多變量高斯分布(multivariate Gaussian distribution)的形式如下：

其中， 是D維 mean vector， 是 協(xié)方差矩陣， 里面的第 i 行第 j 列元素表示第 i 個變量第 j 個變量的協(xié)方差 ， 代表協(xié)方差矩陣的行列式。

設 是一個函數(shù)，它的輸入是向量 ，輸出是向量 :

那么 雅可比矩陣 是一個m×n矩陣：

由于矩陣描述了向量空間中的運動——變換，而雅可比矩陣看作是將點 轉化到點 ，或者說是從一個n維的歐式空間轉換到m維的歐氏空間。

如果m = n， 可以定義雅可比矩陣 的行列式，也就是 雅可比行列式（Jacobian determinant） 。

設

雅可比行列式是：

如圖所示：dA代表dx和dy張成的平行四邊形的面積，如果du和dv充分接近于0，那么dA：

二重積分換元：

n維度情況以此類推。

首先考慮 單變量標準正態(tài)分布 ，概率密度函數(shù)為：

然后考慮 n 維獨立標準高斯分布，就是 n 個 獨立的 一維標準正態(tài)分布隨機變量的聯(lián)合分布：

為了表達方便，用向量的形式來表示，設 ，式（3）寫作：

一般的，設 由 的線性變換得到：

其中A是 的 非奇異矩陣 ， 是n維向量

可把 用 表示：

注意到， 式（6）線性變換的雅可比行列式 是 ，因此：

設 ，則 ，由聯(lián)合概率分布密度的定義，有：

因此，向量 的聯(lián)合概率概率密度函數(shù)是：

也就得到式（1）

可以看出：多變量高斯分布是單變量高斯分布向多維的推廣。