一個(gè)故事：你已經(jīng)做了10年的自由職業(yè)者了。到目前為止，你的平均年收入約為8萬(wàn)美元。今年，你覺(jué)得自己陷入了困境，決定要達(dá)到6位數(shù)。要做到這一點(diǎn)，你需要先計(jì)算這一令人興奮的成就發(fā)生的概率，但你不知道怎么做。

在世界上有許多場(chǎng)景，其中存在某個(gè)隨機(jī)事件的已知概率，企業(yè)希望發(fā)現(xiàn)該事件在未來(lái)發(fā)生的概率大于或小于這個(gè)概率。例如，已經(jīng)知道自己平均銷(xiāo)售額的零售商所有者會(huì)試圖猜測(cè)他們?cè)诤谏瞧谖寤螂p十一等特殊日子能多賺多少錢(qián)。這將幫助他們儲(chǔ)存更多的產(chǎn)品，并相應(yīng)地管理他們的員工。

在這篇文章中，我們將討論用于模擬上述情況的泊松分布背后的理論，如何理解和使用它的公式，以及如何使用Python代碼來(lái)模擬它。

離散型概率分布

這篇文章假設(shè)你對(duì)概率有一個(gè)基本的了解。在我們開(kāi)始真正的文章之前，我們將建立一些對(duì)離散概率分布的理解。

首先，讓我們定義離散的含義。在描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中，離散數(shù)據(jù)是通過(guò)計(jì)數(shù)記錄或收集的任何數(shù)據(jù)，即整數(shù)。例如考試分?jǐn)?shù)、停車(chē)場(chǎng)里的汽車(chē)數(shù)量、醫(yī)院里的分娩數(shù)量等。

然后，有一些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生離散的結(jié)果。例如，拋硬幣有兩種結(jié)果:正面和反面(1和0)，擲骰子有6種離散結(jié)果，以此類(lèi)推。如果用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)存儲(chǔ)離散實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果，那么它將具有離散概率分布。

概率分布記錄了隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果。

作為一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，讓我們來(lái)構(gòu)建一次拋硬幣的分布:

這很容易。如果我們想以編程的方式記錄這個(gè)分布，它應(yīng)該是Python列表或Numpy數(shù)組的形式:

然而，你可以想象，對(duì)于有許多可能結(jié)果的大型實(shí)驗(yàn)，用這種方法建立分布并找到概率是不可能的。值得慶幸的是，每個(gè)概率分布都有自己的公式來(lái)計(jì)算任何結(jié)果的概率。對(duì)于離散概率分布，這些函數(shù)稱(chēng)為概率質(zhì)量函數(shù)(PMF)。

泊松分布

我們將通過(guò)一個(gè)案例來(lái)開(kāi)始理解泊松分布。假如你真的很喜歡在醫(yī)院里看新生兒。根據(jù)你的觀察和報(bào)告，你知道醫(yī)院平均每小時(shí)出生6個(gè)新生兒。

你發(fā)現(xiàn)你明天要出差，所以在去機(jī)場(chǎng)之前，你想最后一次去醫(yī)院。因?yàn)槟阋x開(kāi)好幾個(gè)月，你想看到盡可能多的新生兒，所以你想知道在起飛前一小時(shí)是否有機(jī)會(huì)見(jiàn)到10個(gè)或更多的嬰兒。

如果我們把觀察新生兒作為一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果將遵循經(jīng)典的泊松分布。原因是它滿(mǎn)足泊松分布的所有條件:

有一個(gè)已知的事件速率:平均每小時(shí)有6個(gè)新生兒

事件是獨(dú)立發(fā)生的:1嬰兒的出生并不影響下一個(gè)嬰兒的出生時(shí)間

已知的出生率隨時(shí)間是不變的:平均每小時(shí)嬰兒的數(shù)量不隨時(shí)間變化

兩件事不會(huì)在同一時(shí)刻發(fā)生(每個(gè)結(jié)果都是離散的)

泊松分布具有許多重要的業(yè)務(wù)含義。企業(yè)通常使用他來(lái)預(yù)測(cè)某一天的銷(xiāo)售額或客戶(hù)數(shù)量，因?yàn)樗麄冎烂刻斓钠骄鶅r(jià)格。做出這樣的預(yù)測(cè)有助于企業(yè)在生產(chǎn)、調(diào)度或人員配備方面做出更好的決策。例如，庫(kù)存過(guò)多意味著銷(xiāo)售活動(dòng)減少，或者沒(méi)有足夠的商品意味著失去商機(jī)。

