（Poincaré conjecture）是法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。其中三維的情形被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。2006年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓?fù)鋵W(xué)中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認(rèn)識。

1904年，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊在提出了一個拓?fù)鋵W(xué)的猜想：

“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?！?/p>

簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)，或者說在一個封閉的三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點(diǎn),這個空間就一定是一個三維圓球。

后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。[1] 

關(guān)于龐加萊

亨利·龐加萊(Henri Poincaré)，法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。1854年4月29日生于法國南錫，1912年7月17日卒于巴黎。他的成就不在于他解決了多少問題，而在于他曾經(jīng)提出過許多具有開創(chuàng)意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，只是其中的一個。

一位數(shù)學(xué)史家曾經(jīng)如此形容1854年出生的亨利·龐加萊（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起?！?/p>

歷史

提出這個猜想后，龐加萊一度認(rèn)為自己已經(jīng)證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。于是，拓?fù)鋵W(xué)家們開始了證明它的努力。

早期的證明

20世紀(jì)30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項(xiàng)。但突然，英國數(shù)學(xué)家懷特海（Whitehead）對這

龐加萊猜想

個問題產(chǎn)生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。但是失之東隅、收之桑榆，在這個過程中，他發(fā)現(xiàn)了三維流形的一些有趣的特例，這些特例被稱為懷特海流形。

30年代到60年代之間，又有一些著名的數(shù)學(xué)家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數(shù)學(xué)家。因?yàn)樗拿殖L超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數(shù)學(xué)圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學(xué)邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而聞名于世，喜好舞文弄墨的數(shù)學(xué)家約翰·米爾諾（John Milnor）曾經(jīng)為此寫下一段打油詩：“無情無義的迪恩引理/每一個拓?fù)鋵W(xué)家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費(fèi)力?！?/p>

然而，這位聰明的希臘拓?fù)鋵W(xué)家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學(xué)流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數(shù)學(xué)家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最后選擇了隱忍不言。

高維龐加萊猜想

這一時期拓?fù)鋵W(xué)家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產(chǎn)生他們所期待的結(jié)果，但是，卻因此發(fā)展出了低維拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科。

龐加萊猜想

一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問題之一。然而，因?yàn)樗菐缀瓮負(fù)溲芯康幕A(chǔ)，數(shù)學(xué)家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)。

斯梅爾（Smale）在60年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內(nèi)盧的海濱，經(jīng)?？梢钥吹揭粋€人，手持草稿紙和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。 斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。

1983年，美國數(shù)學(xué)家福里德曼（Freedman）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎(chǔ)上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進(jìn)的工作，又停滯了。

拓?fù)鋵W(xué)的方法研究三維龐加萊猜想沒有進(jìn)展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中之一。他引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進(jìn)行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

“就像費(fèi)馬大定理，當(dāng)谷山志村猜想被證明后，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數(shù)了。因?yàn)?，一個可以解決問題的工具出現(xiàn)了。”清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任文志英說。

里奇曲率流

理查德·漢密爾頓，生于1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡沖浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的數(shù)學(xué)成就，卻只有稱贊和惺惺相惜。

1972年，丘成桐和李偉光合作，發(fā)展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結(jié)構(gòu)的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，并因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學(xué)的一個討論班上，當(dāng)時是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系教授的丘成桐見到了漢密爾頓?！澳菚r候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結(jié)果?！鼻鸪赏┱f，“于是我跟他講，可以用這個結(jié)果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題?！?/p>

Ricci流是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想?？吹竭@個方程的重要性后，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學(xué)生跟著漢密爾頓研究Ricci流。

在使用Ricci流進(jìn)行空間變換時，到后來，總會出現(xiàn)無法控制走向的點(diǎn)。這些點(diǎn)，叫做奇點(diǎn)。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作后，1993年，漢密爾頓發(fā)表了一篇關(guān)于理解奇點(diǎn)的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。

七個“千禧難題”

2000年5月24日，美國克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematical Institute）的科學(xué)顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。另外六個分別是：P對NP問題， 霍奇猜想， 黎曼假設(shè)，楊－米爾斯理論存在性與質(zhì)量缺口，納維-斯托克斯方程存在性與光滑性，BSD猜想。

這七道問題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決。”克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵。

