【編者按：在所有的推理方法中，類比是最令人直覺的，如果說歸納、演繹是映射式的，那么類比則可能是散射、漫射、影射式的，熊老師的這篇文章確有形式化意識(shí)或思維的味道！值得回味！】

    哦？代數(shù)結(jié)構(gòu)？什么是代數(shù)結(jié)構(gòu)？拿來干什么的？簡單說，就是建立可以描述類比，使得類比成為可以計(jì)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

等等，等等，好像不是很清楚哦。

好的。這就需要仔細(xì)說了。我們就先來趣味一下，講講雞兔同籠。

網(wǎng)上一直廣泛流傳，并且持久不衰的笑話題目中間就有雞兔同籠的解法。

打開微信，稍微一搜索，就看見一大堆。選幾個(gè)吧。這個(gè)是2015年的：

《奧數(shù)的思維——《奔跑吧兄弟》包貝爾雞兔同籠抬腿法，神邏輯刷存在感》里面說：

其實(shí)包貝爾的這種算法更簡單：假設(shè)雞和兔全部抬起來兩只腳，應(yīng)該少掉35*2=70只腳，雞都坐著地上了，地上還剩24只腳，24只腳都是兔子的，每只兔子剩兩只腳，除以2就是12只兔子，35-12=23只雞。

注意了，抬腿法！

下面是一位老師的文章（2017年）：

《孩子雞兔同籠學(xué)不會(huì)，你一定是少教了他一個(gè)重要方法！》

里面說：
雞兔同籠是我剛開始做老師時(shí)教的最不好的一課，也是絕大多數(shù)家長教孩子數(shù)學(xué)時(shí)最頭疼的一個(gè)問題。我當(dāng)時(shí)特別納悶兒，因?yàn)槲野堰@個(gè)問題已經(jīng)講得非常細(xì)致了，先是用正統(tǒng)的假設(shè)法教了一遍，后來又用抬腿法教了一遍。假設(shè)法效果非常差，提高班的孩子們都一個(gè)個(gè)用水汪汪地眼睛看著你，老師我不會(huì)；抬腿法教時(shí)，雖然孩子能跟著你報(bào)出答案，但一到自己做時(shí)，十之八九都拿著鉛筆畫圈圈。這節(jié)課也讓我體驗(yàn)到了初為老師時(shí)十足的挫敗感。(友情提醒：小學(xué)生不建議教方程)

注意了，又是抬腿法！還有什么正統(tǒng)的假設(shè)法。還有方程！

不過呢，如果是大家對數(shù)學(xué)更感興趣一些，推薦大家讀超模君寫的這篇文章（2018年）：

《雞兔同籠這個(gè)小學(xué)時(shí)代的大難題，看到了中國古人的超級(jí)腦洞》

這篇文章好，好就好在指出了超級(jí)腦洞，就是說，為了解這個(gè)問題，中國古人神思妙想，開了一個(gè)超級(jí)腦洞——抬腿法：讓兔子和雞同時(shí)抬腿，哈哈！

總之，這個(gè)話題，網(wǎng)上過一段時(shí)間，就要流傳一下。改頭換面，什么霸氣老總，紅顏秀女，越獄天才，笨笨小豬，各種亂花，繚亂人眼，但又萬變不離其宗——抬腿法。

其實(shí)，所謂的抬腿法，在學(xué)習(xí)了線性方程組后，就知道其實(shí)就是消元法。但是，古人沒有代數(shù)方法，不能顯性表達(dá)線性方程，一切都是用文字描述，然后在腦子里面攪動(dòng)。因此這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題，在古人求解時(shí)，必須要開動(dòng)極度腦力，想出極度的方法，如抬腿法那樣的，才能求解。在古代，能夠開出這個(gè)腦洞，相當(dāng)不簡單，其難度，完全可能比現(xiàn)代證明一個(gè)大定理的難度還要大。

這都是因?yàn)楣湃藳]有一個(gè)合適的代數(shù)結(jié)構(gòu)來描述這個(gè)問題。在古人那里，僅能用文字描述，沒有精確的數(shù)學(xué)方式，思考起來困難，求解起來就更困難，更難以把問題推廣到更多個(gè)變量。雖然在我們看來線性方程很簡單，但是，在用線性方程來表達(dá)雞兔同籠之前，就要導(dǎo)入X，Y的表達(dá)，以及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則?？缭剿阈g(shù)而到代數(shù)，歷史上花了上千年的時(shí)光。

