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曉查 發(fā)自 凹非寺 

計算機程序又為數(shù)學(xué)家立功了。

最近，來自美國、加拿大、瑞士的4位數(shù)學(xué)家，用C++和MATLAB程序解出了一個6元105項方程的59組特殊解。

求解完這個方程，也就證明了“有理四面體”（rational tetrahedra）總共只有59個“特殊”形狀和2個系列，從而解決了一個44年的數(shù)學(xué)難題。

而提出這一難題的，正是去年因新冠而去世的著名數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）。

△ 59個“有理四面體”單獨解（圖片來自：QuantaMagazine）

1976年，康威給出了求解該問題的方程。1995年，兩位數(shù)學(xué)家找到了其中59組特殊解，但是他們不確定有沒有遺漏。

△ 有理四面體具有兩組“連續(xù)”解和59組單獨解

得益于計算機硬件的發(fā)展，現(xiàn)在只用MacBook Pro和幾臺至強CPU電腦，在幾天內(nèi)就完成了對所有解的搜索。

結(jié)果證明，那兩位數(shù)學(xué)家在20多年前其實已經(jīng)得到了完整的答案。

什么是有理四面體？

四面體，顧名思義，就是四個三角形圍成的立體圖形。

四面體每兩個面之間都組成一個二面角。四面體有6條棱，因此有6個二面角。

△ 四面體中有6個二面角（圖片來自Poonen手稿）

有理四面體是指四面體中的6個二面角都是有理數(shù)角度（與180°角的比值是有理數(shù)）。

就好像三角形的內(nèi)角和公式數(shù)學(xué)公式: a+b+c=180°一樣，四面體的6個二面角之間也有一種關(guān)系，只不過這種關(guān)系要復(fù)雜得多。

定義θij為四面體第i個面與第j個面的夾角（顯然θ_ij=θ_ji），那么這6個二面角之間的關(guān)系可以行列式表示為：

因為是有理四面體，所以 θ_ij=Qπ（弧度），Q是有理數(shù)。

我們把行列式展開后，會得到一個包含17項的方程，而且方程中還有余弦函數(shù)，求解難度很大。

但是數(shù)學(xué)家們想到了一個巧妙的化簡方法。

歐拉公式

接下來，數(shù)學(xué)家們用到了“最美數(shù)學(xué)公式”——歐拉公式——來簡化方程。

歐拉公式將復(fù)數(shù)（實數(shù)+虛數(shù)）的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來：

i是虛數(shù)，即-1的平方根。如果用圖像的方式理解歐拉公式，那就是：

很顯然，無論θ值如何變化，e^iθ到0點的距離一定是1。

所以如果我們定義復(fù)數(shù)：

那么這個復(fù)數(shù)一定是在以原點為圓心，半徑為1的圓上。

△ 方程z⁵=1的5個解都在單位圓上

現(xiàn)在，方程里的三角函數(shù)可以用復(fù)數(shù)來替代了：

這樣，上面的行列式從一個三角函數(shù)方程變成了一個多項式方程：

但問題也隨之而來，這個方程總共有105項，而且是一個6元方程！不過好消息是，我們知道這6個未知數(shù)都在那個半徑為1的圓上（稱作“單位根”）。

巧妙的是，復(fù)數(shù)z_ij與x軸的夾角θ_ij正好就是四面體的二面角，因此這些解不僅在圓上，與x軸夾角也必須是π弧度的有理數(shù)倍。

1995年，在那個沒有性能強勁PC的年代，來自UC伯克利的Poonen和滑鐵盧大學(xué)的Rubinstein通過插入六個有理數(shù)的組合，來猜測這個方程的解，他們總共找到了59組。

這樣做帶來一個問題是：可以找到解，但是不能保證把所有解一網(wǎng)打盡。

一次偶然的碰撞

問題一擱置就是20多年，直到去年3月，Poonen參加了一次講座。

在那一次的講座上，研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家Kedlaya介紹了自己的工作：搜索了不同多項式方程的單位根。

