如果要投票評(píng)選最優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式，歐拉公式一定榜上有名，甚至很可能是位居榜首。它是長(zhǎng)這個(gè)樣子滴：

在今日頭條里隨便搜索“歐拉公式”，出來(lái)的都是下面這個(gè)畫(huà)風(fēng)

人們對(duì)這個(gè)公式推崇備至的原因就是所謂的“五元會(huì)聚”，即，它把數(shù)學(xué)里面最常用的5個(gè)常數(shù)：自然底數(shù)e，虛數(shù)單位i，圓周率π，以及兩個(gè)最基礎(chǔ)的數(shù)量單位0和1（有人從哲學(xué)的角度認(rèn)為這代表了“無(wú)”和“有”），以巧妙的方式連接在一個(gè)公式中。因此很多人從哲學(xué)乃至神學(xué)的角度對(duì)它進(jìn)行詮釋?zhuān)J(rèn)為它蘊(yùn)含了宇宙最終極的真理和奧秘，甚至是上帝創(chuàng)造出來(lái)的，因而對(duì)它頂禮膜拜。

不得不說(shuō)，筆者當(dāng)年上中學(xué)的時(shí)候第一次見(jiàn)到這個(gè)公式，也是五體投地，激動(dòng)地要向黑板下跪。但隨著大學(xué)后學(xué)了越來(lái)越多的數(shù)學(xué)知識(shí)，漸漸了解了這個(gè)公式的來(lái)龍去脈，也就沒(méi)有當(dāng)初那激動(dòng)了。其實(shí)，對(duì)這個(gè)公式最淡定的恰恰就是數(shù)學(xué)家們自己，因?yàn)樗麄冃睦锴宄@個(gè)公式是被人工構(gòu)造出來(lái)的，因此一點(diǎn)兒也不神秘。

今天這篇文章，就是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)窺探一下這個(gè)公式的來(lái)龍去脈，揭開(kāi)它的神秘面紗，來(lái)看一看為什么說(shuō)它一點(diǎn)兒也不神秘。

1.傳統(tǒng)證明

其實(shí)，上面那個(gè)等式只是歐拉公式的一個(gè)特例，真正的歐拉公式是下面這個(gè)式子：

其中x是一個(gè)實(shí)數(shù)。當(dāng)x=π時(shí)，帶進(jìn)式子里就得到：

于是就得到了大名鼎鼎的

因此我們需要先證明最上面的那個(gè)歐拉公式。先來(lái)說(shuō)一下大多數(shù)科普文章里出現(xiàn)的證明方法，使用的是泰勒公式。首先寫(xiě)出e?的泰勒展開(kāi)式，或更確切地說(shuō)，麥克勞林展開(kāi)式：

為了做對(duì)比，我們?cè)賹?xiě)出sinx和cosx的麥克勞林展開(kāi)式：

我們把e?里面的x替換成ix，再利用i2=-1，i3=-i，i?=1，便有

再把含有i的式子都提出來(lái)，并與sinx和cosx的麥克勞林展開(kāi)式做對(duì)比，就變成

這樣就得到了歐拉公式

上面這個(gè)證明可以說(shuō)是非常地簡(jiǎn)潔與漂亮。但是很遺憾，從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的角度來(lái)看，這個(gè)證明并不是很完善，因?yàn)樵跉W拉那個(gè)年代，還沒(méi)有關(guān)于極限的精確定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論還很不成熟。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家也不會(huì)考慮收斂域這個(gè)問(wèn)題。e?的泰勒公式里面x是實(shí)數(shù)，能不能隨隨便便地就換成復(fù)數(shù)，換成復(fù)數(shù)以后是否還是收斂的，以及e的復(fù)數(shù)次方又是什么含義，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)都沒(méi)有搞清楚。所以歐拉只是天才般的憑借自己的靈感寫(xiě)下了這個(gè)式子，但是它的嚴(yán)格證明則是等后來(lái)關(guān)于復(fù)數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論發(fā)展完善之后才有的。

接下來(lái)我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看一下這個(gè)公式的由來(lái)。

2.復(fù)變函數(shù)

要做的第一件事情就是把函數(shù)從實(shí)數(shù)推廣到復(fù)數(shù)，即考慮定義域與值域都是復(fù)數(shù)的函數(shù)，這樣的函數(shù)我們稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)。簡(jiǎn)單的來(lái)寫(xiě)，就是

這里x，y都是自變量，u，v都是因變量，因此我們寫(xiě)成更清楚的形式：

這里u(x,y)和v(x,y)都是關(guān)于x和y的二元實(shí)值函數(shù)，因此在復(fù)變函數(shù)里面我們普遍的做法就是將其看成兩個(gè)實(shí)變函數(shù)。從而可以定義復(fù)變函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)與積分。

