全程，所以張平追上李明的次數(shù)是4次。

A、B兩地以一條公路相連。甲車從A地，乙車從B地以不同的速度沿公路勻速率相向開(kāi)出。兩車相遇后分別掉頭，并以對(duì)方的速率行進(jìn)。甲車返回A地后又一次掉頭以同樣的速率沿公路向B地開(kāi)動(dòng)。最后甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B地。如果最開(kāi)始時(shí)甲車的速率為x米／秒，則最開(kāi)始時(shí)乙車的速率為（ ）。

A.4x米／秒 B.2x米／秒 C.0.5x米／秒 D.無(wú)法判斷

解析：答案是B.本題沒(méi)有路程、時(shí)間等關(guān)鍵因素，要求根據(jù)一個(gè)物體的速度求出另一個(gè)物體的速度，在2006年國(guó)考中屬于難度系數(shù)比較大的題目，同樣可以利用圖示法來(lái)解決。如圖所示，我們用紅色線條表示以甲車的速度前進(jìn)的路程，藍(lán)色線條表示以乙車的速度前進(jìn)的路程，假設(shè)相遇在C點(diǎn)，則從A到C是（甲車在）以甲的速度在走；從B到C是（乙車在）以乙的速度在走，題目中說(shuō)“兩車相遇后分別掉頭，并以對(duì)方的速率行進(jìn)”，可以看出：從C到A，再到B是（甲車在）以乙車的速度前進(jìn)，同樣，從C到B是（乙車在）以甲車的速度前進(jìn)。

甲乙兩車從出發(fā)到同時(shí)到達(dá)B地，兩車所走的時(shí)間是相等的。相等的時(shí)間內(nèi)，紅色線條有一個(gè)AB長(zhǎng)，但是藍(lán)色線條有兩個(gè)AB長(zhǎng)，根據(jù)“時(shí)間等，速度比等于路程比”，可以推出：乙車的速度是甲車速度的2倍，即2x米／秒。

總結(jié)：

由上述分析可以看出，解決復(fù)雜路程問(wèn)題時(shí)，畫(huà)線段圖是一種重要的解題方法。通過(guò)圖示法將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化，將有助于減少思索的過(guò)程，從而更快更準(zhǔn)確地找到問(wèn)題的突破口。

工程間題

計(jì)算有關(guān)工程的工作量、工作時(shí)間、工作效率的應(yīng)用題叫做工程問(wèn)題。一般不知道具體的工作總量，常常把“一項(xiàng)工程”、“一份稿件”、“修一條公路”等看作工作總量，用單位“1”表示，部分工作量就要用分之幾”表示。工作總量定了之后，通常用“1/各自的時(shí)間”表示各自的工作效率，用“1/合作時(shí)間”表示工效和。

工程問(wèn)題的特點(diǎn)是所給的某項(xiàng)工作常常不給出具體的數(shù)量。解答此類題的關(guān)鍵是把整體工程看作“1”，它表示整個(gè)工作總量，工作要n天完成，則工作效率為1/n，兩組共同完成時(shí)的工作效率為各組單獨(dú)工作效率之和：1/n1+1/n2。然后根據(jù)工作量、工作效率和工作時(shí)間這三個(gè)量的關(guān)系解題。

工程問(wèn)題涉及的基本概念有：

工作量：工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)字“1”表示，也可以是部分工作量，常用分?jǐn)?shù)表示。例如，工程的一半表示成1/2，工程的三分之一表示為1/3

工作效率:工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。

工作效率的單位:工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。

工程問(wèn)題的核心公式：

工作量=工作效率X工作時(shí)間;

工作效率=工作量÷工作時(shí)間;

工作時(shí)間=工作量÷工作效率;

總工作量=各分工作量之和。

【例題1】某項(xiàng)工程，小王單獨(dú)做需20天完成，小張單獨(dú)做需30天完成?，F(xiàn)在兩人合做，但中間小王休息了 4天，小張也休息了若干天，最后該工程用16天時(shí)間完成。問(wèn)小張休息了幾天?( )

A. 4 B. 4. 5 C. 5 D. 5. 5

【解析】答案為A。小王休息了 4天，該工程用16天時(shí)間完成，說(shuō)明小王干了 12天。小王每天完

成1/20，12天可以完成工程的12/20 =3/5,則剩下的工程量為1-3/5=2/5，這部分工程量應(yīng)由小張完成，小張每天完成1/30，則需要的天數(shù)為(2/5)÷(1/30)= 12(天)，而合干了16天，說(shuō)明小張也休息了 4天。