簡(jiǎn)而言之，泊松分布有助于發(fā)現(xiàn)事件在固定時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的概率大于或小于已經(jīng)記錄的速率(通常表示為λ(lambda))。

其概率質(zhì)量函數(shù)為:

這個(gè)公式的字母含義如下：

1. k是成功的次數(shù)(期望發(fā)生的次數(shù))

1. λ是給定的速率

1. e為歐拉數(shù)，e = 2.71828…

1. k !是k的階乘嗎

使用這個(gè)公式，我們可以求出看到10個(gè)新生兒知道平均出生率為6的概率:

不幸的是，只有大約4%的幾率能看到10個(gè)孩子。

我們不會(huì)詳細(xì)講解這個(gè)公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的，但如果你感興趣，請(qǐng)觀看可汗學(xué)院的視頻。

還有一些要點(diǎn)你必須記住。即使有一個(gè)已知的速率，它只是一個(gè)平均值，所以事件的時(shí)間可能是完全隨機(jī)的。例如，你可以觀察兩個(gè)背靠背出生的嬰兒，或者你可能會(huì)為下一個(gè)嬰兒等待半個(gè)小時(shí)。

而且，在實(shí)踐中，λ的速率可能不總是恒定的。這甚至適用于我們的新生兒實(shí)驗(yàn)。即使這個(gè)條件不成立，我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為分布是泊松分布，因?yàn)椴此煞植甲銐蚪咏?，可以模擬情況的行為。

模擬泊松分布

利用numpy從泊松分布中模擬或抽取樣本非常容易。我們首先導(dǎo)入它，并使用它的隨機(jī)模塊進(jìn)行模擬:

從泊松分布中提取樣本，我們只需要速率參數(shù)λ。我們把它插入np，隨機(jī)的。泊松函數(shù)，并指定樣本個(gè)數(shù):

poisson = np.random.poisson(lam=10, size=10000)

這里，我們模擬了一個(gè)速率為10的分布，有10k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。為了看到這個(gè)分布，我們將繪制其PMF的結(jié)果。雖然我們可以手工完成，但已經(jīng)有一個(gè)非常好的包叫empiricaldist，由艾倫·b·唐尼(Allen B. Downey)撰寫(xiě)，他是《ThinkPython》(ThinkPython)和《ThinkStats》(ThinkStats)等著名著作的作者。我們將安裝并導(dǎo)入其Pmf函數(shù)到我們的環(huán)境中:

Pmf有一個(gè)名為from_seq的函數(shù)，它接受任何分布并計(jì)算Pmf:

poisson = np.random.poisson(lam=10, size=10000)pmf_poisson = Pmf.from_seq(poisson)pmf_poisson

回想一下，PMF顯示了每個(gè)唯一結(jié)果的概率，所以在上面的結(jié)果中，結(jié)果被作為指數(shù)和概率下的概率給出。讓我們使用matplotlib來(lái)繪制它:

正如預(yù)期的那樣，最高的概率是均值(速率參數(shù)，λ)。

現(xiàn)在，讓我們假設(shè)我們忘記了泊松分布的PMF公式。如果我們做觀察新生兒的實(shí)驗(yàn)，我們?nèi)绾吻蟪隹吹?0個(gè)新生兒而比率為6的概率呢?

首先，我們用給定的速率作為參數(shù)來(lái)模擬完美泊松分布。同時(shí)，為了獲得更好的精度，我們會(huì)繪制大量的樣本:

child_births = np.random.poisson(lam=6, size=1000000)

我們對(duì)一個(gè)速率為6，長(zhǎng)度為100萬(wàn)的分布進(jìn)行抽樣。接下來(lái)，我們看看他們中有多少人有10個(gè)孩子:

所以，我們?cè)?1114個(gè)試驗(yàn)中觀察了10個(gè)嬰兒(每個(gè)小時(shí)可以考慮有一個(gè)試驗(yàn))。然后，我們用這個(gè)數(shù)除以樣本總數(shù):

>>> births_10 / 1e60.041114

如果您回想一下，使用PMF公式，結(jié)果是0.0413，我們可以看到我們手工編寫(xiě)的解決方案非常接近。

結(jié)論

關(guān)于泊松分布仍有許多值得探討的地方。我們討論了這個(gè)詞的基本用法及其在商業(yè)世界中的含義。泊松分布還有一些有趣的地方比如它和二項(xiàng)分布的關(guān)系。