雞兔同籠給我們的啟示就是，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，有兩種處理方式：其一是在腦中絞盡腦汁，開出腦洞，而獲得一個(gè)精彩的解；其二是找到合適的代數(shù)表達(dá)式，而代數(shù)表達(dá)式可以使得求解成為比較機(jī)械的套路。抬腿法就是前者，而建立代數(shù)表達(dá)則是后者。相對于精彩腦洞來說，建立合適的代數(shù)表達(dá)，是更偉大的數(shù)學(xué)進(jìn)步。當(dāng)然，如果不在合適的時(shí)代，也不可能建立代數(shù)，這不是為個(gè)人的聰明程度所限，而是為時(shí)代所限。

現(xiàn)在，我們清楚代數(shù)結(jié)構(gòu)的意義了。

那么，現(xiàn)在這個(gè)時(shí)代允許我們建立什么樣的結(jié)構(gòu)呢？我們的時(shí)代正在急迫呼喚建立用于描述類比的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而且，我們愿意預(yù)測，現(xiàn)在還是幸運(yùn)的時(shí)代，即的確有可能建立起這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)在再說類比。我們可以先看一些簡單的例子。讓我們先從科普讀物《數(shù)學(xué)思維》，鄭樂雋著，里面抄一段書：

我們來思考一下這個(gè)數(shù)字集合：
{1，2，3}
你覺得以下哪個(gè)集合是和它類似的集合？
1.{2，3，4}
2.{2，4，6}
3.{-1，-2，-3}
4.{11，12，13}
5.{101，102，103}
6.{100，200，300}
7.{13，28，42}
8.{貓，狗，香蕉}

這就是類比?？梢哉f，類比地看，上面的8個(gè)集合，和{1，2，3}這個(gè)集合都可以類似，不同的類似。例如，{1，2，3}和{2，3，4}類似，因?yàn)楹笳呤乔罢呙總€(gè)數(shù)加1。又例如，{1，2，3}和{100，200，300}類似，因?yàn)楹笳呤乔罢呙總€(gè)數(shù)乘100。再例如，{1，2，3}和{貓，狗，香蕉}類似，因?yàn)樵谧x者心目中，貓狗香蕉的重要程度排序就是1，2，3。而且從情形1到8，集合都有3個(gè)元素，這就不僅和{1，2，3}類似，而且是集合的基數(shù)相等了。

其實(shí)還可以再稍加變動(dòng)一下：
1.{3，3，4}
2.{6，4，2}
3.{-1，-2，-3，-4}
4.{11，12，13，14，15，16}
5.{。，。。，。。。}
6.{口，哭，品}
7.{13，28，42}
8.{貓，狗，香蕉，金魚}

上面的8個(gè)集合，和{1，2，3}這個(gè)集合也都可以類似，只不過，有的類似隱藏得更深一些。

如上的類比，其實(shí)僅觸及了類比的皮毛。還有更多更深更廣更隱藏的類比。在詩詞、對聯(lián)、謎語、腦筋急轉(zhuǎn)彎、笑話段子、政治攻擊、···，中間，類比都無處不在。要證明數(shù)學(xué)定理，探索物理規(guī)律，設(shè)計(jì)生物實(shí)驗(yàn)，編寫計(jì)算機(jī)程序，肯定時(shí)時(shí)刻刻在使用類比。

讀者肯定都很容易體會(huì)這些類似，把自己體會(huì)到了的類似寫下來也不困難。但是，是否有一種數(shù)學(xué)表達(dá)方式來表達(dá)我們體會(huì)到的這些類似？這就是問題！這就是我們希望尋找的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以用來表達(dá)思想中類比的代數(shù)結(jié)構(gòu)?！禛EB》的作者侯世達(dá)和人合著了一本書:《表象與本質(zhì)：論類比作為思維的燃料與火焰》，書中就把類比當(dāng)作了思維的最本質(zhì)的活動(dòng)。如果能找到了描述類比的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們就能以更精準(zhǔn)的方式描述思維，乃至計(jì)算思維。如果能夠如此，完全可以相信，將極大促進(jìn)人工智能的研究。

就我們所了解的，目前還沒有這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)。因此，我們這里把問題列出來：尋找一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，使之可以運(yùn)用于描述類比，可以把類比寫成數(shù)學(xué)表達(dá)，也使得我們可以計(jì)算類比。

如果對此問題有興趣，歡迎參與討論，歡迎聯(lián)系我們。

問題當(dāng)然不容易。萬事起頭難，我們走了非常小的一步。有興趣的網(wǎng)友，歡迎查閱我們的文章：《對五行范疇的一些初步討論》，DOI: 10.13140/RG.2.2.16892.69762