典型例題分析1：

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF．

（1）求證：AD=AF；

（2）四邊形ADCF是形；

（3）若AB=AC，則四邊形ADCF是形．

考點(diǎn)分析：

正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定．

題干分析：

（1）由E是AD的中點(diǎn)，AF∥BC，易證得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD=BD=CD=BC/2，即可證得：AD=AF；

（2）由（1）知，AF=BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形；

（3）由AF=BD=DC，AF∥BC，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD⊥BC，AD=DC，繼而可得四邊形ADCF是正方形。

典型例題分析2：

如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點(diǎn)M．

（1）證明：DM=DA；

（2）點(diǎn)G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖2，求證：△DEG∽△ECF；

（3）在圖2中，取CE上一點(diǎn)H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的長(zhǎng)．

考點(diǎn)分析;

相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．

題干分析：

（1）證明∠A=∠DMA，用等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；

（2）由D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根據(jù)等式性質(zhì)得∠FEC=∠GDE，根據(jù)有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可證；

（3）通過(guò)證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG·BE=EH·EC，又BE=EC，所以EH=BG=5．

典型例題分析3：

如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：

（1）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，求t的值；′

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？