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奧數(shù)國(guó)家級(jí)教練與四名特級(jí) 教師聯(lián)手執(zhí)教。 如圖，分別以□ABCD的對(duì)邊AB、CD為邊在形外作等邊△ABE、等邊△CDF.連結(jié)CE交AB于點(diǎn)G，連結(jié)AF交CD于點(diǎn)H.試探索圖形中除□ABCD外，是否有其他的平行四邊形，并給予證明.
【答案解析】四邊形AECF和四邊形AGCH是平行四邊形。方法1 □ABCD中，AB＝CD.因?yàn)椤?/span>ABE和△CDF都是等邊三角形，所以AE＝CF，EB＝DF，又因?yàn)?/span>BC＝AD，∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠CDF＝60°，所以∠CBE＝∠ADF，所以△CBE≌△ADF，得CE＝AF，已證AE＝CF，所以四邊形AECF是平行四邊形.方法2 設(shè)∠BAH＝α，則∠EAF＝60°＋α.因?yàn)?/span>□ABCD中AB∥DC，所以∠CHF＝α.在△CHF中∠CFH＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，所以∠EAF＋∠CFA＝180°，則EA∥CF.因?yàn)?/span>EA＝CF，所以四邊形AECF是平行四邊形.方法3 設(shè)□ABCD的對(duì)稱中心為點(diǎn)O（對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)），則將□ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°以后，AB與CD重合.因?yàn)椤?/span>ABE和△CDF是同在平行四邊形外全等的等邊三角形，旋轉(zhuǎn)后也相互重合，則對(duì)稱點(diǎn)E、F連線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且OE＝OF.因?yàn)?/span>OA＝OC，所以四邊形AECF是平行四邊形.因?yàn)椋?/span>1）中已證□AECF可知AH∥GC，且已知□ABCD中AG∥HC，所以四邊形AGCH是平行四邊形.典型題2：難度★★★★ 如圖（a），△ABC中AB＝AC＝13cm，BC＝10cm.M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)。（1）若C1是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MC1、NB.求圖中陰影部分的面積。（2）將線段BC1沿BC向右移動(dòng)到B1C1位置，如圖（b）.連結(jié)MC1、NB1.圖中陰影部分的面積還與（1）中相同嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案解析】 （1）連結(jié)AC1，易知它是等腰三角形底邊上的高，由勾股定理可得AC1＝12cm，從而cm2.連結(jié)MN、NC1，設(shè)MC1、NB交于點(diǎn)O.由三角形中位線定理及平行四邊形的判定可知四邊形MNC1B是平行四邊形，所以.因?yàn)镹是AC中點(diǎn)，所以，進(jìn)而陰影部分面積cm2. （2）線段BC1平移后陰影部分的面積仍為30cm2.方法1 連結(jié)MN、NC1、MB1、NB，設(shè)MC1、NB1交點(diǎn)為O，則仍有四邊形MNC1B1是平行四邊形，.這時(shí)△B1MN、△BMN是同底等高三角形，所以.所以結(jié)論還與（1）中相同。 方法2 易見(jiàn)不論線段B1C1平移到何處，圖中平行四邊形MNC1B1的面積不變。而平行四邊形中的陰影部分面積（）等于平行四邊形面積的一半，所以總的陰影部分的面積不會(huì)改變.
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