佩雷爾曼的突破

格里戈里·佩雷爾曼在花了8年時間研究這個足有一個世紀(jì)的數(shù)學(xué)難題后，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關(guān)鍵論文的手稿粘貼到arXiv.org這個專門刊登數(shù)學(xué)和物理預(yù)印本論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家，聲稱自己證明了幾何化猜想。到2005年10月，數(shù)位專家宣布驗(yàn)證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經(jīng)達(dá)成?！叭绻腥藢ξ医鉀Q這個問題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們?nèi)タ窗??！迸謇谞柭f，“我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了?！?/p>

佩雷爾曼的做法讓克雷數(shù)學(xué)研究所大傷腦筋。因?yàn)榘凑者@個研究所的規(guī)矩，宣稱破解了猜想的人需在正規(guī)雜志上發(fā)表并得到專家的認(rèn)可后，才能獲得100萬美元的獎金。顯然，佩雷爾曼并不想把這100萬美金補(bǔ)充到他那微薄的收入中去。

爭議

2006年，在佩雷爾曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，專家們終于達(dá)成了共識：佩雷爾曼解決了這個學(xué)科最令人肅然起敬的問題之一。但是猜想的解決卻觸發(fā)了一場風(fēng)波。

2003年春天，丘成桐召集中山大學(xué)的朱熹平和他的一個學(xué)生，里海大學(xué)的曹懷東，承擔(dān)解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學(xué)年訪問哈佛大學(xué)，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明并繼續(xù)與曹一起寫他們的文章。2006年4月13日，《亞洲數(shù)學(xué)雜志》編委會的31位數(shù)學(xué)家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內(nèi)對丘打算在雜志上發(fā)表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發(fā)表意見，題目是“瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論:龐加萊和幾何化猜想”。電子郵件沒有包含這篇文章，評審報告或者摘要。至少一位編委要求看這篇文章，卻被告知無法得到。4月16日曹收到了丘的郵件告訴他文章已被接受，摘要已在雜志的網(wǎng)站公布。一個多月后，朱和曹的文章的題目在《亞洲數(shù)學(xué)雜志》的網(wǎng)頁上被改成“龐加萊和幾何化猜想的一個完整證明：瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的應(yīng)用”。摘要也被修改了，新加的一句話說，“這一證明應(yīng)看作為瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的最高成就”。

其他的一些數(shù)學(xué)家不同意朱和曹對于龐加萊猜想做出重要新貢獻(xiàn)的說法。紐約州立大學(xué)石溪分校的幾何學(xué)家約翰?摩根（John Morgan）說：“佩雷爾曼已經(jīng)做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什么不同的事情?！?006年8月21日出版的《紐約客》雜志刊發(fā)了一則關(guān)于龐加萊猜想的長篇報道。報道的第一作者是美國哥倫比亞大學(xué)新聞系教授娜莎(Sylvia Nasar)，曾經(jīng)寫過《美麗心靈——納什傳》一書。娜莎通過一些數(shù)學(xué)家之口，將丘成桐描述為一個追名逐利之徒。紐約大學(xué)石溪分校數(shù)學(xué)系教授安德爾森（Michael Anderson）說，“丘成桐想要做幾何界的國王。他認(rèn)為一切都應(yīng)當(dāng)出自于他。他不喜歡別人侵入他的領(lǐng)地”；麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授斯德洛克(Dan Strook)說，“他做過輝煌的事情，也為此得到了輝煌的榮譽(yù)。他拿到了所有的獎。在這個問題上他好像也想撈—把，我感到這有點(diǎn)卑劣……”在文章所配發(fā)的漫畫中，丘成桐正試圖從佩雷爾曼胸前摘走菲爾茲獎獎?wù)隆?/p>

娜莎及其合作者在2006年國際數(shù)學(xué)家大會召開之前遠(yuǎn)赴圣彼得堡，終于采訪到了佩雷爾曼。當(dāng)被問到是否讀過曹和朱的論文時，佩雷爾曼回答說，“我不清楚他們作出了什么新貢獻(xiàn)，顯然，朱不是非常理解我的推理，然后重新進(jìn)行了論證?！?/p>

最后朱熹平和曹懷東自己都承認(rèn)他們沒有任何新的貢獻(xiàn)。12月3日，曹懷東和朱熹平在數(shù)學(xué)家們公布預(yù)印本的網(wǎng)站貼出一篇文章，題目是“龐加萊猜想與幾何化猜想的漢密爾頓–佩雷爾曼證明”。兩位作者在文章的引言中說：此文是對于他們在《亞洲數(shù)學(xué)雜志》2006年第10卷第2期上發(fā)表的文章的修訂版。原來的文章的題目是“龐加萊與幾何化猜想的完整證明—瑞奇流的漢密爾頓–佩雷爾曼理論之應(yīng)用”；而且在原來的摘要中稱他們“給出了龐加萊與幾何化猜想的完整證明”，這句話在新版本中被刪掉了。兩位作者特別指出：“我們改變了標(biāo)題并對摘要作了修改是為了反映我們的觀點(diǎn)，即證明龐加萊猜想的全部功勞屬于漢密爾頓和佩雷爾?！?/p>

