高考數(shù)學(xué)糾錯筆記-計數(shù)原理

學(xué)渣灬 2020-03-12

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專題12 計數(shù)原理

易錯點1 分類計數(shù)時考慮不全

1．能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點:

(1)完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類;

(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;

(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

2．使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則：

有時分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個，但不論是以哪一個為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則．

3．應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要注意的問題：

（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事．

（2）完成這件事的n類方法是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以單獨完成這件事，而不需要再用到其他的方法．

（3）確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時必須既不重復(fù)也不遺漏．

易錯點2 未選準(zhǔn)分步依據(jù)

1．能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點:

（1）完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;

（2）完成每一步有若干方法;

（3）把各個步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

2．應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理要注意的問題：

（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨用題目中所給的某一步驟的某種方法是不能完成這件事的，也就是說必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事．

（2）完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步驟，這件事都不可能完成．

（3）根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏．

易錯點3 忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件

易錯點4 重復(fù)計數(shù)與遺漏計數(shù)

1．沒有限制條件的排列問題,即對所排列的“元素”或所排列的“位置”沒有特別的限制,這一類題相對簡單,分清“元素”和“位置”即可.

無約束條件的組合問題,只需按照組合的定義,直接列出組合數(shù)即可,注意分清元素的總個數(shù)及取出元素的個數(shù).有時還需分清完成一件事是需要分類還是分步.

2．“在”與“不在”的有限制條件的問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

3．解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，最后利用分步乘法計數(shù)原理求解.

解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素互不相鄰（k<=n-k+1），求不同排法種數(shù)的方法是：先將n-k個元素排成一排,然后把k個元素插入n-k+1個空隙中，最后利用分步乘法計數(shù)原理求解.

易錯點5 要正確區(qū)分分堆與分配問題

易錯點6 混淆項的系數(shù)與項的二項式系數(shù)