本文是筆者十幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)談，筆者主要在中國(guó)教初高中階段的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，相當(dāng)熟悉。也曾家教過幾位美國(guó)和加拿大國(guó)家隊(duì)隊(duì)員，對(duì)美加體系有所了解。

名詞解釋：

TST 選拔國(guó)家隊(duì)的考試   

USAMO 美國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)

TSTST/CMO/冬令營(yíng) 選拔上述隊(duì)伍的考試   

 IMOSL 國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的題庫(kù) 題目分四個(gè)板塊以數(shù)字標(biāo)記難度  例如A1代表最簡(jiǎn)單的代數(shù)題 C9代表最難的組合題目，一般用這套編號(hào)來描述題目難度，即使不是IMO題目

寫在前面的話：我執(zhí)教以來，經(jīng)常有人問我競(jìng)賽需要什么樣的資質(zhì)，每周應(yīng)該學(xué)多久，應(yīng)該看什么書，每次座談會(huì)大家問的東西都非常的多，我前五年能答得上來，現(xiàn)在愈發(fā)感覺無(wú)法回答了。

       一個(gè)小原因是：同樣是問“怎樣能學(xué)好數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，其實(shí)大家的“學(xué)好”目標(biāo)是完全不一樣的。如果簡(jiǎn)單以考試來論，小奧和聯(lián)賽一試只要花力氣就能學(xué)好，聯(lián)賽二試需要你有一定的智力和學(xué)習(xí)時(shí)間，從冬令營(yíng)開始， 對(duì)創(chuàng)造性思維有極大的要求。

        一般進(jìn)入tst的學(xué)生不再局限于數(shù)學(xué)競(jìng)賽，而往往希望能學(xué)好高等數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)有更深的理解，這就對(duì)抽象思維有很高的要求。

        所以問的人目的不同，回答也不同。

        更大的原因是：提問者的資質(zhì)各不相同，而我現(xiàn)在觀察到的能走通的學(xué)習(xí)道路實(shí)際上非常之多，已經(jīng)不敢妄言了。我以前覺得有點(diǎn)笨/自覺性弱/創(chuàng)造力弱的學(xué)生拿不了imo金牌，十幾年來都被一一打臉了。其實(shí)有個(gè)學(xué)生家長(zhǎng)總結(jié)的很好,他采訪了很多imo金牌的師兄師姐，每個(gè)人講出來的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)方法都有挺大差異。（所以你可以看到我和我的學(xué)生的學(xué)習(xí)心得都是有沖突的）

       我現(xiàn)在的理解教育類似于園藝，先觀察自己的素質(zhì)，再根據(jù)目標(biāo)做少量的修剪。比如一個(gè)直的樹根，萬(wàn)萬(wàn)不要模仿上屆冠軍去扭成彎的，去找找直的成功案例，做少量調(diào)整就好：）

       地球是圓的， 但對(duì)搞地理的人更精確的說法是地球是一個(gè)坑坑洼洼的橢球體。希望大家讀完此文后能根據(jù)自己的情況對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一個(gè)更精確的認(rèn)知，對(duì)自己有一個(gè)更好的定位。

      基于以上原因， 全文目標(biāo)定位是獲取imo金牌，所選用的學(xué)生案例也全是imo金牌得主，（有一個(gè)imo銀牌的例子）這樣歧義和誤解比較少，但是我想對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人（無(wú)論目標(biāo)定位如何）應(yīng)該都有幫助。

獲取imo金牌最重要的素質(zhì)？

1興趣/毅力

首先，興趣是必須的，（十幾個(gè)學(xué)生中我沒觀察到例外）數(shù)學(xué)競(jìng)賽不是必修科目，我也不理解沒興趣為什么要學(xué)。數(shù)學(xué)是一門很艱難需要高度主動(dòng)思考的學(xué)科，沒有興趣幾乎無(wú)可能在頭昏腦脹之時(shí)去主動(dòng)思考，這樣日積月累，即使學(xué)生本身有極強(qiáng)的毅力，記住了大量的題目，仍然會(huì)缺乏創(chuàng)造力。體現(xiàn)在比賽上就是不會(huì)做新題難題，從USAMO/CMO開始就會(huì)遇到極大困難。

總的來說，興趣是必須的。被迫學(xué)習(xí)一門需要高度自主性的學(xué)科無(wú)法成功。但是，興趣是可以培養(yǎng)的，對(duì)于小的學(xué)生，興趣來源越復(fù)雜，可能只是簡(jiǎn)單的好勝心/學(xué)習(xí)讓我媽開心/求知欲。

