在證明線段或角相等時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等，最后得出結(jié)論.

利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個(gè)三角形中的線段或角相等．

下面介紹證明三角形全等的幾種方法，供同學(xué)們參考．

一、利用公共角證明全等

【例題 1】如圖 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于點(diǎn) O.

圖 1

求證: ∠ABF ＝∠ACE.

分析：要證明 ∠ABF＝∠ACE，只需證明 △BOE≌△COF 或 △ABF≌△ACE. 而由圖形可知 ∠A 是公共角，又由已知條件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以 △ABF≌△ACE（SAS），于是問(wèn)題獲證．

證明：略.

二、利用對(duì)頂角證明全等

【例題 2】 如圖 2，點(diǎn) B、E、F、D 在同一條直線上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O．

圖 2

求證： AO ＝ CO．

分析：要證明 AO＝CO，只需證明 △AOE≌△COF 或 △AOB≌△COD 即可．根據(jù)現(xiàn)有條件都無(wú)法直接證明．而由已知條件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接證明 △ABE≌△CDF，則有 ∠AEB＝∠CFD，進(jìn)而有 ∠AEO＝∠CFO，再利用對(duì)頂角相等即可證明 △AOE≌△COF（AAS）于是問(wèn)題獲證．

證明：略.

三、利用公共邊證明全等

【例題 3】 如圖 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．

圖 3

求證：∠B ＝∠C．

分析：設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) O，此時(shí)∠B 與∠C 分別在 △AOB 和 △DOC 中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個(gè)三角形全等的，需添加輔助線來(lái)構(gòu)造另一對(duì)全等三角形．此時(shí)可以連接 AD，那么 AD 是 △ABD 和 △DCA 的公共邊，這樣可以證明 △ABD≌△DCA（SSS），從而可證明 ∠B ＝∠C，于是問(wèn)題獲證．

證明：略.

四、利用相等線段中的公共部分證明全等

【例題 4】 如圖 4，點(diǎn) E、F 是平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，AF ＝ CE.

圖 4

求證：BE∥DF.

分析：要證明 BE∥DF, 只需證明 ∠BEC ＝∠DFA，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證明 ∠AEB ＝∠CFD, 進(jìn)而證明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .

證明：

∵ 在平行四邊形 ABCD 中，

∴ AB∥CD，AB = CD，

∴ ∠BAE = ∠DCF，

∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，

∴ AE = CF，

∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），

∴ ∠AEB ＝∠CFD,

∴ ∠BEC ＝ 180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，

∴ BE∥DF.

五、利用等角中的公共部分證明全等

【例題 5】 如圖 5，已知 ∠E ＝ 30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．

圖 5

求： ∠C 的度數(shù)．

分析：已知 ∠E ＝ 30°，要求 ∠C，可考慮證明 △ABC≌△ADE , 由 ∠BAE ＝∠DAC , 結(jié)合圖形可知∠BAC ＝∠DAE，于是問(wèn)題獲解．

證明：

∵ ∠BAE＝∠DAC，

∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，

∴ ∠BAC ＝∠DAE，

∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，

∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,

∴ ∠C = ∠E = 30° .

六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)證明全等

【例題 6】如圖 6，已知 ∠DCE ＝ 90°，∠DAC ＝ 90°，BE⊥AC 于點(diǎn) B, 且 DC ＝ EC, 能否找出與 AB + AD 相等的線段，并說(shuō)明理由．

圖 6

分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此時(shí)只需證明 AD ＝ BC 即可．而事實(shí)上，用同角的余角相等可得到 ∠DCA ＝∠E，從而證明 △ADC ≌ △BCE，問(wèn)題獲證．

注意考點(diǎn)：同角或等角的余角相等.

證明：

∵ BE⊥AC，

∴ ∠EBC = 90°，

∵ ∠DCA + ∠ACE = ∠DCE = 90°，∠E + ∠ACE = 90°，

∴ ∠DCA ＝∠E，

∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,

∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），

∴ AC = BE , AD = BC，

∴ AB + AD = AB + BC = AC = BE .

七、利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形證明全等

考點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

【例題 7】如圖 7，點(diǎn) P 是 ∠ABC 的平分線 BN 上一點(diǎn)，PE 垂直 AB 所在的直線與 E , PF 垂直BC 所在的直線于 F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.

圖 7

求證：PA = PC.

證明：

∵ BN 是 ∠EBC 的角平分線，PE⊥BA，PF⊥BC，

∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,

∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，

∴ ∠PAE = ∠PCF，

∴ △PAE ≌ △PCF，

∴ PA = PC.

八、利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形證明全等

所謂截長(zhǎng)法是指在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短的線段，而補(bǔ)短法是指延長(zhǎng)較短的線段等于較長(zhǎng)的線段，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短可以把分散的條件相對(duì)集中起來(lái)，以便構(gòu)造全等三角形。

【例題 8】如圖 8，在 △ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

圖 8 - 1

求證：AB = AC + CD.

分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)” 或 “補(bǔ)短” 都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng) AC 至 E 使 CE = CD，

圖 8 - 2

來(lái)證明 △ADB ≌ △ADE（AAS）.

或在 AB上截取 AF = AC，來(lái)證明 △ADF ≌ △ADC（SAS）,

圖 8 - 3

AB = AF + FB = AF + FD = AC + CD .

證明：略.

九、利用 “一線三等角” 模型構(gòu)造全等三角形證明全等

所謂 “一線三等角” 是指一條直線上有三個(gè)相等角，如果有一組邊對(duì)應(yīng)相等則可以構(gòu)造全等三角形.

類型一：直角三角形中的 “一線三等角” 模型

【例題 9】如圖 9，在 △ABC 中，∠B = 90°，CD⊥AC，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥BC 交 BC 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，且 AC = CD ，

圖 9

求證：△ABC ≌ △CED.

證明：

∵ DE⊥BC，CD⊥AC，

∴ ∠DEC = 90°，∠ACD = 90°，

∵ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ACB + ∠DCE = 180° - ∠ACD = 90°，

∴ ∠A = ∠DCE，

∵ ∠B = ∠E = 90°，AC = CD , ∠A = ∠DCE，

∴ △ABC ≌ △CED（AAS）.

類型二：等腰三角形中底邊上的 “一線三等角” 模型

【例題 10】如圖 10，在 △ABC 中， AB = AC，點(diǎn) D、E 分別在 AB、BC 上，作 ∠DEF = ∠B，射線 EF 交線段 AC 于點(diǎn) F，若 DE = EF,

圖 10

求證：△DBE ≌ △ECF.

證明：

∵ AB = AC ,

∴ ∠B = ∠C，

∵ ∠BED = 180° - ∠DEF - ∠FEC，∠CFE = 180° - ∠C - ∠FEC，

又 ∵ ∠DEF = ∠B = ∠C，

∴ ∠BED = ∠CFE，

∵ DE = EF，∠B = ∠C， ∠BED = ∠CFE，

∴ △DBE ≌ △ECF（AAS）.