當(dāng)然，理論上u(x,y)和v(x,y)可是任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)，它們之間彼此可以沒(méi)有任何關(guān)系。是這樣的話(huà)研究起來(lái)沒(méi)有太大的意義，我們希望它還是有某種關(guān)系的。最主要的是我們希望讓函數(shù)是可微的，這樣研究起來(lái)才有意義，于是我們就有以下一個(gè)非常重要的結(jié)論。

3.柯西-黎曼條件

我們知道，一個(gè)實(shí)值函數(shù)在某一點(diǎn)可微，是需要滿(mǎn)足一定條件的。同樣道理，一個(gè)復(fù)變函數(shù)要想在某一點(diǎn)可微，也需要滿(mǎn)足的一些條件，而且更加嚴(yán)格。它不僅要求在這一點(diǎn)u(x,y)和v(x,y)都是可微的，還需要滿(mǎn)足一個(gè)附加條件，即在這一點(diǎn)需要滿(mǎn)足

這個(gè)條件是如此之重要，被稱(chēng)為柯西-黎曼條件。一個(gè)公式里面同時(shí)出現(xiàn)兩位數(shù)學(xué)大神的名字，也是不多見(jiàn)。

這個(gè)條件是個(gè)充要條件，意思是說(shuō)如果函數(shù)可微則一定滿(mǎn)足這個(gè)條件；反過(guò)來(lái)，如果滿(mǎn)足這個(gè)條件，則函數(shù)一定可微。證明起來(lái)也比較容易，只需要利用可微性的定義：自變量的差值減去因變量差值的常數(shù)倍是一個(gè)因變量差值的高階無(wú)窮小。同學(xué)們可以很輕松地利用這個(gè)定義，把柯西-黎曼條件自己推導(dǎo)出來(lái)。

這里想順便多說(shuō)一句，一方面柯西-黎曼條件的出現(xiàn)使我們可以研究的函數(shù)的范圍大大縮小了，因?yàn)橹挥泻苌僖徊糠趾瘮?shù)滿(mǎn)足柯西-黎曼條件。另一方面，福兮禍之所倚，禍兮福之所伏。正因?yàn)橛辛?strong>柯西-黎曼條件，我們才可以以之為基礎(chǔ)推導(dǎo)出更多的性質(zhì)來(lái)。從這個(gè)角度講，柯西-黎曼條件是大大的有用。

3.復(fù)指數(shù)冪函數(shù)

有了上述準(zhǔn)備知識(shí)，我們就可以來(lái)研究復(fù)指數(shù)冪函數(shù)了，即指數(shù)為復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)。更通俗的講，e?里當(dāng)x是復(fù)數(shù)的時(shí)候，應(yīng)該怎么計(jì)算。

我們先回顧一下實(shí)值函數(shù)值的情景，對(duì)于普通的實(shí)值函數(shù)f(x)=e?，它滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件

數(shù)學(xué)上有這樣一個(gè)規(guī)律，當(dāng)你把一個(gè)簡(jiǎn)單的概念往更高的范圍推廣時(shí)，一定要保持在原有范圍內(nèi)的性質(zhì)不能發(fā)生變化。于是我希望來(lái)定義一種e的復(fù)數(shù)次冪的計(jì)算方法，使得定義出來(lái)的這個(gè)方法仍然滿(mǎn)足下面兩條性質(zhì)：

其中z，z?，z?都是復(fù)數(shù)。

首先假設(shè)

這里利用的是第二條性質(zhì)，其中A(y)和B(y)就是我們一樣尋找的函數(shù)，用我們前面的符號(hào)表示就是：

接下來(lái)我們需要讓它滿(mǎn)足第一條，即在任意一點(diǎn)可微，于是需要滿(mǎn)足柯西-黎曼條件，我們分別來(lái)求一下四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

在求偏導(dǎo)的過(guò)程中千萬(wàn)要注意，我們是使用了(e?)'=e?這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是極端重要的，我們下面還會(huì)談到。

比較一下柯西-黎曼條件，就有

也就是說(shuō)，我們需要自己找兩個(gè)函數(shù)A(y)和B(y)，使他們滿(mǎn)足上面兩個(gè)式子，小伙伴們不妨先自己想一想，什么樣的函數(shù)可以呢。

相信聰明的小伙伴們一定很快就能想出來(lái)了，在我們學(xué)過(guò)的函數(shù)里面確實(shí)有兩個(gè)可以滿(mǎn)足它：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx。因此我們就可以直接讓

當(dāng)然肯定有小伙伴要問(wèn)，有沒(méi)有其它的函數(shù)也滿(mǎn)足這兩個(gè)條件。答案是在可微的條件下，沒(méi)有其它函數(shù)了。這就是所謂的解析函數(shù)唯一性定理，它告訴我們，在保持函數(shù)解析的情況下，只有這一種可能的結(jié)果，因此我們只能這樣定義。于是我們就來(lái)定義復(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則