事實(shí)上，在這兩位作者宣布他們對于龐加萊猜想的證明沒有功勞之前，丘成桐教授已經(jīng)在國外說過他們的工作沒有原創(chuàng)性。也就是說丘成桐自己已經(jīng)否定了他在6月初對中國媒體講的話。

另注：此事件中《紐約客》的采訪對象與采訪發(fā)布后有多人表示娜莎及其合作者“歪曲事實(shí)”。包括理查德·漢密爾頓在內(nèi)的多名數(shù)學(xué)家發(fā)表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。

紐約大學(xué)石溪分校數(shù)學(xué)系教授安德爾森（Michael Anderson）在事后的澄清信中明確表示：“我明確告訴過她（娜莎），當(dāng)時我做出的評價不過是出于猜測，沒有事實(shí)根據(jù)。我從來沒有允許她這樣引用我的話”。

另一采訪對象麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授斯德洛克(Dan Strook)更是在澄清信中表示娜莎及《紐約客》的歪曲報道“讓我，以及其他接受娜莎采訪的人震驚和憤怒”。

斯德洛克更進(jìn)一步表示：”娜莎在6月參加了丘擔(dān)任大會主席的國際超弦大會后，設(shè)法讓我相信她對丘成桐非常崇拜，詢問我對于他的活動的看法。我告訴她，我很仰慕丘在支持中國年輕數(shù)學(xué)家，以及改變中國學(xué)術(shù)界的腐朽現(xiàn)狀所作的努力。我告訴她，有時候我覺得他的處事方法值得商榷。特別地，我告訴她，至少在我眼中，丘不注意保護(hù)自己，過于特立獨(dú)行，而把自己暴露在敵人面前。如同她文章中所寫的那樣，她有意歪曲我的陳述，并且不可原諒地加以杜撰。與大多數(shù)人一樣，丘也有自己的缺點(diǎn)；但是大多數(shù)人無法比擬的是，他的高尚品德遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的缺點(diǎn)。不幸的是，娜莎用我的話來支持她的反面論證。為此我無法原諒她。”

猜想比喻

如果你認(rèn)為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：

我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一只巨大的足球，里面充滿了氣，我們鉆到里

龐加萊猜想

面看，這就是一個球形的房子。

我們不妨假設(shè)這個球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結(jié)實(shí)，沒有窗戶沒有門，我們在這樣的球形房子里。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什么氣球都可以（其實(shí)對這個氣球是有要求的）。這個氣球并不是癟的，而是已經(jīng)吹成某一個形狀，什么形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續(xù)吹大它，而且假設(shè)氣球的皮特別結(jié)實(shí)，肯定不會被吹破。還要假設(shè)，這個氣球的皮是無限薄的。

好，接著我們繼續(xù)吹大這個氣球，一直吹。吹到最后會怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最后，一定是氣球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

看起來這是不是很容易想清楚？但數(shù)學(xué)可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和邏輯推理。一個多世紀(jì)以來，無數(shù)的科學(xué)家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

佩雷爾曼

對于佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數(shù)學(xué)天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數(shù)學(xué)和物理。16歲時，他以優(yōu)異的成績在1982年舉行的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯。

從圣彼得堡大學(xué)獲得博士學(xué)位后，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學(xué)院圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作。上個世紀(jì)80年代末期，他曾到美國多所大學(xué)做博士后研究。之后在斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所，繼續(xù)他的宇宙形狀證明工作。

證明龐加萊猜想關(guān)鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道。據(jù)說，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對像《自然》《科學(xué)》這樣聲名顯赫雜志的采訪，他也不屑一顧。

“我認(rèn)為我所說的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣?！迸謇谞柭f，“我不愿意說是因?yàn)槲液芸粗刈约旱碾[私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒有頂級機(jī)密，我只不過認(rèn)為公眾對我沒有興趣?！彼麍?jiān)持自己不值得如此的關(guān)注，并表示對飛來的橫財沒有絲毫的興趣。

