從本文開始，之后的三四篇我們都將沐浴在數(shù)學(xué)的海洋里，拼命地?fù)潋v，這個系列我會盡力以通俗易懂的方式來講述這些數(shù)學(xué)知識。

1 函數(shù)

1.1 一次函數(shù)

在數(shù)學(xué)函數(shù)中最基本、最重要的就是一次函數(shù)。也就是函數(shù)之基礎(chǔ)、根本。它在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的世界里也同樣重要。

1.1.1 一元一次函數(shù)

這個函數(shù)可以用下面的式表示。被稱為斜率(用來控制直線的方向)，被稱為截距（用來控制直線和原點(diǎn)的偏移）

當(dāng)x、y兩個變量滿足上述公式時，就稱為變量y和變量x是一次函數(shù)關(guān)系。

有兩個變量x和y，如果對每個x都有唯一確定的y與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，用  表示。此時，稱為自變量，為因變量。

一次函數(shù)的圖像是直線，如下圖的直線所示。

示例：一次函數(shù)的圖像如下圖所示，截距為 1，斜率為 2。

1.1.2 多元一次函數(shù)

上面我們說的中有一個變量x，我們稱為一元，如果有多個變量，我們就稱為是多元的，比如下面的式子。（有幾個變量就是幾元的，也可以理解為維度）

當(dāng)多個變量滿足上述公式時，也稱為變量y與變量是一次函數(shù)關(guān)系。

就像我們之前說的神經(jīng)元的加權(quán)輸入Z 就可以表示為一次函數(shù)關(guān)系。

如果把作為參數(shù)的權(quán)重與偏置b 看作常數(shù)，那么加權(quán)輸入z h和就是一次函數(shù)關(guān)系。

1.2 二次函數(shù)

1.2.1 一元二次函數(shù)

剛剛我們接觸了一次函數(shù)，下面說說二次函數(shù)。二次函數(shù)很重要，像我們經(jīng)常使用的代價函數(shù)平方誤差就是二次函數(shù)。二次函數(shù)由下面的式表示。

二次函數(shù)的圖像是拋物線，如下圖所示。我們會發(fā)現(xiàn)拋物線的凹凸（開口朝向）是通過上方式子中a的正負(fù)來決定的。

• 當(dāng)0時，拋物線向上開口，向下凸起

• 當(dāng)時，拋物線向下開口，向上凸起。

所以當(dāng)時該函數(shù)的存在最小值。（該性質(zhì)是后面講的最小二乘法的基礎(chǔ)）

示例：二次函數(shù)的圖像如右圖所示。從圖像中可以看到，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值。

1.2.2 多元二次函數(shù)

在我們實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中需要處理更多變量的二次函數(shù)，這些二次函數(shù)統(tǒng)稱多元二次函數(shù)，學(xué)會了一元二次函數(shù)，那么多元二次函數(shù)就不會太難了，下面我們以一個二元二次函數(shù)進(jìn)行舉例。

就像我們使用的代價函數(shù)平方誤差c就是多元二次函數(shù):

1.3 單位階躍函數(shù)

之前，我們已經(jīng)接觸過它了，還記得嗎，作為生物界神經(jīng)元的激活函數(shù)。下面我們再說一遍吧。

單位階躍函數(shù)，在原點(diǎn)處不連續(xù)，也就是在原點(diǎn)處不可導(dǎo)，由于這兩個性質(zhì)，所以單位階躍函數(shù)不能成為主要的激活函數(shù)。

單位階躍函數(shù)的圖像如下：

1.4 指數(shù)函數(shù)

什么是指數(shù)函數(shù)呢？我們之前講了一次函數(shù)和二次函數(shù)，其實(shí)只要把變量放到冪的位置，其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)了，具有以下形狀的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，常數(shù)a被稱為函數(shù)的底數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的圖像是類似于撇的一種樣式，如下所示

上面說到底數(shù)，就不得不說自然常數(shù),又叫納皮爾數(shù)或歐拉數(shù)，它和派π類似，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，它的值如下

1.4.1 sigmoid函數(shù)

上面說到自然常數(shù)e，那么就不得不提到大名鼎鼎的自然指數(shù)函數(shù),它在數(shù)學(xué)界有自己的標(biāo)識exp或exp(x)

而我們這里所要講的是包含自然指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)sigmoid函數(shù)，它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中很具有代表性的激活函數(shù)。它的公式如下

通過下方的圖像,我們可以看到，這個函數(shù)是光滑的，這就代表著這個函數(shù)處處可導(dǎo)，函數(shù)的取值在(0,1)區(qū)間內(nèi)，那么這個函數(shù)值就可以用概率來解釋

1.5 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

在計(jì)算機(jī)實(shí)際確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，我們需要首先給權(quán)重和偏置設(shè)定初始值，這樣神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才能進(jìn)行計(jì)算。而這個初始值怎么取呢，這個時候我們就會用到一個非常有用的工具，叫做正態(tài)分布

這里就不長篇大論的解釋啥是正態(tài)分布了，它也沒什么高大上的地方，就是概率分布中的一種分布方式，但是這個分布方式是及其復(fù)合人類和自然界的，有興趣的朋友可以去深入了解下。在這里只說一下，我們在給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分配權(quán)重和偏置時分配一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，會比較容易取得好的結(jié)果。

正態(tài)分布是服從下面的概率密度函數(shù)的概率分布。公式如下

2 數(shù)列

2.1 數(shù)列的含義

2.2 數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列中排在第項(xiàng)的數(shù)通常用表示，這里是數(shù)列的名字，可隨意取。當(dāng)想要表達(dá)整個數(shù)列時，使用集合的符號來表示，如

2.3 數(shù)列與遞推關(guān)系式

一般，如果已知首項(xiàng)以及相鄰的兩項(xiàng)

2.4 聯(lián)立遞推關(guān)系式