34     證明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

35  求滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。判定并證明A’B’與軌跡的位置關(guān)系。

36      切點(diǎn)三角形面積和外切三角形面積之比是否為定值

37      對(duì)于拋物線上定點(diǎn)AB，在AB內(nèi)部的拋物線上求點(diǎn)C，使得△ABC面積最大

38      設(shè)△ABC’面積為1，請(qǐng)計(jì)算拋物線與AB圍成的弓形的面積。

34 證明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

證明：

則由上節(jié)結(jié)論6知相應(yīng)坐標(biāo)為

即A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

注：

此比例性質(zhì)很優(yōu)美，一般稱為阿波羅尼斯（Apollonius）性質(zhì).證明也不困難。

不難想象，反之亦然，此性質(zhì)也可以作為拋物線的一個(gè)判定，即為下一題。

35  求滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。判定并證明A’B’與軌跡的位置關(guān)系。

證明：

設(shè)A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’=k,

即A’B’斜率恰為拋物線經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的切線斜率，

故A’B’與拋物線相切于M。

注：

1)此結(jié)論在意料之中，只需照貓畫(huà)虎、按部就班的把上題證明倒著寫(xiě)一遍即可。不難想象，本題還能進(jìn)一步推廣為：

對(duì)給定三角形C’AB,滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為一條與C’A,C’B,相切于A,B的定拋物線。進(jìn)一步，A’B’始終與此拋物線相切。不過(guò)要注意的是一般的拋物線方程未必是標(biāo)準(zhǔn)方程，可能會(huì)比較復(fù)雜。

2)不難發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)31中的RQ其實(shí)就滿足上述比例關(guān)系，因此RQ為拋物線的切線。

36 切點(diǎn)三角形面積和外切三角形面積之比是否為定值

思路一：直接用坐標(biāo)算出兩個(gè)三角形的面積公式。先得到一般的任意三角形的面積公式，然后代入即可。

解法一：

下面回到本題，將本題中ABC,A’B’C’坐標(biāo)代入上述公式即得

思路二：利用結(jié)論33，將本題可以轉(zhuǎn)化為平面幾何面積問(wèn)題，只需要設(shè)出比例，利用比例關(guān)系計(jì)算相應(yīng)面積即可。

解法二：

利用結(jié)論33，令A(yù)’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’=k,則

故[ABC]=2[A’B’C’],即切點(diǎn)三角形面積為外切三角形面積的2倍。

注：

(1) 上述引理的面積表達(dá)式優(yōu)美而且重要，證明也比較自然而簡(jiǎn)潔，就是用割補(bǔ)法表達(dá)出面積即可算得。當(dāng)然熟悉行列式的讀者應(yīng)該知道，此面積可以用行列式簡(jiǎn)單明了的表達(dá)出來(lái)，

考慮到中學(xué)生一般都沒(méi)接觸過(guò)行列式，這里就不再贅述。感興趣的讀者可以自行查閱相關(guān)資料。特別的，當(dāng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，此面積表達(dá)式只有兩項(xiàng)，是一個(gè)教材中的常見(jiàn)的結(jié)論。

(2) 需要說(shuō)明的是，考慮到坐標(biāo)可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，上述面積表達(dá)式最好帶上絕對(duì)值，例如細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)本題后面的面積表達(dá)式的符號(hào)是相反的。其實(shí)可以不引入絕對(duì)值，引入有向面積會(huì)更合理。類似于三角函數(shù)中正角的規(guī)定，我們規(guī)定，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的三角形的面積為正的，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的三角形面積為負(fù)值。這樣就能發(fā)現(xiàn)本題中兩個(gè)三角形因?yàn)樾D(zhuǎn)方向相反，所以比值為負(fù)值，其實(shí)這樣的規(guī)定更合理，而且更精確。

(3) 本結(jié)論是拋物線一個(gè)優(yōu)美而深刻的性質(zhì)。特別的，當(dāng)C為AB中點(diǎn)時(shí)，則A’,B’也為中點(diǎn)，

就得到前面的結(jié)論6，即C’C為中線，并能進(jìn)一步得到中線C’M中點(diǎn)也在拋物線上且過(guò)此點(diǎn)的拋物線的切線和AB平行，當(dāng)然也能計(jì)算得到。

(4) 上述證法二是面積法的常用技巧，其中第一個(gè)面積公式因?yàn)槿齻€(gè)三角形底邊相同，故本質(zhì)是線段的定比分點(diǎn)公式，這是基礎(chǔ)而常見(jiàn)的結(jié)論。

(5) 由上述證法二可以得到一個(gè)一般的平面幾何問(wèn)題，即：

如圖，BEA,AFC,EDF共線，且BE/EA＝AF/FC＝ED/DF。

求證：[DBC]＝2[AEF]。

37 對(duì)于拋物線上定點(diǎn)AB，在AB內(nèi)部的拋物線上求點(diǎn)C，使得△ABC面積最大

思路一：

利用36題中得到的三個(gè)點(diǎn)的面積公式，得到一個(gè)二次函數(shù)，用均值不等式或者對(duì)稱軸即能解決。

思路三：

利用幾何意義，本題相當(dāng)于求AB弧內(nèi)部到AB距離最大的點(diǎn)，將AB平移，則當(dāng)距離最大時(shí)，此直線會(huì)和拋物線相切，從而只需求切線斜率和AB相同的點(diǎn)C即可。

解法三：

注：

上述三種解法殊途同歸，結(jié)果很好理解，就是上題中當(dāng)C’C為C’AB中線時(shí)，取得最大值。前兩種解法都是化為二次函數(shù)，用均值不等式或者對(duì)稱軸解決，解法三利用幾何意義，結(jié)論似乎顯然，也是最常見(jiàn)的解決方法。不過(guò)嚴(yán)格上說(shuō)證明并不是很嚴(yán)謹(jǐn)。不難發(fā)現(xiàn)本結(jié)論也和前面結(jié)論8暗合。

38    設(shè)△ABC’面積為1，請(qǐng)計(jì)算拋物線與AB圍成的弓形的面積。

思路：考慮上題結(jié)論中的特例，當(dāng)C’C為中線時(shí)，則△ABC面積為0.5.

繼續(xù)如法炮制，過(guò)A’,B’作x軸平行線，則和拋物線圍成的面積是剩下面積的1/4，

如此反復(fù)操作，每次新增加的面積都是上一個(gè)面積的1/4，得到一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，

求和即得。

解：考慮36題結(jié)論中的特例，當(dāng)C’C為中線時(shí)，則[△ABC]=1/2.

繼續(xù)如法炮制，過(guò)A’,B’作x軸平行線，交拋物線于A’’,B’’.

則同理有

即拋物線面積為2/3.

注：

本結(jié)論本質(zhì)是微積分的思想和方法，當(dāng)然也可以通過(guò)積分得到。不過(guò)這里相當(dāng)于給出了一個(gè)詳細(xì)的構(gòu)造和計(jì)算的過(guò)程。事實(shí)上，這是2000多年前阿基米德當(dāng)年得到的解法，此方法一般稱為“窮竭法”，是微積分思想的淵藪。這也是前兩節(jié)中此類三角形被稱為阿基米德三角形的原因所在，此題算是綜合了幾何和微積分的妙題，值得我們仔細(xì)品味。