【例題2】某水池裝有甲、乙、丙三根水管，獨(dú)開(kāi)甲管12分鐘可注滿全池，獨(dú)開(kāi)乙管8分鐘可注滿全池，獨(dú)開(kāi)丙管24分鐘可注滿全池，如果先把甲丙兩管開(kāi)4分鐘，再單獨(dú)開(kāi)乙管，問(wèn)還有幾分鐘可注滿水池?( )

A. 4 B. 6 C. 3 D. 5

【解析】答案為A。甲、丙兩管共開(kāi)4分鐘，已經(jīng)注入水池的水占全池的比例為(1/12+1/24)×4，結(jié)果為1/2。乙單獨(dú)開(kāi)注滿全池的時(shí)間為8分鐘，已經(jīng)注入了1/2,顯然只需4分鐘即可注滿。本題與前題類似，只是稍微復(fù)雜一些。

工程問(wèn)題常考題型

（一）二人合作型

例題：

有甲、乙兩項(xiàng)工程，張師傅單獨(dú)完成甲工程需6天，單獨(dú)完成乙工程需30天，李師傅單獨(dú)完成甲工程需18天，單獨(dú)完成乙工程需24天，若合作兩項(xiàng)工程，最少需要的天數(shù)為：

A.16天 B.15天 C.12天 D.10天

（二）多人合作型

例題：

甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的效率比為6∶5∶4，現(xiàn)將A、B兩項(xiàng)工作量相同的工程交給這三個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)負(fù)責(zé)A工程，乙隊(duì)負(fù)責(zé)B工程，丙隊(duì)參與A工程若干天后轉(zhuǎn)而參與B工程。兩項(xiàng)工程同時(shí)開(kāi)工，耗時(shí)16天同時(shí)結(jié)束。問(wèn)丙隊(duì)在A工程中參與施工多少天？

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：本題答案選A。由題意可設(shè)甲、乙、丙每日工作量分別為6、5、4，丙隊(duì)參與A工程x天。根據(jù)A、B工作量相同列方程，6×16+4x=5×16+4×（16-x），解得x=6。

工程問(wèn)題中常用特值法，經(jīng)常將工作量設(shè)為“1”，但是特值法應(yīng)該靈活使用，這樣是為了簡(jiǎn)化計(jì)算。

兩人或多人合作后，有可能會(huì)出現(xiàn)配合不好，各自的工作效率均降低；配合默契，各自的工作效率均提高。解這類問(wèn)題時(shí)，要注意前后工作效率的變化。尤其需要注意這時(shí)的三量關(guān)系變?yōu)椋汉献骱罂偟墓ぷ餍省梁献鲿r(shí)間=合作完成的工作量。

（三）水管問(wèn)題

進(jìn)水、排水問(wèn)題本質(zhì)上是工程問(wèn)題的一種。

例題：

同時(shí)打開(kāi)游泳池的A、B兩個(gè)進(jìn)水管，加滿水需1小時(shí)30分鐘，且A管比B管多進(jìn)水180立方米。若單獨(dú)打開(kāi)A管，加滿水需2小時(shí)40分鐘。則B管每分鐘進(jìn)水多少立方米？

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：本題答案選B。由題意可知A管比B管每分鐘多進(jìn)水180÷90=2立方米，設(shè)B管每分鐘進(jìn)水x立方米，則A管每分鐘進(jìn)水（x＋2）立方米，依題意有90×（x＋x＋2）=160×（x＋2），解得x=7。

年齡問(wèn)題

年齡問(wèn)題是事業(yè)單位考試的常見(jiàn)題型，年齡問(wèn)題的核心是大小年齡差是個(gè)不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。解答年齡問(wèn)題的一般方法是直接運(yùn)用代人法。

求解年齡問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)兩人年齡的差是不變的量。

(2)兩個(gè)年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量，回首過(guò)去，年齡變小，倍數(shù)變大；展望未來(lái)，年齡變大，倍數(shù)變小。