這樣一來(lái)就是我們熟悉的歐拉公式了。因此與其說(shuō)它是一個(gè)公式，倒不如是說(shuō)它是一個(gè)定義。不是說(shuō)為什么左邊等于右邊，而是說(shuō)左邊這個(gè)東西我們一開(kāi)始不會(huì)算，然后我們就直接讓它等于右面這個(gè)東西。這樣一來(lái)，這個(gè)公式的神秘性就大大降低了。

4.關(guān)于e

當(dāng)然還有很多小伙伴們肯定會(huì)不服氣：好吧，我承認(rèn)這個(gè)是定義出來(lái)的，但是這樣定義是因?yàn)樗裱欢ǖ臈l件，而這個(gè)條件也有點(diǎn)太巧合了吧，這里面是不是包含著某種神秘性的東西呢。

其實(shí)也不是，我再來(lái)進(jìn)一步解構(gòu)一下。

本文提供了兩種證明方法，第1種證明方法是利用的泰勒展開(kāi)式，而我們?cè)趯W(xué)習(xí)高數(shù)的時(shí)候肯定自己親手計(jì)算過(guò)e?的泰勒展式，他之所以長(zhǎng)那個(gè)樣子，原因就是因?yàn)?strong>(e?)'=e?，而且它求任意次導(dǎo)都還保持不變。同樣的，對(duì)于第2種柯西-黎曼條件的方法，我在文中也特地強(qiáng)調(diào)過(guò)，在求偏導(dǎo)的過(guò)程中，它所依賴(lài)的條件也是(e?)'=e?，所以說(shuō)(e?)'=e?這個(gè)式子才是整個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。

那我們就來(lái)看一下(e?)'=e?又是怎么來(lái)的，它里面是否又包含著某些神秘性的東西呢？答案也是否定的，它一點(diǎn)兒也不神秘。

我們希望尋找一個(gè)函數(shù)，使得求完導(dǎo)保持不變。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)都不符合，唯一有可能滿(mǎn)足的只有指數(shù)函數(shù)，所以我們來(lái)考慮f(x)=a?，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有

所以只需要讓后面那個(gè)帶h的分式極限值是1就可以了，那么我把a(bǔ)選成幾呢？我們通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)試一試，當(dāng)a分別取成2，2.5和3的時(shí)候，來(lái)看一下這個(gè)函數(shù)

從下到上分別是a=2，2.5和3的圖像，可以看出來(lái)它依次增高。而2.5在零處的極限值是小于1的，3在零處的極限值是大于1的，因此在2.5和3之間就存在某個(gè)數(shù)，使得a等于這個(gè)數(shù)的時(shí)候，極限的恰好為1。那這個(gè)數(shù)是幾呢？對(duì)不起，不知道。我們只好拿一個(gè)字母來(lái)代表它，那索性就用e好了(傳說(shuō)中的歐拉是想以自己姓名Euler的首字母來(lái)表示它)。所以我們會(huì)有(e?)'=e?。至于后來(lái)我們知道e=2.71828...，那是后面的故事了。

當(dāng)然還有另外一個(gè)來(lái)源，就是在計(jì)算復(fù)利公式中

不過(guò)這個(gè)式子與本文并無(wú)直接關(guān)系，因此就不再多著筆墨了。

因此在e?求導(dǎo)式子中，人工定義的痕跡更為明顯。不是說(shuō)為什它求完導(dǎo)之后還保持不變，而是說(shuō)有一個(gè)東西求完導(dǎo)保持不變的東西，那我們把它稱(chēng)為e。這個(gè)道理，就好比說(shuō)紅玫瑰是紅色的，難道這么巧嘛，當(dāng)然不是，而是因?yàn)槲覀儼鸭t色的玫瑰叫成紅玫瑰。這樣一來(lái)，就更沒(méi)有什么神秘性可言了。

5.結(jié)語(yǔ)

從上面的分析過(guò)程可以看出，雖然是有諸多線(xiàn)索，但歐拉公式仍然是被人工定義出來(lái)的。這樣一來(lái)，也就沒(méi)有絲毫神秘性可言了。換句話(huà)說(shuō)，這個(gè)公式你可以說(shuō)它美妙，說(shuō)它精巧，但是它并不神秘。其實(shí)，這種事情在其他地方我們也經(jīng)常干。比如我們知道在一個(gè)大氣壓下，正好是100攝氏度的時(shí)候水沸騰，那么巧的嗎？當(dāng)然不是。而是水從液體到氣體中間總有這樣一個(gè)臨界溫度，我們就把這個(gè)溫度定義為100度。從固體到液體也有這樣一個(gè)臨界溫度，我們定義為零度，這之間分成100份，一份就是一度。表面上看起來(lái)和諧且美妙，但實(shí)際背后是人工操作的結(jié)果。