二次根式的乘除

大廉兒 2020-07-24

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　1.掌握二次根式的乘法法則,會進行二次根式的乘法運算.

　2.能利用二次根式的乘、除法法則和性質(zhì)化簡二次根式.

　1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——驗證”的過程,引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴,相互補充的辯證關系.

　2.培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力.

　鼓勵學生積極參與數(shù)學活動,激發(fā)學生的好奇心和求知欲,體驗數(shù)學活動中的探索和創(chuàng)新,感受數(shù)學的嚴謹性.

　【重點】　能熟練進行二次根式的乘法和除法運算.

　【難點】　綜合運用有關法則和性質(zhì)化簡二次根式.

第課時

　1.理解=·(a≥0,b≥0),使學生能夠利用積的算術平方根的性質(zhì)進行二次根式的計算和化簡.

　2.掌握二次根式的乘法法則,會進行二次根式的乘法運算.

　1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——驗證”的過程,使學生進一步了解數(shù)學知識之間是互相聯(lián)系的.

　2.培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力.

　鼓勵學生積極參與數(shù)學活動,激發(fā)學生的好奇心和求知欲,體驗數(shù)學活動中的探索和創(chuàng)新,感受數(shù)學的嚴謹性.

　【重點】　會利用積的算術平方根的性質(zhì)化簡二次根式,會進行二次根式的乘法運算.

　【難點】　二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用.

　【教師準備】　教學中出示的教學插圖和例題.

　【學生準備】　復習二次根式的定義和代數(shù)式的定義.

導入一:

　古希臘的幾何家海倫的鄰居家有一塊三角形的菜地,測得三邊的長分別為7 m,5 m,8 m,海倫很快就算出了這塊菜地的面積,鄰居想了很久也算不出來,你知道海倫是如何將這塊地的面積計算出來的嗎?

　原來海倫先算出三角形的周長的一半為10 m,再根據(jù)計算三角形的面積公式得=(m²),可是后面這個式子該如何化簡呢?這節(jié)課我們一起來進行探討.

　[設計意圖]　創(chuàng)設情境導入新課,激發(fā)學生學習的興趣,為本節(jié)課學習打下基礎.

導入二:

　我們知道長方形的面積等于長乘寬,一個一組鄰邊長為2和3的長方形,你能算出它的面積嗎?其實這個長方形的面積是2×3,你能算出這個結果,求出長方形的面積嗎?

　[設計意圖]　聯(lián)系生活實際導入新課,讓學生感受到數(shù)學來源于生活,喚起學生探究新知的欲望.

　1.二次根式的乘法

　思路一

　計算下列各式,觀察計算結果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

　(1)×=　　　　,=　　　　;

　(2)×=　　　　,=　　　　;　

　(3)×=　　　　,=　　　　.

　參考上面的結果,用“>,<或=”填空.

×　　　 ,×　　　 ,×　　　 .

　老師糾正學生練習中的錯誤后,引導學生觀察運算結果,發(fā)現(xiàn)和總結式子有什么規(guī)律,指出幾名學生回答,其余學生補充.

　老師點評:(1)被開方數(shù)都是正數(shù);(2)兩個二次根式的乘法等于一個二次根式,并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘,作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

　提問:二次根式的乘法法則是什么?字母表達式是怎樣的?

　學生總結二次根式的法則:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.

　[設計意圖]　培養(yǎng)學生細心觀察問題,并合作完成問題的習慣.

　[知識拓展]　(1)·=成立的條件是a≥0且b≥0,千萬不能忽略.(2)此法則可以推廣到多個二次根式的乘法運算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的代數(shù)式.(3)當二次根式前面有系數(shù)時,可以類比單項式乘單項式的法則進行運算,即系數(shù)之積作為系數(shù),被開方數(shù)之積作為被開方數(shù),如m·n=mn(a≥0,b≥0).

　思路二

　出示教材第6頁“探究”.

　計算下列各式,觀察計算結果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

　(1)×=　　　　,=　　　　;

　(2)×=　　　　,　　　　;　

　(3)×=　　　　,=　　　　.　

　學生自己計算,并力爭獨立發(fā)現(xiàn)規(guī)律:×=,×=,×=.