(3)每個(gè)人的年齡隨著時(shí)間的增加都增加相等的量。

年齡問(wèn)題的核心公式：

大年齡=(兩人年齡和+兩人年齡差)÷2

小年齡=(兩人年齡和一兩人年齡差)÷ 2

已知二人年齡，求幾年前或幾年后的大年齡是小年齡的幾倍：

年齡差÷ (倍一1) =成倍時(shí)的小年齡

成倍時(shí)的小年齡一小的現(xiàn)年齡=幾年后的年數(shù)

小的現(xiàn)年齡一成倍時(shí)的小年齡=幾年前的年數(shù)

如果已知二人年齡之和及幾年后大的是小的幾倍，求現(xiàn)在二人的年齡各是多少：

幾年后的二人年齡和÷ (倍+ 1) =幾年后小的年齡

幾年后小的年齡一幾年后年數(shù)=現(xiàn)在小的年齡

二人年齡和一現(xiàn)在小的年齡=現(xiàn)在大的年齡

【例題1】祖父年齡70歲，長(zhǎng)孫20歲，次孫13歲，幼孫7歲，問(wèn)多少年后，三個(gè)孫子的年齡之和與祖父的年齡相等?( )

A. 10 B. 12 C. 15 D. 2

【解析】答案為C。長(zhǎng)孫、次孫、幼孫現(xiàn)在的年齡和是20 + 13 + 7 = 40,如果設(shè)x年后三個(gè)孫子的年齡之和與祖父的年齡相等，則祖父的年齡增加了 x歲，而三個(gè)孫子的年齡和增加了 3x歲，故可列方程：70+x = 40 + 3x，解得 x=15。

【例題2】甲乙兩人的年齡和是33歲，四年之后，甲比乙大3歲，問(wèn)乙的年齡是多少歲?( )

A.18 B. 17 C. 16 D. 15

【解析】答案為D。

解法一：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵即“年齡差不變”，四年之后甲比乙大3歲，也就是甲乙二人的年齡差是3歲。由于甲乙兩人的年齡差并不隨年齡的變化而變化，所以，甲乙兩人現(xiàn)在的年齡差也是3歲。是個(gè)和差問(wèn)題，則乙的年齡：(33 -3)/2 = 15(歲)。

解法二：此題也可采用代入法。假設(shè)乙的年齡是18歲，則曱的年齡是21歲，故甲乙兩人的年齡和為39歲，這與題干矛盾，故A項(xiàng)錯(cuò)誤。同理，B、C兩項(xiàng)也是錯(cuò)誤的，故選D項(xiàng)。

巧解年齡問(wèn)題

年齡問(wèn)題是指研究?jī)扇嘶蛘叨嗳酥g的年齡變化和關(guān)系的問(wèn)題。考試中常常涉及兩人或者多人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系。常見(jiàn)的考查方式為：今年小寧8歲，媽媽32歲，那么再過(guò)多少年媽媽的歲數(shù)是小寧的2倍？下面講解如何巧妙解答年齡問(wèn)題。

年齡問(wèn)題重要原則為：①任何兩人年齡差不變；②任何兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系是變化的；③每過(guò)一年，所有的人都長(zhǎng)了一歲。

上例中，今年小寧比媽媽小32-8=24歲，那么小寧與媽媽的年齡差永遠(yuǎn)為24歲。

當(dāng)小寧從8歲長(zhǎng)到12歲時(shí)，媽媽也長(zhǎng)4歲，變?yōu)?2+4=36歲。兩人年齡的倍數(shù)由32÷8=4倍，變化到36÷12=3倍。

知識(shí)點(diǎn)一：如何解年齡問(wèn)題

解決年齡問(wèn)題的關(guān)鍵在于“年齡差不變”。一般說(shuō)來(lái)，解決年齡問(wèn)題需要從表示年齡間關(guān)系的條件入手理解數(shù)量關(guān)系，必要時(shí)可借助線段圖和表格進(jìn)行分析。主要的思考方式如下：

由差倍問(wèn)題公式可得，小寧年齡為24÷（2-1）=24歲，即小寧24歲時(shí)，媽媽的年齡等于小寧的2倍，因此再過(guò)24-8=16年。

（2）因?yàn)樾袦y(cè)考試中，數(shù)學(xué)運(yùn)算均為選擇題，對(duì)于表述直接的年齡問(wèn)題，沒(méi)有解題思路，或者計(jì)算比較繁瑣時(shí)，可采用代入排除法。

