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樓上胡說八道. 高等數(shù)學并沒有說三次方程沒有求根公式.事實上,3次和4次方程都有求根公式,5次及以上的高次方程才沒有一般的解析公式. 3次方程求根公式是著名的卡爾丹公式 方程x^3+px+q=0的三個根為 x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3) x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3) x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3) 其中w=(-1+√3i)/2. 1、方程x^3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 2、方程x^3=A的解為x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.再令x=y-a/3,代入可消去次高項,變成x^3+px+q=0的形式. 設(shè)x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ① 如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立,由一元二次方程韋達定理u^3和V^3是方程 y^2+qy-p^3/27=0的兩個根. 解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 不妨設(shè)A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 則u^3=A,v^3=B u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2 v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2 但是考慮到uv=-p/3,所以u、v只有三組 u1= A（1/3）,v1= B（1/3） u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2 u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω 那么方程x^3+px+q=0的三個根也出來了,即 x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3） x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2 x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω 這正是著名的卡爾丹公式.你直接套用就可以求解了. △=q^2/4+p^3/27為三次方程的判別式. 當△>=0時,有一個實根和兩個共軛復根； 當△ |
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