數(shù)學是融會貫通的。

我通過小學數(shù)學階段的圖形面積來具體說明一下。

我們都學習過幾何，幾何里面要學面積。我們小學階段，有很大的一個時期，是學習各種圖形的面積計算。

我們學會了正方形面積是邊長乘以邊長，長方形面積是長乘以寬，平行四邊形面積是底乘以高，梯形面積是上底與下底之和乘以高除以二，而三角形面積是底乘以高除以二。

這么多公式，是不是安全不相關(guān)的一團亂麻呢？

不是的。如果你覺得這里面有很多個知識點，需要分別死記硬背過來，那說明你沒有仔細思考這些公式之間的因果關(guān)系，沒有把它們?nèi)跁炌ㄆ饋怼?/p>

如果我們稍稍思考一下就會發(fā)現(xiàn)，這些面積公式其實都是一個，長方形、平行四邊形、梯形、三角形，這些面積公式，都是要把圖形用切割拼接的方式，拼成正方形，再進行計算。

也就是說，三角形、梯形、平行四邊形、長方形的面積公式，計算的都是切割拼接成正方形以后的面積。

而面積的核心意義，就是正方形。而這恰恰也是面積的單位叫“平方”的根本原因?！捌椒健边@兩個字，深切明晰地表明了面積就是用一個“平的”、“方的”的東西來衡量的數(shù)量。

我們現(xiàn)在知道了，長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積，其實都是把不“平方”的圖形，經(jīng)過切割、拼接以后得到的圖形的面積。

那么，扇形呢？扇形可以不可以歸入正方形的這種理解呢？

我們可以在腦子里做一個思想實驗，把扇形的弧線想象成三角形的一個底，如何？我們立刻就發(fā)現(xiàn)了，扇形就是一個底是弧形的三角形。這個三角形的面積，就是這個底乘以高除以二，而這個底的長度就是那段弧線的長度，高度是半徑。

我們又知道，圓形其實就是一種特殊的扇形，是一種三百六十度的轉(zhuǎn)了一周的扇形。那么，讓我們更進一步，展開想象的翅膀，大膽一點，圓形算不算一種三角形呢？

只要我們夠大膽，就會發(fā)現(xiàn)圓形可以想象成一種三角形。

它的圓心是三角形的一個頂點，圓周是頂點對應的一條邊，而這個三角形的另外兩條邊，也就是腰，就是半徑，還相等，而且因為轉(zhuǎn)了一周，而重合了。

有了這個大膽的想象，我們再看圓形的面積公式，就完全不一樣了。它就是一個三角形的面積公式。這個三角形的底長度是圓周率乘以直徑，也就是圓周率乘以二倍的半徑長度，高是半徑，所以面積就是圓周率乘以半徑的平方。

經(jīng)過我們一番天馬行空的想象，我們發(fā)現(xiàn)扇形、圓形、三角形、梯形、平行四邊形、長方形、所有的規(guī)則圖形，面積都是正方形的變化。我們找到了一棵大樹的根，進而可以順著樹干向上，找到它的所有的枝干、葉子。

這就是我們所得到的。

可是，我們?nèi)绻X袋瓜子轉(zhuǎn)的更多，就會有一個疑問，這些圖形要么是四邊形，要么是圓形（扇形），如果是不規(guī)則的圖形，要怎么計算呢？

如果有一個小學生，通過自己的思考，認為不規(guī)則的圖形，可以分割成很小的規(guī)則圖形來匯總計算。那么我們應該恭喜他，祝福他，因為他已經(jīng)知道了面積的本質(zhì)意義，而且摸到了微積分大門的鑰匙了。只要他掌握了更多數(shù)學工具，微積分的神圣殿堂，將任他進去游覽。

如果我們學習過微積分，我們就會知道，不規(guī)則圖形的面積可以通過積分計算。一個函數(shù)曲線在直角坐標系里面，跟另外三條邊組成的面積，等于這個函數(shù)的定積分。

那么，積分可不可以計算規(guī)則圖形呢？當然可以。

如果這個函數(shù)是一個一次函數(shù)，也就是線性函數(shù)，我們立刻就會發(fā)現(xiàn)，定積分計算的面積退化成了普通的三角形、梯形、平行四邊形、長方形還有正方形。小學階段學習的規(guī)則圖形，屬于不規(guī)則圖形的一種特例，被包含在不規(guī)則圖形里面，而已。

而所有這些面積的計算，又跟我們的其它應用息息相關(guān)。

比如我們經(jīng)常做的行程問題，工程問題，以及其它所有速度與時間是乘積關(guān)系的問題，對應到圖形上，不都是一種面積嗎？

固定速度v，時間為t，那么路程就是一個以v為寬以t為長的長方形啊。

均勻增加速度從0到v，時間為t，那么路程就是一個以t為底以v為高的三角形啊。

增加速度從0到2πt，時間為t，那么路程就是一個以t為半徑的圓啊！

這一點可能不是所有人都想過，其實這種行程問題對應的就是圓形的周長與面積的關(guān)系。

再次展開我們想象的翅膀，撒開了胡思亂想一下，一個圓的面積，是不是由它的周長組成的？而如果把半徑作為時間的話，則從圓心開始的每一個圈，都是那個半徑之下的一個速度，所有這些速度組合在一起，就是最終的圓的面積。

通過想象硬憋出來了，再看看圓形的周長公式，與面積的公式，是不是就是微積分的關(guān)系？

經(jīng)過我們這一番“閉門造車”，在我們的腦子里面，把圖形面積、應用題、微積分全都統(tǒng)一起來了。

我們再也不用死記硬背了，我們有了一個提綱挈領(lǐng)的思考角度，盡管這個角度有各種的不嚴謹，不完美，但是沒有關(guān)系，只要它可以幫助我們理解數(shù)學學會數(shù)學就可以了。

而數(shù)學的美妙也就在此。即，數(shù)學的每一個部分，都不是孤立的需要記憶的知識，而是由統(tǒng)一的邏輯聯(lián)系在一起。每一個邏輯的環(huán)，都對應著一種思考問題的角度。

比如運算法則，其實哪有那么多呢？如果我們從本質(zhì)上看，只有疊加運算與相對應的逆運算兩種變形而已。

道生一，一生二，三生萬物。

因為要疊加，于是有了加法。加法的逆是減法。

而加法的疊加是乘法，乘法的逆是除法。

乘法的疊加是乘方，乘方的逆是開方。

再乘方的疊加，是什么呢？