例題1： 姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)和是40歲時(shí)，姐姐多少歲？

A.22 B.34 C.36 D.43

解析：“此題答案為A.兩人年齡差為13-9=4歲，用線段圖顯示數(shù)量關(guān)系，如下圖所示：

由圖可知，如果從40歲中減去姐弟年齡的差，再除以2就得到弟弟的年齡，進(jìn)而可求出姐姐的年齡，這相當(dāng)于一個(gè)和差問(wèn)題。

根據(jù)和差公式：弟弟的年齡為（40-4）÷2=18歲，則姐姐的年齡為18+4=22歲。

知識(shí)點(diǎn)二：多人之間的年齡問(wèn)題

多人之間的年齡問(wèn)題在行測(cè)考試中出現(xiàn)的頻率略有增加，它主要考查多個(gè)人之間的年齡關(guān)系變化。解決此類題目的重點(diǎn)為規(guī)律③：每過(guò)一年，所有的人都長(zhǎng)了一歲。

例題2： 父親與兩個(gè)兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡等于兩個(gè)兒子的年齡之和，請(qǐng)問(wèn)父親現(xiàn)在多少歲？

A.24 B.36 C.48 D.60

解析：此題答案為C.12年后，父親與兩個(gè)兒子的年齡和應(yīng)該是84+12×3=120歲，將父親12年后的年齡看做1倍，那么12年后父親的年齡為120÷2=60歲，現(xiàn)在的年齡為60-12=48歲。

例題3： 甲、乙、丙、丁四人今年的年齡分別是32、24、22、18歲，那么多少年前甲乙的年齡和恰好是丙丁年齡和的2倍？

A.15 B.14 C.12 D.10

解析：此題答案為C.畫(huà)出線段圖，如下圖所示。

可知，（32+24）－（22+18）=16為甲乙年齡和與丙丁年齡和之差。

當(dāng)甲乙的年齡和恰好是丙丁年齡和的2倍時(shí)，設(shè)丙丁年齡和為1倍，則甲乙年齡和為2倍，則1倍為16÷（2-1）=16，即丙丁當(dāng)時(shí)的年齡和為16歲。

增加的年齡和為22+18-16，因此過(guò)了（22+18-16）÷2=12年。

知識(shí)點(diǎn)三：三等分結(jié)論

例題4： 甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才5歲?！币覍?duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將50歲?！蹦敲矗赚F(xiàn)在（ ）歲，乙現(xiàn)在（ ）歲。

解析：35、20.根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，如下圖所示：

當(dāng)乙5歲時(shí)，甲的年齡等于乙現(xiàn)在的歲數(shù)，用線段AC表示，可知甲、乙二人年齡差等于線段BC；

甲、乙現(xiàn)在的歲數(shù)差等于EF，當(dāng)乙的歲數(shù)等于甲現(xiàn)在的歲數(shù)（用線段DF表示），甲將50歲（用線段GI表示），此時(shí)二人年齡差等于線段HI.

因?yàn)槟挲g差是不變的量，所以BC=EF=HI.

根據(jù)圖示，GI=5+BC+EF+HI=5+3BC，所以甲乙二人的年齡差為：（50-5）÷3=15歲，乙現(xiàn)在的歲數(shù)是15+5=20歲。甲現(xiàn)在的歲數(shù)是20+15=35歲。

解析：

知識(shí)點(diǎn)四：年齡推理題

年齡推理題在行測(cè)考試中出現(xiàn)較少，它需要考生通過(guò)尋求年齡間的特殊情況來(lái)得到突破口，從而最終得出答案。

常見(jiàn)的特殊情況為：經(jīng)過(guò)了N年，所有人增長(zhǎng)的歲數(shù)和不是N的倍數(shù)，這說(shuō)明N年前有人沒(méi)有出生，從而可直接求出該人的年齡。

例題5： 小芬家由小芬和她的父母組成，小芬的父親比母親大4歲，今年全家年齡的和是72歲，10年前這一家全家年齡的和是44歲。今年父親多少歲？

A.33 B.34 C.35 D.36

解析：此題答案為B.一家人的年齡和今年與10年前比較增加了72-44=28歲，而如果按照三人計(jì)算10年后應(yīng)增加10×3=30歲，只能是小芬少了2歲，即小芬8年前出生，今年是8歲，今年父親是（72-8+4）÷2=34歲。

