1. 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性

例1. 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球靜止時(shí)距地面的高度為h，用力向下拉球使球與地面接觸，然后從靜止釋放小球（彈簧始終在彈性限度以內(nèi)）則：

A. 運(yùn)動(dòng)過程中距地面的最大高度為2h

B. 球上升過程中勢(shì)能不斷變小

C. 球距地面高度為h時(shí)，速度最大

D. 球在運(yùn)動(dòng)中的最大加速度是kh/m

解析：因?yàn)榍蛟谪Q直平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，球從地面上由靜止釋放時(shí)，先做變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)離地面距離為h時(shí)合力為零，速度最大，然后向上做變減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為零，最低點(diǎn)速度為零時(shí)距平衡位置為h，利用離平衡位置速度相同的兩點(diǎn)位移具有對(duì)稱性，最高點(diǎn)速度為零時(shí)距平衡位置也為h，所以球在運(yùn)動(dòng)過程中距地面的最大高度為2h，由于球的振幅為h，由可得，球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度為，球在上升過程中動(dòng)能先增大后減小，由整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知，系統(tǒng)的勢(shì)能先減小后增大。所以正確選項(xiàng)為ACD。

2. 靜電場(chǎng)中的對(duì)稱性

例2. 如圖1所示，帶電量為＋q的點(diǎn)電荷與均勻帶電薄板相距為2d，點(diǎn)電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心。若圖中b點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，根據(jù)對(duì)稱性，帶電薄板在圖中b點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為多少，方向如何？（靜電力恒量為k）。

圖1

解析：在電場(chǎng)中a點(diǎn)：

板上電荷在a、b兩點(diǎn)的電場(chǎng)以帶電薄板對(duì)稱，帶電薄板在b點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向水平向左。

題目中要求帶電薄板產(chǎn)生的電場(chǎng)，根據(jù)中學(xué)物理知識(shí)僅能直接求點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，無(wú)法直接求帶電薄板產(chǎn)生的電場(chǎng)；由E_a＝0，可以聯(lián)想到求處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的方法，利用來(lái)間接求出帶電薄板在a點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，然后根據(jù)題意利用對(duì)稱性求出答案。

例3. 靜電透鏡是利用靜電場(chǎng)使電子束會(huì)聚或發(fā)散的一種裝置，其中某部分靜電場(chǎng)的分布如圖2所示。虛線表示這個(gè)靜電場(chǎng)在xOy平面內(nèi)的一簇等勢(shì)線，等勢(shì)線形狀相對(duì)于Ox軸、Oy軸對(duì)稱，等勢(shì)線的電勢(shì)沿x軸正向增加，且相鄰兩等勢(shì)線的電勢(shì)差相等。一個(gè)電子經(jīng)過P點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為）時(shí)，速度與Ox軸平行。適當(dāng)控制實(shí)驗(yàn)條件，使該電子通過電場(chǎng)區(qū)域時(shí)僅在Ox軸上方運(yùn)動(dòng)。在通過電場(chǎng)區(qū)域過程中，該電子沿y方向的分速度v_y，隨位置坐標(biāo)x變化的示意圖是：

圖2

解析：由于靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，且沿電場(chǎng)線電勢(shì)依次降低，由此可判斷Ox軸上方區(qū)域y軸左側(cè)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向斜向左上方，y軸右側(cè)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向斜向左下方。電子運(yùn)動(dòng)過程中，受到的電場(chǎng)力的水平分力沿x軸正方向，與初速方向相同，因此，電子在x方向上的分運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)空間對(duì)稱性，電子從x＝運(yùn)動(dòng)到過程中，在y軸左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間比在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)。電子受到電場(chǎng)力的豎直分力先沿y軸負(fù)方向，后沿y軸正方向。因此電子在y方向上的分運(yùn)動(dòng)是先向下加速后向下減速，但由于時(shí)間的不對(duì)稱性，減速時(shí)間比加速時(shí)間短，所以，當(dāng)時(shí)，的方向應(yīng)沿y軸負(fù)方向。正確答案為D。

3. 電磁現(xiàn)象中的對(duì)稱性

例4. 如圖3所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝。哪個(gè)圖是正確的？（ ）

圖3

解析：由于是許多質(zhì)量為m帶電量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。所以，重點(diǎn)是考慮粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向。

在考慮時(shí)，想到速度方向在空間安排上是具有“空間對(duì)稱性”的，所以，本題就要在分析過程用到對(duì)稱性。

①當(dāng)粒子沿垂直MN的方向進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由其所受到的“洛倫茲力”的方向可以知道，其作圓周運(yùn)動(dòng)的位置在左側(cè)。由“洛倫茲力”公式和圓周運(yùn)動(dòng)“向心力”公式可以得到：，解得R＝。所以，在左側(cè)可能會(huì)出現(xiàn)以O(shè)為一點(diǎn)的直徑為2R的半圓。