這不就和尋找“有理二面體”的問題等價嗎？

Poonen很快就給Kedlaya發(fā)郵件，說明自己的來意：你們研究的“正是我在1990年代需要的東西”。

收到郵件后，Kedlaya與另一位研究單位根的數(shù)學(xué)家Kolpakov取得了聯(lián)系。另一邊，Poonen也聯(lián)系上了他當(dāng)年的的老搭檔Rubinstein。

△ 聯(lián)手解決“有理四面體”的四位數(shù)學(xué)家

四人迅速組團，開始著手工作。

即便現(xiàn)在的計算機性能相比20多年前提升巨大，但想要找到一個6元105向方程的所有有理數(shù)解，還是不可能想象的。

必須要把搜索范圍進一步縮小。

首先，他們“化整為零”。

在新論文中他們證明了，這個105項的復(fù)雜多項式方程可以用多個更簡單的多項式表示，把這個6元方程轉(zhuǎn)化成了數(shù)百個簡單方程的集合。

尋找這些較簡單方程的單位根，比原方程的搜索范圍小得多。而且由于簡單的方程與復(fù)雜的方程之間的對應(yīng)關(guān)系，找到一個方程的根，能幫助找到另一個方程的根。

搜索上限的問題解決了，但搜索的間隔還是太小，搜索空間依然很龐大，工作無法繼續(xù)。

然后，他們的第二步是，利用對稱性進一步壓縮搜索空間。

他們知道方程的解具有一定的對稱性，如果在區(qū)間的一部分上有解，那么在區(qū)間的另一部分上也必須有解。

這樣一來，他們就可以開發(fā)出新算法，利用這種對稱性結(jié)構(gòu)來更有效地進行搜索。

經(jīng)過幾個月的努力，他們完成了任務(wù)的分解。除去編程，整個搜索只占用了幾顆酷睿與至強處理器數(shù)小時的時間。

計算機終于找到了所有特殊解，真的只有59個?。硗膺€有兩組“連續(xù)”解。）

現(xiàn)在，他們的算法已經(jīng)公布在GitHub上。

2020年11月，四個數(shù)學(xué)家把論文發(fā)布到arXiv上，44年后終于用計算機的方法完成了康威的愿望。

也算是告慰了康威的在天之靈，他們在論文首頁上寫著：“In memory of John H. Conway”。

后續(xù)

解決這個問題后，Poonen本人親自撰寫了一篇科普文章，還和西蒙斯基金會聯(lián)合錄制了一段科普視頻。

Poonen列c出了三個重要的四面體問題，最早的要追溯到2300多年前亞里士多德的疑問：什么樣的四面體能堆滿整個空間？

1900年，數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特給出了另一個疑問：什么樣的四面體可以經(jīng)過有限次的切割重組為一個等體積的立方體？

至于第三個問題，就是剛剛解決的有理二面體問題。而前兩個問題，人們現(xiàn)在還不知道答案。

如果非要問這個有理二面體有什么實際價值，Poonen給出了一個有趣的案例：

假設(shè)我們要在一個星球上建造N個城市，讓這N個城市每兩個之間的距離都是有理數(shù)，那么我們應(yīng)如何規(guī)劃？

（注：指城市之間的球面距離與赤道周長的比值是有理數(shù)。）

△ 如何在星球上建造兩兩距離皆為有理數(shù)的城市（圖片來自Poonen手稿）

因為有理四面體問題的解決，現(xiàn)在這個問題有兩個方案：

一個是讓赤道上均勻分布幾個城市，再把剩下兩座城市放在南極北極。

而如果想讓城市在星球上分布得更均勻一點，也就是上圖右邊的方法，那么N不能超過30，否則無解。

參考鏈接：
https://www./mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/
https:///abs/2011.14232
https:///abs/math/9508209
https://github.com/kedlaya/tetrahedra
http://matwbn./ksiazki/aa/aa30/aa3033. 
http://math./~poonen/papers/press_release.pdf
https://www./event/tetrahedra-from-aristotles-mistake-to-unsolved-problems/