利潤(rùn)問(wèn)題

利潤(rùn)問(wèn)題的基本概念：

毛利：是指其銷售額減去生產(chǎn)成本后的結(jié)果，生產(chǎn)成本中不包括管理費(fèi)用和研發(fā)開(kāi)支。利潤(rùn)：是指企業(yè)一定時(shí)期內(nèi)的經(jīng)營(yíng)成果，利潤(rùn)有營(yíng)業(yè)利潤(rùn)、利潤(rùn)總額和凈利潤(rùn)。對(duì)于一般商家來(lái)說(shuō)，利潤(rùn)就等于商品的銷售價(jià)減去商品的買進(jìn)價(jià)。成本：是指企業(yè)在生產(chǎn)要素市場(chǎng)上購(gòu)買和租用所需要的生產(chǎn)要素的實(shí)際支出。對(duì)于一般商家來(lái)說(shuō)，成本就是商品的買進(jìn)價(jià)。成本一般是一個(gè)不變的量，求成本是利潤(rùn)問(wèn)題的關(guān)鍵和核心。利潤(rùn)率：利潤(rùn)和成本的比值，叫做商品的利潤(rùn)率。

利潤(rùn)問(wèn)題的核心公式：

利潤(rùn)=銷售價(jià)(賣出價(jià))-成本;

利潤(rùn)銷售價(jià)=利潤(rùn)/成本=(銷售價(jià)-成本)/成本 =銷售價(jià)/成本-1;

銷售價(jià)=成本×(1+利潤(rùn)率)

【例題1】某公司向銀行貸款，商定貸款期限是2年，年利率10%，該公司立即用這筆貸款買一批貨物，以高于買入價(jià)的35%的價(jià)格出售，兩年內(nèi)售完。用所得收入還清貸款后，還賺了 6萬(wàn)元，則這筆貸款是()元。

A. 30 萬(wàn) B. 40 萬(wàn) C. 45 萬(wàn) D. 50'萬(wàn)

【解析】答案為B。貸款利率=年利率X年數(shù)，貨物出售總額=貸款本息+剩余金額。依題意，設(shè)這筆貸款x萬(wàn)元，則x(l + 35%)=x(l + 2×10%)+6,解得x = 40,故選B項(xiàng)。

【例題2】一件商品如果以8折出售，可以獲得相當(dāng)于進(jìn)價(jià)20%的利潤(rùn)率，那么如果以原價(jià)出售，可以獲得相當(dāng)于進(jìn)價(jià)多少的利潤(rùn)率?( )

A. 25% B. 35% C. 45% D. 50%

【解析】答案為D。如果商品的原價(jià)為1，銷售價(jià)是8折，那么8折的銷售價(jià)為1×0. 8 = 0. 8,以這個(gè)價(jià)格銷售可獲得20%的利潤(rùn)率，依據(jù)公式：成本=銷售價(jià)÷ (1 +利潤(rùn)率)，求出商品的成本為0. 8÷(1+0.2) =2/3，然后可根據(jù)利潤(rùn)率=(售價(jià)一成本)+成本，求出以原價(jià)格銷售時(shí)的利潤(rùn)率=(1 -2/3) ÷ (2/3)=50%。

【例題3】一批商品，按期望獲得50%的利潤(rùn)來(lái)定價(jià)，結(jié)果只銷售了 70%的商品，為了盡早銷售剩下的商品，商店決定按定價(jià)打折扣銷售，這樣獲得的全部利潤(rùn)是原來(lái)的期望利潤(rùn)的82%，問(wèn)打了多少折扣?( )

A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折

【解析】答案為C。題中沒(méi)有給出具體數(shù)量，且數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不易理清頭緒。我們不妨把這批商品的總量看作單位“1”，給這批商品的成本設(shè)一個(gè)具體數(shù)值。如假設(shè)這批商品的成本為100元(只要是100的倍數(shù)均可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單)：

如果按期望獲得50%的利潤(rùn)全部賣完，所賣的總錢數(shù)應(yīng)是：

100×(1 + 50%) = 150(元)

按期望利潤(rùn)賣掉70%的商品所得的錢數(shù)為：

150×70% = 105(元)

賣掉70%后，剩下的商品按期望利潤(rùn)可賣的錢數(shù)為：

150×(1 -70%) = 45(元)

實(shí)際所得的利潤(rùn)為：

100×50%×82% = 41(元)

實(shí)際賣得的總錢數(shù)為：

100 + 41 = 141(元)