2003年，在發(fā)表了他的研究成果后不久，這位頗有隱者風(fēng)范的大胡子學(xué)者就從人們的視野中消失了。據(jù)說他和母親、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個猶太人家庭很少對外開放。

“我拒絕”

國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席John Ball曾秘密拜訪佩雷爾曼，他的唯一目的是說服佩雷爾曼接受將在8月份國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)的菲爾茲獎。誰都知道這是數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)，此前共有44位數(shù)學(xué)家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽(yù)。然而面對Ball教授兩天共十個小時的勸說，佩雷爾曼的回答只是“我拒絕?！彼忉屨f：“如果我的證明是正確的，這種方式的承認(rèn)是不必要的?！?/p>

佩雷爾曼于美國的訪問生活

佩雷爾曼于1992年訪問美國，他的生活極為儉樸，只吃面包，芝士和牛奶。在紐約大學(xué)他結(jié)識了年輕的中國數(shù)學(xué)家田剛，每星期他們一起開車去普林斯頓參加高等研究院的討論班。佩雷爾曼讀了哈密爾頓關(guān)于瑞奇流的文章，還在高等研究院聽了他給的一個報告。佩雷爾曼說：“你不用是大數(shù)學(xué)家也可以看出這對幾何化會有用。”

1993年佩雷爾曼開始在伯克萊進(jìn)行為期兩年的訪問，適逢哈密爾頓來校作系列演講。一次報告后，哈密爾頓告訴佩雷爾曼他所遇到的最大的一些障礙，其中之一是叫做“雪茄”的一類奇點(diǎn)。佩雷爾曼意識到，他寫的一篇沒有發(fā)表的文章可能對解決這個問題有用，問哈密爾頓是否知道這篇文章。但哈密爾頓似乎沒有了解這篇文章的重要。

回到圣彼得堡

1994年，佩雷爾曼因?qū)懗隽藥灼浅Ｓ性瓌?chuàng)性的論文而被邀請?jiān)趪H數(shù)學(xué)家大會作報告。好幾家大學(xué)，包括斯坦福和普林斯頓，邀請他去申請職位。但是他拒絕了一些學(xué)校提供的職位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他說：“我意識到我在俄國會工作得更好?！彼固垢５腅liashberg 說他回俄國是為了解決龐加萊猜想，佩雷爾曼對這種說法沒有表示反對。

在俄國他獨(dú)自工作，只通過英特網(wǎng)搜集他所需要的知識。Gromov,一位曾與佩雷爾曼合作過的著名幾何學(xué)家說：“他不需要任何幫助，喜歡一個人工作。他使我想起牛頓，著迷于自己的想法，不去理睬別人的意見?！?995年，佩雷爾曼發(fā)表了一篇文章，其中描述了他對于完成龐加萊猜想的證明的一些想法。哈密爾頓對我們說，從這篇文章中“我看不出他在1992年之后有任何進(jìn)展?？赡芨缧r候他就被卡在哪兒了?！比欢謇谞柭鼌s認(rèn)為自己看到了解決問題的道路。1996年，他給哈密爾頓寫了一封長信，描述了他的想法，寄希望于哈密爾頓會同他合作。但是，佩雷爾曼說，“他沒有回答。所以我決定自己干?！?/p>

第一篇證明文章

2002年11月11日，佩雷爾曼在網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)文庫arXiv*org上張貼了他的第一篇文章，之后他通過電子郵件把文章摘要發(fā)送給在美國的一些數(shù)學(xué)家，包括哈密爾頓，田剛和丘成桐。之前他沒有同任何人討論過這篇文章，因?yàn)椤拔也幌胪也恍湃蔚娜擞懻撐业墓ぷ鳌！睂τ陔S意地在網(wǎng)上發(fā)表如此重要的問題的解答可能帶來的風(fēng)險，例如證明或有紕漏而使他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優(yōu)先權(quán)，佩雷爾曼表示：“如果我錯了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。”田剛在MIT收到了佩雷爾曼的電子郵件，立即意識到其重要性。他開始閱讀并同他的同事們討論這篇文章。

2002年11月19日，幾何學(xué)家Kapovitch在電子郵件中詢問佩雷爾曼：“我是否理解正確：你在哈密爾頓的綱要中已經(jīng)可以做足夠多的步驟使你能解決幾何化猜想？”佩雷爾曼第二天的回答只有一句話：“這是正確的?！?/p>

