文：屠夫1868

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未來一年，請多指教。

這是屠夫的第 120 篇原創(chuàng)，全文 4600 字

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金錢永不眠，屠夫問候各位早安。

今天是基業(yè)長紅1868開啟的一周年，特意憋了個(gè)大招，希望大家喜歡。

自2018年10月7日在雪球發(fā)出第一篇專欄以來，屠夫已經(jīng)寫了上百篇原創(chuàng)文章。除了與上班族關(guān)系最密切的 財(cái)商啟蒙類文章 外，最熱門的要數(shù)《硬幣賭博三部曲》了。

最初我的想法很簡單：用一個(gè)簡單的擲硬幣游戲告訴大家，投資不能只看“概率”，當(dāng)時(shí)并沒有打算寫成三部曲。

第1部火了之后，我又聯(lián)想到投資中的“跟莊”現(xiàn)象，于是寫出第2部，繼續(xù)沿用硬幣賭局的方式來解釋莊家的詭計(jì)。

再后來屠夫又寫出第3部，展示了極其反直覺卻絕對符合邏輯的“三門問題”，以此提醒大家在投資中保持審慎。

至此，雖然三部曲暫告一段落，但還有一點(diǎn)小遺憾：倉位控制，沒能來得及寫進(jìn)去。

是的，屠夫在第1部里就提到過“凱利公式”，這是一種源于賽馬賭博，可用于倉位控制的策略系統(tǒng)。

倉位控制是一個(gè)很大的話題，也是投資里繞不開的話題。今天咱們先把討論范圍縮小，只展示倉位控制的威力——

獲勝概率相同，不同倉位控制策略的收益可以相差1140萬倍。

讓我們重新拾起那枚硬幣，再來一次蒙特卡洛模擬*吧~

* 蒙特卡洛模擬又叫統(tǒng)計(jì)模擬法。

它利用海量的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，模擬出一個(gè)事件的多種可能。

這種方法可以幫助我們快速進(jìn)行海量試驗(yàn)，詳細(xì)介紹請自行搜索。

01 還是那枚硬幣

三部曲的第2、3部分別使用了兩枚和三枚硬幣，規(guī)則越來越復(fù)雜。這次返璞歸真，回到最簡單的“擲硬幣猜正反”——還是那3條基本規(guī)則：

【1】1000名賭徒資金不互通，每局結(jié)果相互獨(dú)立

【2】每名賭徒最多玩1萬次，合計(jì)1000 * 10000 = 1000萬次

【3】當(dāng)本金余額低于最小下注額時(shí)，該賭徒直接爆倉出局

獨(dú)特之處在于：這次的賭徒猜中的概率是52%，不是五五開。

屠夫在《賭場里的數(shù)學(xué)家》提過，“不平衡”和“可重復(fù)”是取勝的關(guān)鍵。

這次的賭徒同時(shí)獲得了這兩項(xiàng)優(yōu)勢，我們以此模擬【取得微弱概率優(yōu)勢下的投資情況】，驗(yàn)證不同倉位控制策略的效果。

由于賭徒可以通過策略調(diào)整每局下注額度，因此有如下3條下注規(guī)則：

【1】每名賭徒的本金10000元，最小下注額1，不設(shè)最大下注額

【2】當(dāng)策略要求下注額超出本金余額時(shí)，押上全部本金（梭哈）

【3】賠率為1，即：贏了下注本金翻倍；輸了賠掉該次下注本金

為了更好地解釋倉位控制策略，此次不設(shè)最大下注額（最大下注額是為了保護(hù)莊家）。只要賭徒本金足夠，策略算出來多少都可以押上。

當(dāng)然，咱們的目的是對比不同倉位控制策略，所以3種策略對應(yīng)的1千萬局結(jié)果，必須是一樣的。

規(guī)則講完，我們先拿固定下注策略試試。

02 固定下注策略

固定下注策略，就是每次都按相同的額度下注，這種策略類似于投資中的“定投”。