       好勝心強(qiáng)就多多考試，體驗(yàn)成就感。

       懂事的孩子應(yīng)該多跟他聊聊數(shù)學(xué)的應(yīng)用和將來的規(guī)劃。

       求知欲強(qiáng)的孩子家里就應(yīng)該多放書，上課要側(cè)重啟發(fā)性。（上完課之后，知道的和不知道的都增加了）我比較推崇從小就看看一些數(shù)學(xué)小冊(cè)子，另外，高中的組合思考題目可以從很小開始做，激發(fā)興趣也能開拓思維。

       但是要牢記，學(xué)習(xí)的每一段時(shí)間驅(qū)動(dòng)力可能互不相同，但一般隨著孩子長(zhǎng)大，會(huì)越來越獨(dú)立越注意本身，越依賴于本身自發(fā)的興趣。

毅力也是非常重要的。（有兩個(gè)反例）

       這里有個(gè)誤區(qū)是覺得有興趣就能堅(jiān)持學(xué)，不是這樣的，有興趣只是讓你學(xué)習(xí)時(shí)多數(shù)時(shí)間比較快樂。

       當(dāng)你單純從數(shù)學(xué)有趣進(jìn)一步到“我要學(xué)好數(shù)學(xué)”這個(gè)目標(biāo)時(shí)，你要制定計(jì)劃，要完成一些任務(wù)，這都并不快樂。

       做出一道難題是非常快樂的，但做不出不快樂。

       還有后文提到的反復(fù)模擬考，做反直覺的題目，都很不快樂。

       我有兩個(gè)學(xué)生比較缺乏毅力：） 都屬于有人監(jiān)督愉快的做數(shù)學(xué)題，無(wú)人監(jiān)督則專心玩游戲的類型?？總ゴ蟮哪赣H從5-15歲監(jiān)督學(xué)習(xí)，也都拿到了imo金牌。

       我個(gè)人覺得比較理想的情況是孩子自己想學(xué)，自己制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，家長(zhǎng)監(jiān)督完成比較好一點(diǎn)，從初中到高中，逐步放手。

2聰明/悟性高（有兩個(gè)反例）

      我這里要嚴(yán)肅地指出，很多雞湯都是瞎扯，聰明就是有巨大優(yōu)勢(shì)。自然規(guī)律并不主動(dòng)迎合人類的政治正確。

      做的比別人更快，解法更簡(jiǎn)潔更優(yōu)雅，有大量原創(chuàng)的想法都算聰明的孩子。要單獨(dú)指出的是，有一些孩子，解答非常繁雜反應(yīng)看起來也很笨拙，然而思考的深度很深，提出的解答更具有一般性和可推廣性，其實(shí)也是極為聰明的。

      當(dāng)然，在中國(guó)美國(guó)TST以及imo目前的賽制中，對(duì)后一類不太有利。（無(wú)論難題簡(jiǎn)單題一律7分，考試更側(cè)重于技巧性而非一般性，美國(guó)的初階段考試強(qiáng)調(diào)速度和準(zhǔn)確性）所以后一類學(xué)生獲得imo金牌普遍更晚。 

        聰明的孩子應(yīng)該更早接受有難度的訓(xùn)練開發(fā)思維，要適當(dāng)“跳級(jí)”，否則長(zhǎng)期想一些簡(jiǎn)單問題反而變蠢了。另外值得一提的是這類學(xué)生因?yàn)殡y以融入同齡人圈子和思維能力太強(qiáng)經(jīng)常出現(xiàn)心理問題。

       一種是過于成熟，會(huì)提前有很多大學(xué)生的煩惱，要注意開解。

       另一種是過于幼稚，這種往往是家里過于大包大攬，本身跟高年級(jí)學(xué)生在一起被過于遷就造成，我覺得要適當(dāng)去參與社會(huì)活動(dòng)。

         悟性高的學(xué)生主要表現(xiàn)是學(xué)習(xí)理解總結(jié)能力強(qiáng)，這類學(xué)生首先學(xué)東西快，其次自己雖然缺乏原創(chuàng)性想法，但是可以跟人交流中學(xué)到大量原創(chuàng)想法并理解總結(jié)，自己也慢慢有很多想法。