按期望利潤(rùn)賣掉70%后，剩下的商品實(shí)際賣得的錢數(shù)為：

141 -105 = 36(元)

賣掉70%后，剩下的商品按定價(jià)打的折為：

36÷45 = 80%=8 折

【例題4】甲、乙兩種商品成本共200元，甲商品按30%的利潤(rùn)定價(jià)，乙商品按20%的利潤(rùn)定價(jià)，兩種商品都按定價(jià)的90%出售，結(jié)果共獲得利潤(rùn)27. 7元，那么甲種商品成本是多少元?( )

A. 120 B. 130 C. 140 D. 150

【解析】答案為B。設(shè)甲商品成本為x元，則乙商品的成本為200-×元，列出方程：[x×130% +(200-x)×120%]×90%=200 + 27.7,解得 × = 130。

植樹(shù)問(wèn)題

植樹(shù)問(wèn)題是研究植樹(shù)地段的全長(zhǎng)、間隔距離、株數(shù)三種數(shù)量之間的關(guān)系的應(yīng)用題。主要有兩種基本類型:無(wú)封閉問(wèn)題和有封閉問(wèn)題。

關(guān)于植樹(shù)問(wèn)題，主要有以下幾種關(guān)系：

(1)若題目中要求在植樹(shù)的路線兩端都植樹(shù)，則棵數(shù)比段數(shù)多1。即：

棵數(shù)=段數(shù)+ 1 =全長(zhǎng)+株距+ 1

(2)如果題目中要求在路線的一端植樹(shù)，則棵數(shù)與段數(shù)相等。即：

棵數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)+株距

(3)如果植樹(shù)路線的兩端都不植樹(shù)，則棵數(shù)=段數(shù)-1。即：

棵數(shù)=段數(shù)-1 =全長(zhǎng)+株距-1

【例題1】有一條路，現(xiàn)在想在路的一邊立電線桿，已知路長(zhǎng)為100米，且每隔10米立一根電線桿,那么一共需要多少根?( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【解析】答案為C。這是一道無(wú)封閉的栽樹(shù)問(wèn)題，由題意可知，按每隔10米計(jì)算，100米路長(zhǎng)可以分為10條線段,在每條線段的后端立一根電線桿,再在路的起點(diǎn)處也立一根電線桿,共計(jì)11根電線桿。

【例題2】一個(gè)湖泊周圍長(zhǎng)1800米，沿湖泊周圍每隔3米栽1棵柳樹(shù)，每?jī)煽昧鴺?shù)中間栽1棵楊樹(shù)，湖泊周圍栽了柳樹(shù)和楊樹(shù)共多少棵?( )

A.1200 B.800 C.600 D. 300

【解析】答案為A。湖泊周圍栽的柳樹(shù)和楊樹(shù)各為1800÷ 3 = 600(棵)，湖泊周圍栽樹(shù)，這是封閉曲線植樹(shù)問(wèn)題。題目告訴我們每隔3米栽一棵柳樹(shù)，每?jī)煽昧鴺?shù)中間栽1棵楊樹(shù)，說(shuō)明每?jī)煽脳顦?shù)之間的間隔也是3米，兩種樹(shù)都是栽在長(zhǎng)1800米的湖泊周圍，也就是植樹(shù)的總長(zhǎng)也是相等的，根據(jù)：植樹(shù)總長(zhǎng)÷間隔=棵數(shù)，可求兩種樹(shù)的棵數(shù)。兩種樹(shù)的棵數(shù)是相同的。

【例題3】某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹(shù)，現(xiàn)運(yùn)回一批樹(shù)苗，已知一條路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的2倍還多6000米。若每隔4米栽一棵，則少2754棵;若每隔5米栽一棵，則多396棵，問(wèn)共有樹(shù)苗( )

A. 8500 棵 B. 12500 棵 C. 12596 棵 D. 13000 棵

【解析】答案為D。設(shè)兩條路共有樹(shù)苗：c棵，根據(jù)栽樹(shù)原理，路的總長(zhǎng)度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列方程：(×+2754 - 4)×4 = (× -396 -4)×5(因?yàn)?條路共栽4排，所以要減4),解得× = 13000,故選D項(xiàng)。

公務(wù)員考試中植樹(shù)問(wèn)題難度不大，只要利用對(duì)應(yīng)的公式便可以很容易得出答案。以下是總結(jié)出來(lái)的植樹(shù)問(wèn)題所用到的公式以及如何應(yīng)用。

