知名數(shù)學科普作家、英國華威大學的榮譽數(shù)學教授伊安·斯圖爾特（Ian Stewart）在《改變世界的17個方程》（17 Equations That Changed The World）中列舉了人類科技史上17個最為重要的方程?？梢哉f每一個方程都引領(lǐng)人類進入了科技和經(jīng)濟發(fā)展的新階段。

從公元前530年到近代，這些方程敘述了人類理性從古至今的里程碑式進步。而一個人所受的科學教育越多，TA 往往會學習發(fā)明/發(fā)現(xiàn)時間離我們更近的方程。

那么，按照你對下面這些方程的了解程度，你的知識水平目前處于公元多少年呢？

勾股定理

發(fā)明人/發(fā)現(xiàn)人：畢達哥拉斯/商高

發(fā)明/發(fā)現(xiàn)年代：公元前530年

勾股定理指的是，直角三角形的斜邊的平方等于它的兩條直角邊的平方和。你會在初中接觸到它。

勾股定理常被認為是畢達哥拉斯先發(fā)現(xiàn)的，但是現(xiàn)在關(guān)于誰是勾股定理的首個發(fā)現(xiàn)者還沒有定論。也許古巴比倫人比畢達哥拉斯早1000年就領(lǐng)悟了勾股定理。

勾股定理是幾何學的核心，它也是代數(shù)，還有三角學的基礎(chǔ)。該公式對于測繪、制圖、導航來說不可或缺。全球定位系統(tǒng)（GPS）就離不開勾股定理。

對數(shù)方程

約翰·納皮爾（John Napier）

1610年

利用對數(shù)方程可以把乘法變?yōu)榧臃?。你大概會在高一接觸它。

對數(shù)方程最初是由蘇格蘭的一個地主約翰·納皮爾（John Napier）在對大數(shù)進行乘法運算時發(fā)現(xiàn)的。納皮爾你家是有多少地？

約翰·納皮爾

對數(shù)是革命性的，它讓繁瑣的計算變得更方便快捷。在計算機出現(xiàn)前，工程師和天文學家靠這個方程讓計算更快更準確。當然，計算機的出現(xiàn)讓該對數(shù)方程遜色了不少，但是對于科學家來說對數(shù)方程仍然很重要。

對數(shù)方程還有相關(guān)的指數(shù)方程被用來進行數(shù)學建模，比如生物的生長，還有放射性衰變。

微積分

牛頓和萊布尼茲

1668年

微積分是計算瞬時變化量的數(shù)學工具。比如，物體運動的速度就可以用微積分來解決。你大概要在高中學習微積分的初級知識。

17世紀末，微積分由艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）在同一時期發(fā)現(xiàn)。至于誰先發(fā)現(xiàn)，誰又剽竊了誰，很長時間里兩人爭論不休，所以現(xiàn)在我們干脆說微積分是他倆發(fā)明的。

萊布尼茨（左）和牛頓（右）

斯圖爾特認為，“微積分創(chuàng)造了現(xiàn)代世界”。微積分是測量線、面、體的關(guān)鍵。它也是許多自然法則的基礎(chǔ)，也是微分方程的來源。

任何一個需要得出最優(yōu)解的數(shù)學問題都涉及微積分。微積分是醫(yī)學、經(jīng)濟學、物理學、工程學和計算機科學的必備知識。

萬有引力定律

艾薩克·牛頓（Isaac Newton）

1687年

萬有引力描述的是兩個物體之間的引力和距離的關(guān)系。你大概要在高中學習這個知識。

艾薩克·牛頓利用翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）的天文學和數(shù)學研究得到了該定律。 但是，牛頓也有可能剽竊了同時代英國博物學家、發(fā)明家羅伯特·胡克（Robert Hooke）的研究。

在相對論出現(xiàn)之前，我們一直使用萬有引力來描述世界是如何運行的。時至今日在衛(wèi)星和探測器的軌道設(shè)計中我們依然需要應(yīng)用萬有引力。

在發(fā)射航天器時，我們用萬有引力來尋找最佳的路徑，節(jié)約航天器燃料。

波動方程

達朗貝爾(J- d’Almbert)

1746年

波動方程描述的是波的運動，比如小提琴琴弦的振動。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

波動方程可以解釋聲波的傳播、地震的原理，以及海浪的行為。

石油公司在尋找油藏（石油勘探）時，常會引爆炸彈，然后利用波動方程來分析地質(zhì)構(gòu)造，從而錨定油藏所在地。

虛數(shù)

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）

1750年

虛數(shù)的平方為負1。你大概要在高中學習這個知識。

斯圖爾特認為，“...如果沒有虛數(shù)，很多現(xiàn)代科技，如電燈和數(shù)碼相機都不可能發(fā)明?！碧摂?shù)繼續(xù)發(fā)展，就變成了數(shù)學的一支——復分析，工程師可以利用復分析來進行數(shù)據(jù)處理。

虛數(shù)廣泛應(yīng)用于電氣工程學、信號處理和數(shù)學理論。

多面體歐拉定理

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）

1751年

多面體歐拉定理描述了一個多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間的關(guān)系。比如，一個立方體有8個頂點，12條棱，6個面，所以 8 6-12=2。你大概會在高中學到。

多面體歐拉定理是一個重要數(shù)學分支——拓撲學的基礎(chǔ)。拓撲學研究的是平面連續(xù)形變后的幾何性質(zhì)。

在現(xiàn)代科學里，拓撲學可以用來研究 DNA 的功能，也可以用來研究社交媒體還有因特網(wǎng)。

正態(tài)分布

高斯(C. F. Gauss)