          這一類比較適合多學(xué)點(diǎn)知識(shí)開拓知識(shí)面，多跟同學(xué)交流。一定要注意培養(yǎng)成勤學(xué)好問愛交朋友的性格。我早年有一個(gè)學(xué)生悟性很高不過很羞澀，現(xiàn)在想想還是不太對(duì)。（其實(shí)對(duì)任何人交流想法都很重要）

          天才學(xué)生一方面學(xué)得快，另一方面想法多，解TST/IMO中真正的難題優(yōu)勢(shì)很大。普通學(xué)生可能要做非常多的題目，并掌握極多的知識(shí)才能匹敵。

       兩個(gè)反例都是極為勤奮，做了無(wú)數(shù)的競(jìng)賽題目，提前學(xué)了大量的大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，在高三最后一年獲得了imo金牌。

       另外還有一個(gè)學(xué)生，只是零零散散地跟著我上了一年課，我個(gè)人覺感覺不是很聰明。但是據(jù)說從初一到高三，一大半時(shí)間都在全中國(guó)各地上課，也是高三最后一年拿了imo金牌。

       剩下的都找不出共有的特點(diǎn)了：） 我個(gè)人覺得就中美選拔體制而言，心理素質(zhì)相對(duì)比較重要。

如何選擇合適的課程或書籍？

       現(xiàn)在的環(huán)境我不太推薦書，以前中國(guó)初次普及數(shù)學(xué)競(jìng)賽組織了大量數(shù)學(xué)教授寫了很多不錯(cuò)的書。但是近年的書籍平均質(zhì)量不佳，美國(guó)的情況也類似。當(dāng)然如果你很會(huì)挑，有一些書還是很棒的。

       書的另一個(gè)問題是時(shí)效性差，所以題典型的書最好不要看，知識(shí)性的書老舊一點(diǎn)可以接受。 幾本經(jīng)典的知識(shí)性的書至今仍然是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)書籍，不過作為競(jìng)賽書籍缺點(diǎn)是與現(xiàn)在的考試重點(diǎn)有一定偏差。

       書還有一個(gè)問題是要遵守一定的規(guī)則，比如出一本imo問題集，則必然使用官方解答。而在我看來，官方解答追求嚴(yán)謹(jǐn)而忽略解釋，并不適合中學(xué)生學(xué)習(xí)其中的思路。

       總之，我只建議：

       1買知識(shí)性的書，而且最好作為輔助教材或者字典使用。

        2買趣味性的書

        這里要單獨(dú)提到一本書《陶哲軒教你學(xué)數(shù)學(xué)》 我覺得很有趣，我問了我?guī)讉€(gè)得金牌的學(xué)生，他們也覺得很有趣，然而很多人覺得讀不下去。我覺得這本書即使你覺得沒趣也可以買，至少可以看看這個(gè)星球上最聰明的人（極大概率是）是怎么思考問題的，順帶搞明白絕世天才也是有思考過程的，并不是沒有邏輯地瘋狂跳步。

        選課的話主要看學(xué)生自己的感覺，無(wú)論是喜歡老師還是喜歡周圍的同學(xué)，都可以。

       知識(shí)性的課，最低的聽課標(biāo)準(zhǔn)是復(fù)習(xí)后可以復(fù)述所有知識(shí)點(diǎn)證出所有定理；好一點(diǎn)就是明白知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，知道大概怎么用；能舉一反三去拓展定理的范圍那是最棒的啦。

       講題目的課，最低標(biāo)準(zhǔn)是可以當(dāng)天復(fù)習(xí)筆記后把多數(shù)例題證出。   

       另外，不宜做過難（自己獨(dú)立思考難以有進(jìn)展）的題。但是可以聽一點(diǎn)過難的課。

       聽課比較理想的狀態(tài)應(yīng)該是比較有興趣又有點(diǎn)難受，（頭昏腦脹）聽完后感覺會(huì)的和不會(huì)的都增加了。大腦總是在舒適區(qū)呆著難以進(jìn)步。

各大競(jìng)賽考試的特點(diǎn)和準(zhǔn)備工作？

1有一定知識(shí)的學(xué)生準(zhǔn)備聯(lián)賽一試 amc和aime前半部分

       對(duì)有一定水平的學(xué)生主要考察速度，正確率而非難度。嚴(yán)格按照考試時(shí)間模擬是非常有價(jià)值的，一定要卡表完全模擬考試時(shí)的緊張心態(tài)去反復(fù)練習(xí)，提升會(huì)很大。一般在會(huì)做的前提下經(jīng)充分練習(xí)考試做出80%是不難的，再往后刻意練習(xí)提高的空間也不大。