定投在證券市場能賺錢，因?yàn)楸澈蟮耐顿Y標(biāo)的長期上漲（比如寬基指數(shù)）。

而這場游戲由于賭徒的勝率是52%，在一定程度上接近于“長期上漲”的情況，按理來說也是能賺錢——盡管不多。

屠夫?qū)①€徒的每局下注額度固定為最小下注額，看看這種策略的效果如何。

1000萬場賭局后，賭徒的本金余額基本圍繞均值上下波動(dòng)。

均值略微向上是因?yàn)楦怕事晕⒄純?yōu)（勝率52%），但并沒有顯著優(yōu)勢。

最終統(tǒng)計(jì)結(jié)果也符合預(yù)期：

賭徒平均余額10041元，無人爆倉

固定下注策略下，整個(gè)游戲只是一個(gè)零和博弈。

賭徒的本金上上下下看似熱鬧，其實(shí)也沒有獲得概率優(yōu)勢之外的收益。

如果把策略換成更刺激的，“每輸一次，下注加倍”，結(jié)果又會如何？

03 馬丁格爾策略

馬丁格爾策略又叫“馬丁派戰(zhàn)法”，源自18世紀(jì)的法國賭場。這種策略很簡單：

每輸一次，基礎(chǔ)下注額乘以2；

贏一次，下局恢復(fù)基礎(chǔ)下注額。

如此簡單的策略不但易于操作，而且看起來“十分完美”，從直覺上似乎可以獲得更高的收益。

當(dāng)然，馬丁格爾策略也因?yàn)椤俺艘?”而被許多人詬?。?/p>

在【連敗】的情況下，策略給出的下注額度高得驚人，而且很可能超出賭場的下注上限。

為了盡可能測試策略效果，這次令“基礎(chǔ)下注額 = 最小下注額”，加上不設(shè)下注上限，可以最大限度地發(fā)揮策略的效果。

（屠夫注：最小下注額為1而初始本金有1萬，連敗10局的概率不足1%，此時(shí)馬丁格爾策略的下注額也只到原始本金的十分之一）

上圖展示的是馬丁格爾策略下，1000名賭徒的本金余額情況。

乍一看，成績不錯(cuò)：幸運(yùn)的賭徒可以讓本金增加近50%。

且慢！

大家注意到顏色的變化了嗎？

越往后，上半部分的“幸運(yùn)賭徒”數(shù)量就越少，而本金減少甚至爆倉的賭徒卻越來越多。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果告訴我們，這不是錯(cuò)覺：

一方面，1000賭徒只有828人活到第1萬局

也就是說，盡管屠夫已經(jīng)將馬丁格爾策略的基礎(chǔ)下注額降低到本金的萬分之一，依然有近20%的賭徒傾家蕩產(chǎn)。這還只是1萬局的情況，如果賭局?jǐn)?shù)量增加，爆倉出局的賭徒將會有更多。

這是一個(gè)很好的提醒：就算概率占優(yōu)，你也無法確定贏在哪一局；如果倉位控制不慎，有可能會“幣毀人亡”。

另一方面，828名幸運(yùn)兒人均收益45%

如果把爆倉出局的倒霉蛋算上，整個(gè)群體的資金只增長了20%——這還是建立在“爆倉出局者0負(fù)債”的基礎(chǔ)上。

可以說，這部分“超額收益”是以承受爆倉風(fēng)險(xiǎn)為代價(jià)換來的。

讓我們再看一遍余額變化圖的綠色箭頭部分：

即便是幸運(yùn)賭徒，他們的本金也只是隨著局?jǐn)?shù)的增加而【線性遞增】，只是這個(gè)線性遞增的斜率高于固定下注策略罷了。

然而屠夫在《指數(shù)思維》和《為什么不上班反而越來越有錢》強(qiáng)調(diào)過，投資最大的優(yōu)勢就是復(fù)利效應(yīng)，也就是指數(shù)遞增，畢竟——

投資如果只有線性回報(bào)，

跟自己打工有什么區(qū)別？

除此之外，策略里的爆倉和收益是個(gè)“魚與熊掌”困境：

想降低爆倉風(fēng)險(xiǎn)，最好調(diào)低“基礎(chǔ)下注額”

