凱旋門秘籍第三篇《韋達(dá)奧義》

昵稱47813312 2020-03-13

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習(xí)慣看視頻的小伙伴們使勁戳下面：

導(dǎo)入

在我們的初中課本中，都學(xué)習(xí)過韋達(dá)定理，指的是一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，其中包含兩根之和、兩根之積。除此之外，我們還需要了解：試卷中?？嫉牡箶?shù)和、平方和、以及分?jǐn)?shù)和的轉(zhuǎn)化形式：

而這些都不是我們今天要研究的重點

在韋達(dá)定理的所有變型當(dāng)中，有一個極具美感的代數(shù)式：兩根之差的絕對值，會等于絕對值a分之根號Δ。我們暫且命名她為韋達(dá)終極定理，接下來我們一起進(jìn)行推導(dǎo)：

鑒定血緣

我們現(xiàn)在要使用她去解決二次函數(shù)的截距問題，可能有小伙伴有疑問了，一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系怎么和二次函數(shù)產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)呢？這是因為方程與函數(shù)之間擁有密不可分的血緣關(guān)系，如下：

鑒定完了方程與函數(shù)的血緣關(guān)系之后，接下來我們正式開始解題啦。

實戰(zhàn)演練

首先開胃小菜，來一道凱凱原創(chuàng)題：

這一題，在出給很多同學(xué)們做的時候，大家的解法有利用求根公式計算兩個實數(shù)根的，也有利用韋達(dá)定理基本公式列方程組計算的：

但是以上都比較麻煩，不符合我們今天”秒解“的主題。

何為秒解？不是指一眼看出答案，而是不管題目簡單還是復(fù)雜，我們都只利用一個公式進(jìn)行計算。

解答步驟如下：

鞏固訓(xùn)練

接下來，讓我們再通過一道練習(xí)題，熟悉這個公式。

首先還是給大家羅列一個常規(guī)解法：

這個解法用了兩步計算，而且每一步的計算量都偏大

再對比一下我們的秒解法呢？

我們完全可以，直接根據(jù)截距為4，列出等式：絕對值a分之根號??等于4，只通過一步計算，直接得到答案，大家覺得這個解法，他香不香？

真題演練

接下來，讓我們一起使用韋達(dá)終極定理去調(diào)戲一道江西中考壓軸題。

前面兩小問是特例，旨在引導(dǎo)我們推導(dǎo)出yn的解析式：

我們直接講第三問：

首先，先將頂點式化成一般式

第一問，求截距，直接套公式；

第二問，先聯(lián)立，我們知道：當(dāng)一條直線上相鄰兩點間距離相等的時候，這兩個點橫坐標(biāo)的差值也會相等（可以利用三角函數(shù)或全等來理解）,所以將兩點距離問題轉(zhuǎn)化成了截距問題，使用公式，然后使用定點定值思想來判定（不能理解定點定值思想的可以參照這篇文章凱凱獨創(chuàng)-'孤苦零丁”法秒懂中考過定點壓軸題型），具體步驟如下：

如果我們再來對比一下參考答案的步驟，就能感受的到復(fù)雜程度的差距了：

課外數(shù)學(xué)史

代數(shù)學(xué)之父：弗朗索瓦·韋達(dá)，1540年出生于法國的普瓦圖，本人極具傳奇色彩。

他學(xué)習(xí)過法律，當(dāng)過律師，做過國會議員，還在對西班牙的戰(zhàn)爭中幫自己的政府破譯過敵軍密碼，韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，他第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)，提出了二次、三次和四次方程的解法。