你有沒(méi)有想過(guò)，如果地球的形狀不是球形，生活會(huì)是什么樣子？我們總是把太陽(yáng)系的平穩(wěn)運(yùn)行和行星旋轉(zhuǎn)對(duì)稱所帶來(lái)的緩慢而平穩(wěn)的日落看成是理所當(dāng)然的。球形的地球也讓我們很容易找到從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路徑:沿著經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)并把球體切成兩半的圓弧移動(dòng)。我們使用這些稱為測(cè)地線的最短路徑來(lái)設(shè)計(jì)飛機(jī)路線和衛(wèi)星軌道。

但如果我們住在一個(gè)立方體上呢？我們的世界將更加搖擺不定，我們的視野將變得彎曲，最短路徑也將更難找到。你可能不會(huì)花很多時(shí)間想象立方體上的生活，但數(shù)學(xué)家們會(huì):他們研究在各種形狀的星球上的旅行是什么樣子的。最近一項(xiàng)關(guān)于在十二面體上往返旅行的發(fā)現(xiàn)改變了我們幾千年來(lái)觀察物體的方式。

在給定形狀上找到最短的往返路線似乎很簡(jiǎn)單，只需要選擇一個(gè)方向并沿著直線一直走下去，最終你會(huì)回到起點(diǎn)，對(duì)吧？然而，這取決于你在什么形狀的物體表面旅行。如果是球體，OK沒(méi)問(wèn)題。(我們這里忽略了這樣一個(gè)事實(shí):地球不是一個(gè)完美的球體，它的表面也不完全是光滑的。)在球體上，徑直路徑是沿著“大圓弧”，也就是像赤道一樣的測(cè)地線。如果你繞赤道走一圈，大約2.5萬(wàn)英里后，你會(huì)繞完一圈，最后剛好回到起點(diǎn)。

在一個(gè)立方體的世界里，測(cè)地線就不那么明顯了。在單獨(dú)一個(gè)面上很容易能找到一條徑直路徑，因?yàn)槊總€(gè)面都是平的。但如果你在一個(gè)立方體的世界里行走，當(dāng)你到達(dá)邊緣時(shí)，你如何繼續(xù)“直”走呢?

有一個(gè)有趣的古老數(shù)學(xué)問(wèn)題回答了我們的疑問(wèn)。假如在立方體的一個(gè)角落有只螞蟻，而它想要到達(dá)另一個(gè)角落。那么立方體表面上從A到B的最短路徑是什么？

你可以想象出螞蟻可以選擇的很多不同的路徑。

來(lái)源：Samuel Velasco/Quanta Magazine

但是哪一條路徑最短呢?有一種巧妙的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題。我們把立方體壓平!

如果立方體是紙做的，你可以沿著邊緣剪開(kāi)，然后把它壓平，得到一個(gè)像這樣的“格網(wǎng)”。

在這個(gè)平坦的世界里，從A到B的最短路徑很容易找到:只需要在它們之間畫(huà)一條直線。

為了看看我們的立方體世界的測(cè)地線是什么樣的，只要把立方體重新拼在一起。這就是我們的最短路徑。

將立方體展平是可行的，因?yàn)榱⒎襟w的每個(gè)面本身都是平的，所以當(dāng)我們沿著邊展開(kāi)時(shí)，沒(méi)有什么會(huì)被扭曲。(類(lèi)似這樣“展開(kāi)”一個(gè)球體的嘗試卻是行不通的，因?yàn)槲覀儫o(wú)法在不扭曲它的前提下將其展平。)

現(xiàn)在，我們已經(jīng)對(duì)立方體上的徑直路徑有了一定的了解，讓我們重新考慮一下我們是否可以沿著任何一條徑直路徑行走，并且最終回到起點(diǎn)。顯然，與在球體上行走不同，在立方體上并不是每條徑直路徑都能夠往返走個(gè)來(lái)回。

往返的路徑是存在的——但是有一個(gè)條件。注意，螞蟻可以沿著我們上面繪制的路徑繼續(xù)前進(jìn)，并最終回到它開(kāi)始的地方。在一個(gè)立方體上，繞一圈后產(chǎn)生的路徑看起來(lái)更像一個(gè)菱形。

沿著這條往返路徑，螞蟻必須經(jīng)過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)(點(diǎn)B)，之后才能回到起點(diǎn)。這就是問(wèn)題所在:每條從同一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始和結(jié)束的徑直路徑都必須經(jīng)過(guò)立方體的另一個(gè)頂點(diǎn)。

上面的結(jié)論對(duì)于5個(gè)正多面體（Platonic solids，也稱柏拉圖多面體）中的4個(gè)是成立的。在立方體、正四面體、正八面體和正二十面體上，任何從同一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始和結(jié)束的徑直路線都必須經(jīng)過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們五年前就證明了這一點(diǎn)，但正十二面體并沒(méi)有位列其中。我們稍后再講這個(gè)。

為了理解為什么對(duì)于5個(gè)正多面體中的4個(gè)而言，這個(gè)有關(guān)測(cè)地線的事實(shí)是正確的，我們將采用“翻滾”的方法來(lái)研究這些路徑，我們將切換到一個(gè)四面體世界，這樣能更容易研究翻滾的路徑。

假設(shè)從一個(gè)四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿著一個(gè)面沿著一條直線前進(jìn)。我們確定一下四面體的方向，規(guī)定路徑從底面開(kāi)始。

當(dāng)我們遇到一條邊的時(shí)候，我們會(huì)把這個(gè)四面體“翻轉(zhuǎn)”過(guò)來(lái)，這樣我們的路徑就會(huì)繼續(xù)保持在底部的面上:

這張翻轉(zhuǎn)的圖表給了我們提供了一種追蹤路徑的方法，就像我們?cè)诹⒎襟w的格網(wǎng)上做的那樣:

上面的翻滾路徑代表了四面體表面的路徑:

這里四面體的五次翻滾對(duì)應(yīng)于路徑穿過(guò)的額外的五個(gè)面。

現(xiàn)在我們可以把四面體表面上的任何路徑想象成這個(gè)翻滾空間中的路徑。我們稱起點(diǎn)為點(diǎn)A，看看這個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一些翻轉(zhuǎn)后，最終落在哪里。

當(dāng)我們的路徑離開(kāi)A時(shí)，四面體就會(huì)滾到另一邊。這會(huì)讓A離開(kāi)地面。

頂點(diǎn)A暫時(shí)懸浮在翻滾空間中。在建立翻滾空間時(shí)，我們通常不會(huì)指明點(diǎn)A的位置，但如果我們向下看的話，它就會(huì)出現(xiàn)在這里。

隨著路徑的繼續(xù)延伸，四面體再次翻滾。它可能有兩個(gè)方向，但任何一個(gè)方向A都會(huì)回到地面。

當(dāng)我們讓這個(gè)四面體向每個(gè)可能的方向翻滾時(shí)，我們最終得到一個(gè)像這樣的翻滾空間:

四面體的等邊三角形面組合在一起構(gòu)造了一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)。

這個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)告訴我們關(guān)于翻滾空間的兩件有趣的事情。第一，四面體的頂點(diǎn)能落到的點(diǎn)都是“格點(diǎn)”，或者說(shuō)是具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)。這是因?yàn)樽鴺?biāo)系中的一個(gè)單位是四面體的一條邊長(zhǎng)。

第二，我們來(lái)看看A點(diǎn)最后會(huì)到哪里。A的坐標(biāo)總是偶數(shù)。當(dāng)A在底面上時(shí)，它將在兩次翻滾后回到地面，所以點(diǎn)A在每個(gè)翻滾方向上可能的著陸點(diǎn)都間隔兩個(gè)邊緣長(zhǎng)度。

現(xiàn)在我們來(lái)看看這對(duì)測(cè)地線來(lái)說(shuō)意味著什么?；叵胍幌?四面體上以點(diǎn)A為起止點(diǎn)的路徑在翻滾空間中都是在(0,0)處的A點(diǎn)開(kāi)始，在另一個(gè)A點(diǎn)結(jié)束的直線段。并且當(dāng)路徑的起止點(diǎn)都是A點(diǎn)時(shí),這些路徑的中點(diǎn)會(huì)存在一些很有趣現(xiàn)象。

即使在彎曲坐標(biāo)系中，標(biāo)準(zhǔn)中點(diǎn)公式仍然成立，因此我們可以對(duì)端點(diǎn)坐標(biāo)求平均值來(lái)得到中點(diǎn)的坐標(biāo)。由于起點(diǎn)的坐標(biāo)都是0，終點(diǎn)的坐標(biāo)都是偶數(shù)，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)。這意味著中點(diǎn)都是格點(diǎn)，因此正如我們?cè)谇懊嬗^察到的，它對(duì)應(yīng)于翻滾空間中三角形的頂點(diǎn)。

例如，從(0,0)到(4,2)的路徑的中點(diǎn)(2,1)，這是網(wǎng)格中的一個(gè)格點(diǎn)。

這意味著在四面體的表面上，這條從A到自身的路徑必須經(jīng)過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)。

由于在這個(gè)系統(tǒng)中A的每個(gè)可能的著陸點(diǎn)都有偶數(shù)坐標(biāo)，所以以A為起止點(diǎn)的每條測(cè)地線路徑的中點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)格點(diǎn)。這表明四面體表面上從A到A的每一條測(cè)地線都必須經(jīng)過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)。

這是在2015年數(shù)學(xué)家戴安娜·戴維斯(Diana Davis)、維克多·多茲(Victor Dods)、辛西婭·特勞布(Cynthia Traub)和杰德·楊(Jed Yang)所給出的嚴(yán)格的論證的一個(gè)簡(jiǎn)單版本。他們用了一個(gè)相似但更加復(fù)雜的過(guò)程論證了同樣的情況對(duì)于立方體也成立。在第二年德米特里·富克斯（Dmitry Fuchs）證明了這一結(jié)果對(duì)于正八面體和正二十面體同樣成立。正因如此，我們知道對(duì)于正四面體，立方體，正八面體和正二十面體而言，不存在以某個(gè)頂點(diǎn)為起止點(diǎn)但不經(jīng)過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)的徑直路線。

但在2019年之前，正十二面體表面是否存在這樣的路徑一直是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題，直到數(shù)學(xué)家賈亞德夫·阿特里亞(Jayadev athrya)、大衛(wèi)·奧利奇諾(David Aulicino)和帕特里克·胡珀(Patrick Hooper)證明了這實(shí)際上是可能的。事實(shí)上，他們?cè)谑骟w的表面上發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮多條以某個(gè)頂點(diǎn)為起止點(diǎn)但不經(jīng)過(guò)其他頂點(diǎn)的徑直路線。

這是一條在十二面體的網(wǎng)格上顯而易見(jiàn)的徑直路線。

幾千年來(lái)，人們一直把正多面體放在一起討論研究，因?yàn)樗鼈冇泻芏喙餐帯５F(xiàn)在我們對(duì)正十二面體有了新的認(rèn)識(shí)，這顯然是不同的。這個(gè)不可思議的發(fā)現(xiàn)表明，無(wú)論我們對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解有多透徹，總有更多的東西需要學(xué)習(xí)。它還表明，從問(wèn)題到解決方案的路徑并不總是像一條直線。

下面給大家?guī)讉€(gè)小練習(xí)