②當(dāng)粒子沿水平向右的方向進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其應(yīng)該在MN的上方作圓周運(yùn)動(dòng)，且另外的半圓將會(huì)出現(xiàn)在點(diǎn)O的左邊。直徑也是2R。

③然后，利用對(duì)稱性，所有可能的軌跡將會(huì)涉及到以點(diǎn)O為轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，以2R為直徑從右掃到左的一片區(qū)域。即如圖4所示。

圖4

4. 光學(xué)中的對(duì)稱性

例5. 1801年，托馬斯·楊用雙縫干涉實(shí)驗(yàn)研究了光波的性質(zhì)。1834年，洛埃利用單面鏡同樣得到了楊氏干涉的結(jié)果（稱洛埃鏡實(shí)驗(yàn)）。

（1）洛埃鏡實(shí)驗(yàn)的基本裝置如圖5所示，S為單色光源，M為一平面鏡。試用平面鏡成像作圖法在答題卡上畫出S經(jīng)平面鏡反射后的光與直接發(fā)出的光在光屏上相交的區(qū)域。

圖5

（2）設(shè)光源S到平面鏡的垂直距離和到光屏的垂直距離分別為a和L，光的波長(zhǎng)為，在光屏上形成干涉條紋。寫出相鄰兩條亮紋（或暗紋）間距離的表達(dá)式。

解析：（1）如圖6所示。

圖6

（2）

因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/05/1916/190875196_24_20200519042842503' src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif">，所以。

試題以托馬斯·楊的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)為引導(dǎo)，以洛埃鏡實(shí)驗(yàn)為載體，將平面鏡對(duì)光的反射與光的干涉綜合在一起，考查考生對(duì)“一分為二”及干涉過程的理解和對(duì)課本知識(shí)的遷移能力。

［模型特征］

在研究和解決物理問題時(shí)，從對(duì)稱性的角度去考查過程的物理實(shí)質(zhì)，可以避免繁冗的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，迅速而準(zhǔn)確地解決問題。

對(duì)稱法是從對(duì)稱性的角度研究、處理物理問題的一種思維方法，有時(shí)間和空間上的對(duì)稱。它表明物理規(guī)律在某種變換下具有不變的性質(zhì)。用這種思維方法來(lái)處理問題可以開拓思路，使復(fù)雜問題的解決變得簡(jiǎn)捷。

如，一個(gè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體在至運(yùn)動(dòng)停止的過程中，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，從時(shí)間上的反演，就能看作是一個(gè)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，于是便可將初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和特點(diǎn)，用于處理末速度為零的勻減速運(yùn)動(dòng)，從而簡(jiǎn)化解題過程。

具體如：豎直上拋運(yùn)動(dòng)中的速度對(duì)稱、時(shí)間對(duì)稱。沿著光滑斜面上滑的物體運(yùn)動(dòng)等具有對(duì)稱性；簡(jiǎn)諧振動(dòng)中|v|、|a|、|F|、動(dòng)勢(shì)能對(duì)稱以平衡位置的對(duì)稱性；光學(xué)中的球型對(duì)稱等，總之物理問題通常有多種不同的解法，利用對(duì)稱性解題不失為一種科學(xué)的思維方法。

利用對(duì)稱法解題的思路：①領(lǐng)會(huì)物理情景，選取研究對(duì)象；②在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，通過題目的條件、背景、設(shè)問，深刻剖析物理現(xiàn)象及過程，建立清晰的物理情景，選取恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象如運(yùn)動(dòng)的物體、運(yùn)動(dòng)的某一過程或某一狀態(tài)；③透析研究對(duì)象的屬性、運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及規(guī)律；④尋找研究對(duì)象的對(duì)稱性特點(diǎn)。⑤利用對(duì)稱性特點(diǎn)，依物理規(guī)律，對(duì)題目求解。

［模型演練］

將一測(cè)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力。圖7甲表示小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿固定的光滑半球形容器內(nèi)壁在豎直平面的AA”之間來(lái)回滑動(dòng)。A、A”點(diǎn)與O點(diǎn)連線與豎直方向之間夾角相等且都為，均小于10°，圖7乙表示滑塊對(duì)器壁的壓力F隨時(shí)間t變化的曲線，且圖中t＝0為滑塊從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖中）所給的信息，求小滑塊的質(zhì)量、容器的半徑及滑塊運(yùn)動(dòng)過程中的守恒量。（g取10m/s²）

圖7

答案：由圖乙得小滑塊在A、A”之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期s

由單擺振動(dòng)周期公式，得球形容器半徑代入數(shù)據(jù)，得R＝0.1m

在最高點(diǎn)A，有，式中

在最低點(diǎn)B，有，式中

從A到B過程中，滑塊機(jī)械能守恒

聯(lián)立解得：，則m＝0.05kg

滑塊機(jī)械能