2準(zhǔn)備聯(lián)賽二試，aime后半部分

       這一部分考試主要是考察思維，但與后面考試不同的是他要求掌握的程度不高，考察很常規(guī)。 平時(shí)做題時(shí)注意多多總結(jié)常規(guī)套路就行，考試時(shí)把思維收束到一個(gè)比較常規(guī)的范圍內(nèi)（太特殊的套路肯定不是標(biāo)答）

        聯(lián)賽二試很強(qiáng)調(diào)書寫，多研究往年的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)很有意義。還有一點(diǎn)是注意改卷任務(wù)很重，所以書寫過于注重嚴(yán)謹(jǐn)忽略可讀性是不對(duì)的（多寫注釋分段提高可讀性），平時(shí)多把自己的解答交換給水平相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)看看，保證到時(shí)候閱卷老師能讀懂意義重大。

       aime有點(diǎn)特殊是可以猜答案：） 時(shí)間不夠了就多蒙吧。數(shù)學(xué)直覺好總能對(duì)幾個(gè)，另外 aime后面題目難度增加很快，不用強(qiáng)求全做。

3準(zhǔn)備冬令營(yíng)/usamo考試（進(jìn)入正經(jīng)的競(jìng)賽了，前面都是熱身玩票）

       第一次進(jìn)入這一階段的學(xué)生是非常開心的。一方面，無(wú)論在中在美，升學(xué)問題解決了一半。另一方面，從這一段起的考試是只考察會(huì)不會(huì)，（考試時(shí)間長(zhǎng)達(dá)270分鐘）題目很靈活知識(shí)范圍相對(duì)前一階段大為擴(kuò)大。

       跟著老師好好學(xué)新增的知識(shí)，做真題，從最初學(xué)習(xí)時(shí)就注重難題，注意深度思考討論就能有優(yōu)勢(shì)。（反之，長(zhǎng)期訓(xùn)練難度過低沒有做好鋪墊此階段就很痛苦了）從這次考試起主要考察實(shí)力和心態(tài)，臨時(shí)準(zhǔn)備的效果不佳。

      如果這一階段不覺得開心，基本不適合學(xué)數(shù)學(xué)，混個(gè)大學(xué)做別的會(huì)更有意義。

4能比較穩(wěn)定做出冬令營(yíng)/usamo4道題的學(xué)生沖刺國(guó)家隊(duì)

       終于到了我最喜歡的話題了。（奧林匹克就是要追求卓越?。。。。。。?nbsp;  首先為啥沒有imo呢，那是因?yàn)樵趶?qiáng)國(guó)進(jìn)國(guó)家隊(duì)比imo金可難多了，TST考題無(wú)論難度深度遠(yuǎn)超imo。（但是，考試是無(wú)常的，選出的金牌實(shí)力選手考imo失誤也是常有的事，大家不要苛責(zé)）

        為了說清怎么準(zhǔn)備，首先要打個(gè)比方考試都考些什么。

最初你學(xué)了A,考試?yán)侠蠈?shí)實(shí)問A1-2 (聯(lián)賽一試，amc）

后來你學(xué)了B，考試略有變化問B3-4（二試，aime）

再后來你學(xué)了C，考試問C5-9 （冬令營(yíng)1245題）

TST中每天第三題基本考D10,E8這種。。。。

        完全不會(huì)做第三題能不能進(jìn)國(guó)家隊(duì)呢？理論上是能的，兩國(guó)的TST把所有一二題都做出來分?jǐn)?shù)足以進(jìn)隊(duì)。但是：

        1人類是一定會(huì)失誤的。我教了十幾個(gè)imo金牌，沒有不失誤的。非我的學(xué)生里有一位韋東奕，他也并不是不失誤，而是實(shí)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出TST考試范圍，拿了TST滿分。（要注意，滿分經(jīng)常不是運(yùn)氣好，而是實(shí)力過強(qiáng)容錯(cuò)率高，想歪了一道題照樣能用技巧手撕掉。）

       2這樣的選手很明顯imo只能拿28分，在強(qiáng)國(guó)隊(duì)伍里只能算不拖后腿，有的年份會(huì)被領(lǐng)隊(duì)嫌棄。

       3奧林匹克精神?。?！ 回避難題不是我們的作風(fēng)！學(xué)數(shù)學(xué)就是為了有突破有創(chuàng)造，在一些人人會(huì)做的問題上下功夫有什么意思！