　教師演算:　×=×5=,　=　=,則　×=　.

　由上面的特殊例子引導學生總結:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.

　　[過渡語]　你會應用二次根式的乘法法則嗎?

　嘗試練習(教材例1):

　計算:(1)×;(2)　×.

　學生獨立做完后,同桌內(nèi)確定答案,并記錄下自己的錯誤之處,以便后面交流.

　[設計意圖]　由特殊到一般,由特殊例子推導得出二次根式乘法的法則,通過嘗試練習使學生先學會初步掌握如何進行二次根式的乘法.

　2.積的算術平方根的性質(zhì)

　思路一

　　[過渡語]　·=反過來也成立嗎?

　計算并思考:

　①==　　　　,×=2×5=　　　　;

　②　=　=　　　　,×　=6×=　　　　;

　③==　　　　,×=0.1×3=　　　　.

　你認為=　　　　(a≥0,b≥0).

　學生計算后比較每一組的結果,說出自己的發(fā)現(xiàn).教師根據(jù)學生情況引導:

　根據(jù)算術平方根的意義,得==10,×=2×5=10,則=×;同樣,　=　=,×　=6×=,則有=×　;==0.3,×=0.1×3=0.3,則有=×.由此可以得出兩個非負數(shù)積的算術平方根等于它們算術平方根的積.

　進一步明確:=·(a≥0,b≥0).

　[設計意圖]　讓學生親自動手,進行探究,得出結論,激發(fā)學生求知欲望.

　思路二

　　[過渡語]　把·=反過來,就得到=·,利用它就可以將二次根式化簡.

　嘗試練習:

　化簡:(1);(2)(m>0).

　學生討論,得出:(1)先把被開方數(shù)化為20²×10,再利用=·計算;

　(2)先把被開方數(shù)化為(9m)²與n乘積的形式,再利用=·計算.

　解:(1)原式=×=20.

　(2)原式==·=9m.　

　教師針對練習中的錯誤進行糾正,引導學生歸納:兩個非負數(shù)積的算術平方根等于它們算術平方根的積,即=·(a≥0,b≥0).

　[設計意圖]　鼓勵學生嘗試練習,練后進行歸納,培養(yǎng)學生主動探究數(shù)學規(guī)律的能力,提高他們的歸納總結能力.

　[知識拓展]　(1)當a<0,b<0時,雖然有意義,但是=·,而不等于·.(2)積的算術平方根性質(zhì)可推廣為:當a≥0,b≥0,c≥0時,=··.(3)公式中a,b既可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的代數(shù)式,但必須滿足a≥0,b≥0.

　3.例題講解

　　(教材例1)計算:

　(1)×;(2)　×.

　引導學生結合前面嘗試練習分析:根據(jù)二次根式的乘法法則·=(a≥0,b≥0)進行計算.

　解:(1)×=.

　(2)　×=　==3.

　　(教材例2)化簡:

　(1);　　　(2).

　教師引導發(fā)現(xiàn):被開方數(shù)4a²b³含4,a²,b³這樣的因數(shù)或因式,它們被開方后可以移到根號外,是開得盡方的因數(shù)或因式.根據(jù)積的算術平方根的性質(zhì)=·進行二次根式的化簡.

　解:(1)=×=4×9=36.

　(2)=··=2·a·=2ab.

　　(教材例3)計算:

　(1)×;(2)3×2;(3)·　.

　〔解析〕　根據(jù)二次根式的乘法法則·=(a≥0,b≥0)計算,其中3×2中,二次根式前面有系數(shù),可以類比單項式乘單項式的法則進行運算,即系數(shù)之積作為系數(shù),被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).

　解:(1)×===×=7.

　(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.

　(3)·　=　==·=x.

　[解題策略]　化簡二次根式的方法:①把被開方數(shù)化為能開得盡方的因數(shù)(或因式)與其他因數(shù)(或因式)積的形式,再開平方即可;②被開方數(shù)是小數(shù),要化成分數(shù),可以利用分數(shù)的基本性質(zhì),使得化簡后被開方數(shù)不含分母;③當被開方數(shù)是和(或差)的形式時,要把被開方數(shù)寫成一個數(shù)或分解因式,再化簡.