一、植樹(shù)問(wèn)題的類型與對(duì)應(yīng)公式

例如：在一周長(zhǎng)為100米的湖邊種樹(shù)，如果每隔5米種一棵，共要種多少棵樹(shù)？這樣在一條“路”上等距離植樹(shù)就是植樹(shù)問(wèn)題。在植樹(shù)問(wèn)題中，“路”被分為等距離的幾段，段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=間距×段數(shù)。

根據(jù)植樹(shù)路線的不同以及路的兩端是否植樹(shù)，段數(shù)與植樹(shù)的棵數(shù)的關(guān)系式也不同，下面就從不封閉路線的植樹(shù)和封閉路線植樹(shù)來(lái)一一說(shuō)明。

（1）不封閉植樹(shù)：指在不封閉的直線或曲線上植樹(shù)，根據(jù)端點(diǎn)是否植樹(shù)，還可細(xì)分為以下三種情況：

①兩端都植樹(shù)

如上圖，兩個(gè)端點(diǎn)都植樹(shù)，樹(shù)有6棵，段數(shù)為5段，即有植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)+1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距+1，總路長(zhǎng)=（棵數(shù)－1）×間距。

②兩端都不植樹(shù)

如上圖，兩個(gè)端點(diǎn)都不植樹(shù)，可知植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)－1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距－1，總路長(zhǎng)=（棵樹(shù)+1）×間距。

③只有一端植樹(shù)

如上圖，只有一個(gè)端點(diǎn)植樹(shù)，可知植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。

（2）封閉植樹(shù)：指在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。

所以棵數(shù)＝總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。

為方便記憶，將植樹(shù)問(wèn)題的公式歸納如下表：

二、植樹(shù)問(wèn)題解題流程

例題1： 圓形溜冰場(chǎng)的一周全長(zhǎng)150米。如果我們沿著這一圈每隔15米安裝一盞路燈，一共需要安裝幾盞路燈？

A.11 B.10 C.9 D.8

解析：此題答案為B。圓形溜冰場(chǎng)一周，說(shuō)明是封閉植樹(shù)型。 〔判斷類型〕

棵數(shù)即路燈盞數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距=150÷15=10。 〔套用公式〕

例題2： 從圖書(shū)館到百貨大樓有25根電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是30米，從圖書(shū)館到百貨大樓距離是多少？（圖書(shū)館和百貨大樓門口都有一根電線桿）

A.750 B.720 C.680 D.700

解析：此題答案為B?！皥D書(shū)館和百貨大樓門口都有一根電線桿”，說(shuō)明是“兩端都植樹(shù)”型。 〔判斷類型〕

要求“圖書(shū)館到百貨大樓”的距離，即求總路長(zhǎng)。根據(jù)棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距+1，有總路長(zhǎng)=（棵數(shù)-1）×間距=（25-1）×30=720米?！蔡子霉健?/span>

例題3： 兩棵柳樹(shù)相隔165米，中間原本沒(méi)有任何樹(shù)，現(xiàn)在這兩棵樹(shù)中間等距種植32棵桃樹(shù)，第1棵桃樹(shù)到第20棵桃樹(shù)間的距離是：

A.90米 B.95米 C.100米 D.前面答案都不對(duì)

解析：此題答案為B。“現(xiàn)在這兩棵樹(shù)中間等距種植32棵桃樹(shù)”，說(shuō)明是“兩端都不植樹(shù)”型。 〔判斷類型〕

現(xiàn)不知道桃樹(shù)與桃樹(shù)之間的距離，因此需要先求間距。根據(jù)棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距-1，有間距=總路長(zhǎng)÷（棵數(shù)+1）=165÷（32+1）=5米。 〔套用公式〕

那么第1棵到第20棵間的距離為5×（20－1）=95米。

方陣問(wèn)題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣(亦叫乘方問(wèn)題)。

方陣問(wèn)題核心公式：

方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方(方陣問(wèn)題的核心)

方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)+1

方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多8

去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2 - 1

【例題1】學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?( )

A. 256 人 B. 250 人 C. 225 人 D. 196 人

【解析】答案為A。方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可知，每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4 + 1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)為60 ÷ 4 + 1 = 16(人)，整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)16×16 = 256(人)。

【例題2】小紅把平時(shí)節(jié)省下來(lái)的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來(lái)又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是( )

