在“圖形與幾何”教學(xué)中實施“動態(tài)想象”有效性策略的思考。

——節(jié)選自《從良好數(shù)感到數(shù)學(xué)探究》錢金鐸著

一、談話引入

大家看這是一張長方形紙，長30厘米，寬16厘米，根據(jù)這些信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生：它的周長和面積各是多少？

板書：周長=92厘米面積=480平方厘米

師：能不能把這張紙簡單處理一下，做成一個長方體？

生：在四個角剪去相同的小正方形，再折成紙盒。

師：大家想一想，你能想象出他說的紙盒嗎？課件動態(tài)演示紙張折成紙盒的過程。

從數(shù)學(xué)的眼光看一張紙，基于平面的角度可以研究周長和面積，從立體角度看可以折成一個無蓋的紙盒，在從平面到立體的轉(zhuǎn)化中，讓學(xué)生展開動態(tài)想象，把二維的面與三維的體有效聯(lián)接，學(xué)生的空間觀念、想象能力得到培養(yǎng)，思維也進(jìn)一步擴(kuò)展。

二、探究紙盒的最大容積

師：老師已經(jīng)給每個組發(fā)了這樣一張長方形紙，請大家既動腦又動手，4人小組合作完成（出示合作任務(wù)）

1.  用這張紙做成一個容積最大的紙盒（紙張的厚度和接縫忽略不計）

2.  做成后準(zhǔn)備小組匯報（說說是怎么想的、怎么做的？）

組織匯報：

生1：我們剪去邊長為1厘米的正方形，做成的紙盒的容積是28×14×1=392立方厘米。我們想盡量讓紙盒的底面大一些。

生2：我們剪去邊長為2厘米的正方形，做成的紙盒的容積是26×12×2=624立方厘米。比第一組的容積大，因為求容積時還要乘以高，第一組高太小了。

生3：我們?nèi)莘e更大，剪去邊長為3厘米，做成的紙盒的容積是24×10×3=720立方厘米。

師：還有沒有比他們?nèi)莘e更大的？

生：沒有了。

師：第3組是一下子就得到剪去邊長是3厘米是最大的嗎？

生3：我們把所有情況都算過了，才發(fā)現(xiàn)剪去邊長是3厘米后折成紙盒的容積是最大的。

師：把你們的計算給大家匯報一下。

 出示：

師：怎么不再往下剪了？

生：當(dāng)剪去邊長是8厘米的時候，寬剪光了，做不成紙盒。

師：看來，剛才的問題解決揭示一個策略：尋找最大值不能只計算一種情況，得把可能的多種情況都比較后才能得到。

板書：把可能的多種情況進(jìn)行比較

師：剛才大家在研究的時候都是剪去邊長為整理米數(shù)的小正方形，為什么這樣剪？

生：因為邊長是整厘米數(shù)的比較好算。

師：對，我們在研究問題時先從簡單的情形入手也是研究問題常用的方法。

板書：從簡單情形入手進(jìn)行研究

師：這些不同規(guī)格紙盒的容積你們都是怎么計算的？

板書：v=（30-2a）×（16-2a）×a

師：看著我們從剪去邊長整厘米數(shù)入手做成的不同形狀的紙盒和它們的容積大小數(shù)據(jù)，你有什么想說嗎？

生：隨著剪去的正方形邊長不斷增加，紙盒的容積由小變大再變小。

師：請大家用做個手勢來表示這些數(shù)據(jù)的變化。

師：想不想看看做成的這7個紙盒是什么樣的？

師：第一個紙盒底面積最大，但是高只有1，第二個底面積變小，高變大，第三個底面積又小，高要大了，這樣底面積愈來愈小，但高越來越大，但是體積是第三個紙盒是最大的。

師：數(shù)學(xué)上有一種辦法能讓我們把這些數(shù)據(jù)的變化看得更清楚，是什么呀？

生：統(tǒng)計圖

師：對，老師把剪去小正方形邊長1-7厘米畫成橫軸，做成紙盒的容積畫成縱軸，我們把剛才研究過的7組畫上去，再把這些點連起來，你有什么想說的？

師：第一個紙盒底面積最大，但是高只有1，第二個底面積變小，高變大，第三個底面積又小，高要大了，這樣底面積愈來愈小，但高越來越大，但是體積是第三個紙盒是最大的。

師：數(shù)學(xué)上有一種辦法能讓我們把這些數(shù)據(jù)的變化看得更清楚，是什么呀？

生：統(tǒng)計圖

師：對，老師把剪去小正方形邊長1-7厘米畫成橫軸，做成紙盒的容積畫成縱軸，我們把剛才研究過的7組畫上去，再把這些點連起來，你有什么想說的？