但是調(diào)低下注額，又會導(dǎo)致期望收益降低

用術(shù)語來講，這個(gè)策略的【夏普比率】并不高。

（屠夫注：夏普比率常用于衡量基金業(yè)績，可以理解為“每承受1單位風(fēng)險(xiǎn)所產(chǎn)生的超額回報(bào)”）

馬丁格爾這樣一個(gè)“僅線性回報(bào) + 夏普比率低”的策略，顯然不怎么讓人滿意。

有沒有更好的辦法呢？

04 凱利公式

凱利公式由貝爾實(shí)驗(yàn)室的數(shù)學(xué)家約翰·凱利發(fā)明，最初的靈感源于賽馬。

信息論之父香農(nóng)和量化投資之父索普，借助數(shù)學(xué)打破了一些賭博系統(tǒng)的平衡。即便只取得3%左右的優(yōu)勢，也足以橫掃拉斯維加斯。

但在此之外，他們發(fā)現(xiàn)下注策略對收益有著重要影響，于是吸取了凱利公式作為倉位控制策略，后來也沿用到他們的投資之中。

因?yàn)槠邢蓿@里只對凱利公式做簡單說明。

普通凱利公式只有2個(gè)變量：勝率p和賠率b。p表示一局的獲勝概率，b表示贏了能獲得b倍于本金的利潤。

通過公式

f = ( p * b + p - 1 ) / b

可以求出下注比例f。

凱利公式是一個(gè)“按比例下注”的策略。這次試驗(yàn)p=52%，b=1，可以得出f=0.04，也就是每次按4%的比例下注。

上圖展示的是凱利公式下，1000名賭徒的本金余額情況。

上圖縱軸的單位是10的13次方，也就是10萬億……

而所有賭徒的本金都是1萬開始，這意味著 ——

少數(shù)幸運(yùn)兒，成功地賺取超過10億倍的利潤！

就算是觀察整體，凱利公式的答卷也十分漂亮：

一方面，1000賭徒全部活到第1萬局

在這一點(diǎn)上，凱利公式?jīng)]有出現(xiàn)馬丁格爾策略下的爆倉情形。

另一方面，1000賭徒人均獲利2503471倍

是的，馬丁格爾策略下只有平均20%收益，而凱利公式獲得250萬倍收益。

兩者完全不在一個(gè)量級，凱利公式的結(jié)果也更接近于指數(shù)增長。

在爆倉風(fēng)險(xiǎn)更低的情況下，凱利公式取得1252萬倍 ( 2503470 / 0.2 ) 于馬丁格爾策略、6.1億倍 ( 2503470 / 0.0041 ) 于固定下注策略的收益！

倉位控制策略對收益的影響，不容小覷！

05 統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對比

在做最后對比前，屠夫先提醒一句：“基礎(chǔ)下注額”會影響馬丁格爾策略和凱利公式的爆倉概率。

第3節(jié)末尾咱們提過，調(diào)低這個(gè)參數(shù)可以降低爆倉風(fēng)險(xiǎn)，但也會犧牲一部分期望收益。

不同于《給我1枚硬幣》專門講爆倉，這次的反擊篇主要是說明不同倉位控制策略帶來的收益差異，所以屠夫省略了一部分細(xì)節(jié)，只在合理范圍內(nèi)設(shè)置這個(gè)參數(shù)。

接下來，屠夫盡量用簡單易懂的語言，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度對比3種策略的指標(biāo)，希望給大家?guī)砀?strong>“不直觀，但嚴(yán)謹(jǐn)”的信息參考。

以下是3種策略里1000名賭徒本金余額的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對比，從左至右分別是固定下注策略、馬丁格爾策略和凱利公式：

字太多，我們挑重點(diǎn)來看。

首先是均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

固定下注策略的均值僅比初始本金略高，而標(biāo)準(zhǔn)差也是3種策略中最小，這種策略的波動(dòng)范圍很有限。

馬丁格爾策略的均值比初始本金多20%左右（按爆倉者0負(fù)債算），標(biāo)準(zhǔn)差高于固定下注策略。如果把那200個(gè)爆倉出局的倒霉蛋算進(jìn)來，波動(dòng)范圍恐怕還要更大。

