對經(jīng)過努力依舊未能解決的問題，如果不進行卓著的創(chuàng)新，那么依舊難以看穿問題的本質(zhì)——高斯

喜新厭舊是數(shù)學(xué)家的魅力

本文繼續(xù)代數(shù)數(shù)論概念系列文章——引入代數(shù)數(shù)論的討論(1)的寫作。

天才最重要的特點是擁有非凡的創(chuàng)造力。

數(shù)學(xué)家最喜歡的問題是那些用既有理論解決不了的問題(如果能確定解決不了的話)，因為他們可以借此機會創(chuàng)造新的理論，這讓他們非常愜意。誰不是那么喜新厭舊呢？唯有物理學(xué)家。

物理學(xué)家在愛因斯坦橫空出世之前，還沒有這種喜新厭舊的覺悟。相對論大獲成功，物理學(xué)家集體開竅，紛紛向數(shù)學(xué)家們看齊。但無論如何努力，或許人類只能永久困在閔可夫斯基空間，數(shù)學(xué)家物理學(xué)家工程師可能永遠突破不到更高維的科技。

域的創(chuàng)造產(chǎn)生是數(shù)學(xué)家們極為重要但不是極為困難的工作成果。在實數(shù)域的基礎(chǔ)上發(fā)展出復(fù)數(shù)域，好像孕婦順產(chǎn)一般，看起來波瀾不驚，自然而然。但這些工作成果極為重要，很多數(shù)學(xué)創(chuàng)造在擴域的過程中誕生。比如求-1的根，發(fā)展出數(shù)學(xué)與科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)無處不在的復(fù)數(shù)域。

素數(shù)總出難題，但也幫助解決難題

在很多人的印象中，素數(shù)總是在為難數(shù)學(xué)家，為數(shù)學(xué)家提供幫助不可想象。

本文主要敘述素數(shù)最基本的性質(zhì)(?)為什么在實數(shù)域成立，但到了復(fù)數(shù)域內(nèi)不再成立的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。素數(shù)這一性質(zhì)的改變，曾經(jīng)幫助19世紀的數(shù)學(xué)家們了解到那個時代的數(shù)學(xué)工具不可能證明費馬大定理。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家了解到這一情況后，也不想糾纏了，他們將精力放在了其他的問題上.從工程學(xué)的角度來說，素數(shù)幫助數(shù)學(xué)家避免浪費了寶貴的智力資源。

素數(shù)不再是“素數(shù)”（以下內(nèi)容不要求看懂）

在復(fù)數(shù)域內(nèi)，有一種數(shù)稱為高斯整數(shù)，高斯整數(shù)包括一種“素數(shù)”叫高斯素數(shù)。高斯整數(shù)不是高斯發(fā)明的，但高斯是第一個深入研究此類數(shù)的數(shù)學(xué)家。他將實數(shù)域的整數(shù)的一些性質(zhì)引入高斯整數(shù)，有力推動了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展進步。

高斯整數(shù)有些性質(zhì)跟通常意義上的整數(shù)......，-1， 0， 1，2，3，4, 5, .......的性質(zhì)相同，是形如

高斯整數(shù)

的復(fù)數(shù)。高斯整數(shù)集構(gòu)成了一個環(huán)，從復(fù)平面上看為一個個格點。請問整數(shù)集包含在高斯整數(shù)環(huán)內(nèi)不？

對于所有大于2的素數(shù)，一部分滿足定理(1)

素數(shù)

5，13， 17，29，......，都是這種素數(shù)。

還有一部分素數(shù)很明顯滿足(2)

素數(shù)

3， 7，11，19，......，這些數(shù)都是高斯素數(shù)。

利用高斯整數(shù)的定義可以看出滿足(1)的素數(shù)可表述成

高斯素數(shù)

可以證明滿足(1)的素數(shù)在高斯整數(shù)環(huán)內(nèi)不是素元。

證明

令x=2n!，由威爾遜定理

威爾遜定理

可得(3)

因為

由(3)可以有

等于

又因為

綜上所述，p不是高斯素數(shù)。

提個小問題，為什么必須驗證x + i, x-i與p相除不是高斯整數(shù)的元素？

復(fù)數(shù)z=x + yi的范數(shù)定義為

范數(shù)

那么有

范數(shù)

可取

域的擴張讓孤獨的素數(shù)不再孤獨，數(shù)論的內(nèi)涵變得更有活力與張力。這僅僅是代數(shù)數(shù)論的小小的魅力，學(xué)習(xí)得越多，越不敢說知道得多。