在美國的報告會

田剛寫信給佩雷爾曼邀請他到MIT作演講。普林斯頓和石溪分校的同事們也發(fā)出類似邀請。佩雷爾曼全部接受了，并于2003年4月開始在美國做巡回演講。數(shù)學(xué)家們和新聞界都把這看作一件大事。使他感到失望的是，哈密爾頓沒有參加這些報告會。

佩雷爾曼告訴我們，“我是哈密爾頓的門徒，雖然還沒有得到他的認(rèn)可。”當(dāng)哥倫比亞大學(xué)的John Morgan邀請他去演講時他同意了，因?yàn)樗Ｍ谀抢锬芤姷焦軤栴D。演講會在一個星期天早上舉行，哈密爾頓遲到了，并且在會后的討論和午餐中沒有提任何問題?！拔业挠∠笫撬蛔x了我的文章的第一部分?！迸謇谞柭f。

對證明的驗(yàn)證與說明

到2003年的7月，佩雷爾曼已經(jīng)在網(wǎng)上公布了他的后兩篇文章。數(shù)學(xué)家們開始對他的證明艱苦地進(jìn)行檢驗(yàn)和說明。在美國至少有兩組專家承擔(dān)了這一任務(wù)：田剛（丘成桐的對手）和Morgan；還有密西根大學(xué)的兩位專家?？巳R研究所對他們都給與資助，并計(jì)劃把田和Morgan的工作以書的形式出版。這本書除了為數(shù)學(xué)家們提供佩雷爾曼的證明的邏輯外，還是佩雷爾曼能夠獲得克萊研究所一百萬美元獎金的依據(jù)。

2004年9月10日，在佩雷爾曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田剛發(fā)來的一封很長的電子郵件，田在其中寫道：“我想我們已經(jīng)理解了你的文章，它完全正確?！迸謇谞柭鼪]有回信。他向我們解釋，“人們需要時間去適應(yīng)這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實(shí)。。。。。重要的是我不去影響這個過程?！?/p>

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朱熹平與曹懷東到達(dá)圣彼得堡后經(jīng)歷了一番曲折才見到佩雷爾曼。佩雷爾曼反復(fù)說他已經(jīng)退出了數(shù)學(xué)界，不再認(rèn)為自己是職業(yè)數(shù)學(xué)家了。他提到多年前他同一位合作者就如何評價某個作者的一項(xiàng)工作所發(fā)生的爭執(zhí)。他說他對于學(xué)界松懈的道德規(guī)范感到非常沮喪。“不是那些違背道德標(biāo)準(zhǔn)的人被看作異類，”他說，“而是象我這樣的人被孤立起來?！碑?dāng)被問及他是否看過曹和朱的文章時，他回答“我不清楚他們做了什么新貢獻(xiàn)。顯然朱沒有十分明白那些推理而又重新做了一遍?！敝劣谇鸪赏?，佩雷爾曼說，“我不能說我被侵犯了。還有人做得比這更糟。當(dāng)然，許多數(shù)學(xué)家多少是誠實(shí)的，可他們幾乎都是和事佬。他們?nèi)萑棠切┎徽\實(shí)的人?！鲍@得菲爾茲獎的前景迫使他同他的職業(yè)徹底決裂。“只要我不出名，我還有選擇的余地，”佩雷爾曼解釋說，“或者做一些丑事，”-----對于數(shù)學(xué)界缺乏正義感大驚小怪-----“或者不這樣做而被當(dāng)作寵物?，F(xiàn)在，我變得非常有名了，我不能再做寵物而不說話。這就是為什么我要退出?！碑?dāng)被問及，他拒絕了菲爾茲獎，退出了數(shù)學(xué)界，是否意味著他排除了影響數(shù)學(xué)界的任何可能性時，他生氣地回答“我不是搞政治的。”佩雷爾曼不愿回答他是否也會拒絕克萊研究所的百萬美元獎金的問題。“在頒發(fā)獎金之前我不作決定，”他說。Gromov說他能理解佩雷爾曼的邏輯。“你要做偉大的工作就必須有一顆純潔的心。你只能想數(shù)學(xué)。其他一切都屬于人類的弱點(diǎn)?！北M管人們會把他拒絕接受菲爾茲獎視為一種傲慢，Gromov說，他的原則值得欽佩?！袄硐氲目茖W(xué)家除科學(xué)之外不關(guān)心其他的事情。他希望生活在那樣理想的境界。雖然他做不到，但他希望那樣?！?/p>

2010年7月，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼拒絕了克萊數(shù)學(xué)研究所獎勵他的100萬美元，這筆獎金是獎勵他對龐加萊猜想的證明。