凱利公式的均值已經(jīng)達(dá)到初始本金的250萬倍（即250億），標(biāo)準(zhǔn)差是三者最高，但無人爆倉出局。

然后是中位數(shù)和最大最小值。

固定下注策略的中位數(shù)和均值相等，最大最小值很接近，下注額小加上勝率僅僅是略微占優(yōu)（52%），這個(gè)差距毫不意外。

馬丁格爾策略的中位數(shù)約1500，比均值略高，因?yàn)橐呀?jīng)有爆倉出局的賭徒（資金歸0）；最大最小值則差異明顯，輸家傾家蕩產(chǎn)，可是贏家也不過53%的收益。屠夫只能說，馬丁不值得……

凱利公式的中位數(shù)約3000萬，明顯比前兩個(gè)策略高出一大截；最大最小值同樣差距甚遠(yuǎn)，最小者仍然保有0.39%的初始本金，最大者則達(dá)到16萬億——沒錯(cuò)，從1萬變成16萬億，16億倍的收益……

（屠夫注：凱利公式假設(shè)資金“無限可分”，但實(shí)際情況不可能這樣。試驗(yàn)中規(guī)定最小下注額為1，必定令賭徒存在一定爆倉風(fēng)險(xiǎn)。試驗(yàn)中，本金最小的賭徒只剩39元，局?jǐn)?shù)增多的話很可能就爆倉了。）

最后是偏度和峰度。

偏度和峰度，分別是衡量分布對稱性和集中程度的系數(shù)。分布越是趨近于正態(tài)，這兩個(gè)系數(shù)越接近于0——固定下注策略就是如此。

馬丁格爾策略的偏度為負(fù)，表明數(shù)據(jù)均值左側(cè)的離散程度強(qiáng)；峰度趨近于0，沒有顯著的平/尖差異。

存在爆倉歸0的情況下，馬丁格爾策略的賭徒余額仍然呈現(xiàn)負(fù)偏，表明低于均值的極端值較多，因此均值很可能是被少數(shù)“負(fù)面黑天鵝”給拉低了。

凱利公式的偏度為正，表明數(shù)據(jù)均值右側(cè)的離散程度強(qiáng)；峰度顯著大于0，呈現(xiàn)明顯的尖峰形態(tài)。

凱利公式下的賭徒余額呈現(xiàn)尖峰，表明結(jié)果集中在均值附近，這對賭徒而言是有利的；而正偏則表明少數(shù)“正面黑天鵝”可能拉高了均值，也不算壞事。

看不懂偏度和峰度的同學(xué)也不用著急，知道結(jié)論是“試驗(yàn)結(jié)果表明凱利公式牛逼”就行了……

06 硬幣停下的那一刻

投資，是連接過去與未來的游戲，是連接人性與理性的游戲。

未來波譎云詭，人性復(fù)雜難測，造就了千變?nèi)f化的投資環(huán)境。

硬幣只有正反兩面，看似簡單，卻能演繹出投資里的諸般變化。

第1枚硬幣提醒大家，投資不能只看概率，賠率同樣重要；

第2枚硬幣提醒大家，跟莊是死在數(shù)學(xué)之下，一點(diǎn)也不冤；

第3枚硬幣提醒大家，只靠直覺很危險(xiǎn)，保持理性才能活；

今天擲出第4枚硬幣，告訴大家有一種操作叫“倉位控制”。

這次的反擊篇，既是基業(yè)長紅的一周年紀(jì)念，也是硬幣賭博三部曲的番外，還有可能成為新系列的開始。

看到這里的同學(xué)，想必已經(jīng)忍不住動(dòng)手查詢“凱利公式”了吧？

凱利公式是個(gè)很大的話題，今天就此打住，以后有機(jī)會再詳細(xì)聊聊，敬請期待~

過去一年，感謝相伴。

未來一年，請多指教。