      （注：筆者的觀點(diǎn)始終是學(xué)以致用，現(xiàn)在世界的趨勢(shì)明顯是有原創(chuàng)性想法的人極其有價(jià)值，而能跟著理解想法的人是不太稀缺的。）

       那么怎樣做出跨度這么大的第三題呢，三個(gè)方案：

       1天才 這個(gè)世界上確實(shí)存在學(xué)了ABC就能舉一反十做F9的人。 可惜這種天才我只見過4個(gè)，教過2個(gè)。如果有這種智力，一定要好好做數(shù)學(xué)推動(dòng)整個(gè)人類文明地進(jìn)步啊！

       2增加自己的知識(shí)儲(chǔ)備，一般就是學(xué)微積分，復(fù)變函數(shù)，多項(xiàng)式，生成函數(shù)，組合數(shù)學(xué)，大學(xué)圖論，概率論這些以求有額外的知識(shí)可用。一般到這個(gè)階段大學(xué)都定好了，多學(xué)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)很好的，也很有趣。（這個(gè)階段一般看很多競(jìng)賽水題，已經(jīng)完全沒有樂趣了。）

        3多多做各種新思路的題并總結(jié)，開闊你的思路，積累多了。一道F9可能結(jié)構(gòu)類似D3， 構(gòu)造類似D7，如果你深刻總結(jié)其共性，就能做出來。

         這也符合一般的認(rèn)知規(guī)律，類似的東西，越來越難的一些東西都深刻理解總結(jié)了，慢慢就能有所突破。

        科學(xué)的進(jìn)步也是如此，我讀書時(shí)初看伽羅華理論，覺得這人匪夷所思異想天開。后來讀書多了，明白他們那時(shí)也是大量的討論班，想法從D1,D2.....然后伽羅華比較天才D10突破了一下變成E1。所以看到難題并不用灰心，慢慢積累慢慢思考就好。

       一般就慢慢按上述2，3條做慢慢積累上幾年可能就突破進(jìn)隊(duì)了。。。要反復(fù)指出的是會(huì)做第三題比只會(huì)做一二高好幾個(gè)臺(tái)階，根本不屬于同一個(gè)階段，雖然可能都是IMO金牌。

5競(jìng)技心態(tài)培養(yǎng)

       低年級(jí)的時(shí)候，學(xué)生基本屬于玩票性質(zhì)，考試也就隨便考考，心態(tài)問題不大。但到高年級(jí)，一般學(xué)生已經(jīng)投入了海量的時(shí)間和心血，而考試又往往與升學(xué)/榮譽(yù)相關(guān)，此時(shí)考試實(shí)力提升往往又到了瓶頸。（以IMO為例，3，6題往往比1，2，4，5難非常多，6題選手需要遠(yuǎn)強(qiáng)于4題選手的實(shí)力，還得預(yù)留出充足的時(shí)間）心態(tài)就變得很重要。

       競(jìng)技心態(tài)培養(yǎng)主要是從小參加大量的競(jìng)技性考試（玩票不算），認(rèn)認(rèn)真真地去考，多多總結(jié)反思成功和失敗的經(jīng)驗(yàn)。

       作為家長(zhǎng)，在這個(gè)過程要扮演好成年人的角色，多多引導(dǎo)。

6最后要特別指出刻意準(zhǔn)備考試的危害：

      花費(fèi)大量時(shí)間準(zhǔn)備聯(lián)賽amc時(shí)，實(shí)際上是在反反復(fù)復(fù)做一些自己完全會(huì)的問題，沒有任何有難度思考，既磨滅思考水平也磨滅興趣。我的建議是最好等到自己水平足夠時(shí)，認(rèn)真準(zhǔn)備一次（以后不用再考了），這一次的成就感勉強(qiáng)可以追平興趣的損失。

       準(zhǔn)備進(jìn)國(guó)家隊(duì)時(shí)，要花好幾年反復(fù)做一些散亂在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目。當(dāng)達(dá)到一定高度時(shí)，要刻意做一些非常反直覺的很難題目。我認(rèn)為對(duì)興趣非常不利，所以我建議盡量壓縮這一階段的時(shí)間，不要把戰(zhàn)線拉得太長(zhǎng)， 如果實(shí)在不想準(zhǔn)備，提前去大學(xué)或者做一些別的事情都是很好的：）