生：剪去小正方形的邊長與做成紙盒容積關(guān)系的曲線圖像過山車，非常直觀形象

師：對，數(shù)學(xué)上常用這種關(guān)系圖來研究量與量之間的變化規(guī)律，非常有用。

師：目前我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長為3厘米時做成的紙盒的容積是最大的。請你想一想，有沒有可能用這張紙做出一個容積更大的紙盒？

生：會有，我覺得應(yīng)該可以剪去小數(shù)

師：你們覺得可以剪去幾呢？

生1：我覺得剪去3左右，我試了剪去2.9，發(fā)現(xiàn)比剪去3容積小，那應(yīng)該再試試3.1到3.9之間，因為我發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長為3厘米時，做成的紙盒的容積是最大的，到剪去4厘米時紙盒容積就開始小了。

生2：我覺得整幅圖中數(shù)據(jù)的變化就像過山車一樣很好玩，可能是剪去邊長3.5厘米的時候紙盒的容積會最大。

師：好像有道理，我們來試試看。(課件中的幾何畫板展示，剪去邊長從3.1試到3.4，發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長3.3時做成的容積最大，3.4開始下降。)

 師：剪去3.3最大了？還有其它想法嗎？

生：我們應(yīng)該再試試剪去的邊長是兩位小數(shù)的時候，可能做出的紙盒容積會更大

師：想試剪去的兩位小數(shù)哪個范圍的？

生：比3.3大比3.4小。比如剪去3.31，3.32……

師：我們也來試幾個(課件中的幾何畫板展示，從剪去邊長從3.31試到3.34，發(fā)現(xiàn)當(dāng)剪去邊長3.33時做成的容積最大，3.34開始下降。)

師：我們已經(jīng)把剪去小正方形邊長從最初的精確到整厘米數(shù)的研究、精確到了一位小數(shù)、再精確到兩位小數(shù)的研究，目前得到了剪去3.33的時候做成的盒子容積最大，你還有什么猜想？

生1：那精確度還可以再提高呀，可能是3.3333一直3下去的時候容積最大。

生2：是3.3，3循環(huán)的時候紙盒的容積是最大的。

師：同學(xué)們真有想法，確實就在這幅圖中有一個最高點，也就是紙盒的最大容積，以這個最高點為分界，同學(xué)們想一下，最高點左右兩邊剪去的邊長與做成的容積分別是怎么變化的？

生：最高點左邊剪去邊長增大容積也增大，最高點右邊減去邊長增大容積反而減少。

師：這樣的問題我們會在以后初中、高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)（課件演示單調(diào)上升和單調(diào)下降區(qū)間的動態(tài)）

       這一環(huán)節(jié)緊緊圍繞“怎樣做一個容積最大的紙盒”這一核心問題，這對學(xué)生來說是一個具有挑戰(zhàn)性的問題，因此教師把問題的嘗試與解決放在4人小組的交流討論中進(jìn)行，隨著小組合作的深入，學(xué)生不僅在組內(nèi)、也在組與組之間不斷討論、交流、碰撞、計算、比較、修正中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪去邊長是3厘米的時候做成的紙盒的容積是最大的，而后問題層層推進(jìn)，學(xué)生思考有沒有可能做一個容積更大的紙盒，學(xué)生在猜測后，通過幾何畫板輔助教學(xué)，發(fā)現(xiàn)剪去邊長3.3厘米時做成的紙盒更大，而剪去3.33時做成的紙盒還要大，而后學(xué)生大膽猜測剪去3.33333……時做成的紙盒最大，學(xué)生的猜測水到渠成。整個學(xué)習(xí)過程，學(xué)生累積了活動經(jīng)驗，經(jīng)歷了做數(shù)學(xué)的過程，體驗了探究樂趣，培養(yǎng)了歸納推理、數(shù)據(jù)分析、精度提高、區(qū)間逼近、函數(shù)分段變化等豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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你若盛開 蝴蝶自來