A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元

【解析】答案為C。設(shè)當(dāng)圍成一個(gè)正方形時(shí)，每邊有硬幣x枚，此時(shí)總的硬幣枚數(shù)為4(x-1)，當(dāng)變成三角形時(shí)，則此時(shí)的硬幣枚數(shù)為3(x+5 -1),由此可列方程4(x-l)==3(x+5-1),解得x=16，總的硬幣枚數(shù)為60,則總價(jià)值為3元。

濃度和配比問(wèn)題

一碗糖水中有多少糖，這就要用百分比濃度來(lái)衡量。放多少水和放多少糖能配成某一濃度的糖水，這就是配比問(wèn)題。在考慮濃度和配比時(shí)，百分?jǐn)?shù)的計(jì)算扮演了重要的角色，并產(chǎn)生形形色色的計(jì)算問(wèn)題，這是事業(yè)單位數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一個(gè)重要內(nèi)容。

濃度和配比問(wèn)題的核心公式：

溶質(zhì)在某溫度下達(dá)到飽和時(shí)，溶質(zhì)、溶劑和溶液質(zhì)量比等于S : 100 : (S+100)，稱S為該溫度下溶質(zhì)的溶解度，單位為克。

溶解度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶劑質(zhì)量×100%。

溶液濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液質(zhì)量×100%。

【例題】要配制每100克含鹽量17. 5克的鹽水7千克，需要食鹽多少克?()

A.125 B. 1205 C. 1225 D. 0.125

【解析】答案為C。100克鹽水含鹽17. 5克，故1千克鹽水中含鹽175克，7千克鹽水含鹽175X7 = 1225(克)。

時(shí)間問(wèn)題

時(shí)間問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系：

(1)星期。一個(gè)星期以7天為周期，不斷循環(huán)。

(2)各月天數(shù)。1～6月除2月特殊外，奇數(shù)月31天，偶數(shù)月30天;7～12月出現(xiàn)特殊情況：7月、8月為31天，9月30天，10月31天，11月30天，12月31天，這是歷史遺留下的結(jié)果。

(3)閏年。在公歷紀(jì)年中，有閏日的年份叫閏年，一般年份為365天，閏年為366天。平常年份每年為365天，二月為28天；閏年為366天，二月為29天。

閏年的計(jì)算方法是公元非世紀(jì)年的年數(shù)，可以被4整除，即為閏年;世紀(jì)年被100整除而不能被400整除為平年，被100整除也可被400整除的為閏年。如2000年是閏年，而1900年不是。

(4)時(shí)鐘。時(shí)鐘共有時(shí)、分、秒三個(gè)指針，每個(gè)指針都是以60為進(jìn)制。從角度看，整個(gè)指針共為 360度，可以被均勻地分為12份，每份30°，在一定的時(shí)間，三個(gè)指針會(huì)形成不同的角度，都為我們解題提供了一定的條件，所以要注意觀察，熟練掌握，迅速解題。

【例題1】某一天小張發(fā)現(xiàn)辦公桌上的臺(tái)歷已經(jīng)有7天沒(méi)有翻了，就一次翻了7張，這7天的日期加起來(lái)，得數(shù)恰好是77。問(wèn)這一天是幾號(hào)?( )

A.14 B. 15 C. 16 D. 17

【解析】答案為A。7天加起來(lái)數(shù)字之和為77，則平均數(shù)11這天正好位于中間，答案由此可推出。

【例題2】已知昨天是星期一，那么過(guò)200天以后是星期幾?( )

A.星期一 B.星期二

C.星期六 D.星期四

【解析】答案為C。在解這種類型的題目時(shí)，應(yīng)該注意到其基本原理是一個(gè)星期以7天為周期，不斷循環(huán)。已知昨天是星期一，今天是星期二。先求200天里有多少個(gè)7天，200÷7＝28……4，故有28個(gè)7天，還剩4天，所以200天后是星期二開(kāi)始過(guò)4天之后的日期，即星期六。

【例題3】3點(diǎn)半時(shí)，分針和時(shí)針組成的銳角是多少度?( )

A. 90 B. 75 C. 85 D.80

【解析】答案為B。鐘表一圈均分為12份，每份30°，三點(diǎn)半時(shí)時(shí)針在3. 5處，分針在6處，所以二者的夾角為(6-3. 5)×30°＝75°。