1810年

正態(tài)分布是一種鐘形曲線，用來描述一個數(shù)值被觀測到的概率。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

正態(tài)分布的鐘形曲線

正態(tài)分布是現(xiàn)代統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，科學，尤其是醫(yī)學、生物學和社會科學鐘愛正態(tài)分布，也離不開正態(tài)分布。幾乎對所有的科學實驗數(shù)據(jù)的分析都離不開正態(tài)分布。

比如，利用正態(tài)分布可以確定在臨床試驗中，某個藥物是否有效。

傅立葉變換

約瑟夫·傅里葉(J. Fourier)

1822年

傅立葉變換描述的是時間和頻率的關(guān)系。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

傅立葉變換可以將成分復雜的波（比如歌曲、人的語言的聲波）庖丁解牛，把它的成分一一分離出來。傅立葉變換對于信號分析來說至關(guān)重要。

傅立葉變換可以用來壓縮文件。比如，一個音頻文件可以被傅立葉變換分解成不同的聲波，這樣我們就可以去掉那些人類聽不到的高音（高頻波）和低音（低頻波），從而精簡文件。同理，可以利用傅立葉變換把圖像壓縮為 JPEG 格式。傅立葉變換也可以用來發(fā)現(xiàn)分子的結(jié)構(gòu)。

納維-斯托克斯方程

納維和斯托克斯(C. Navier, G. Stokes)

1845年

納維-斯托克斯方程是描述流體運動的基本方程。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

我們現(xiàn)在還不能完美地求解納維-斯托克斯方程。誰能求解這個方程，就可以拿走著名的千禧年大獎，以及附帶的一百萬美金獎勵。

好在現(xiàn)在的計算機的計算性能已經(jīng)很強大，可以給出納維-斯托克斯方程的近似解，所以物理學家和工程師才能研究復雜的流體問題，設(shè)計符合空氣動力學的車輛和飛機。

麥克斯韋方程組

詹姆斯·麥克斯韋(J.C. Maxwell)

1865年

麥克斯韋方程組描述的是電場和磁場之間的關(guān)系。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

英國物理學家邁克爾·法拉第對電磁之間的關(guān)系做了開創(chuàng)性的研究，但由于數(shù)學不好，他并沒有為這些現(xiàn)象做出數(shù)學上的解釋。后來，詹姆斯·麥克斯韋把他的實驗發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為方程，這就是麥克斯韋方程組的來源。

麥克斯韋方程組從根本上改變了物理學，它是電磁學的基礎(chǔ)，現(xiàn)代電學和相關(guān)技術(shù)都依賴這個方程。有了它，才有雷達、電視和現(xiàn)代通信。

熱力學第二定律

路德維希·玻爾茲曼(L. Boltzmann)

1874年

熱力學第二定律描述的是，能量和熱量隨時間的推移而消散。熱力學第二定律的基本概念你大概在初中會接觸到，但是它的進階知識你可能會在大學學習。

從左到右：熵增

熱力學第二定律能解釋能量和宇宙的變化。熵這個物理量也是基于熱力學第二定律產(chǎn)生的。有了熱力學第二定律，我們才能理解為什么熱茶總是會變冷。

在設(shè)計引擎和發(fā)電廠的時候，必須要考慮熱力學第二定律。在證明物質(zhì)是由原子構(gòu)成時，熱力學第二定律也起到了一定的作用。

質(zhì)能方程

阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）

1905年

質(zhì)能方程指的是，能量等于質(zhì)量乘以光速的平方。你可能會在高中接觸到它。

許多人都聽說過質(zhì)能方程，但是很少有人知道，在愛因斯坦之前，阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）和愛德華·莫雷（Edward Morley）通過實驗證明了光速守恒。而愛因斯坦則是在理論上解釋了這個實驗發(fā)現(xiàn)。

質(zhì)能方程也許是歷史上最著名的方程，它徹底改變了我們對宇宙和現(xiàn)實的看法。核武器的發(fā)明就依賴質(zhì)能方程。

薛定諤方程

埃爾溫·薛定諤(E. Schrodinger)

1927年

薛定諤方程是量子物理學的關(guān)鍵方程之一，它把物質(zhì)描繪成了一種波。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

薛定諤

薛定諤方程徹底改變了我們對微觀尺度的看法。薛定諤方程所描述的粒子以概率的方式出現(xiàn)，而且具有不確定性。薛定諤的觀點是顛覆性的，而他的理論也成了量子力學的基礎(chǔ)。

現(xiàn)在，核能、半導體、激光都和薛定諤方程有關(guān)。

信息論

克勞德·香農(nóng)(C. Shannon)

1949年

克勞德·香農(nóng)

信息論估計的是一段代碼所包含的信息量。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

信息論可以用來估計任何內(nèi)容（比如書和圖片）的信息量。斯圖爾特說，“這是信息時代的方程?！?/p>

利用信息論可以計算圖片最多可以被無損壓縮成多小。除了數(shù)據(jù)壓縮以外，信息論也被廣泛應(yīng)用在密碼學、數(shù)據(jù)傳輸?shù)扔嬎銠C科學中。

人口增長模型

羅伯特·梅（Robert May）

1975年

人口增長模型描述的是在資源有限的情況下，一群生物的數(shù)量增長模式。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

人口增長模型，橫坐標為生長率，縱坐標為數(shù)量。在人口增長模型中，微小的初始條件變化，也會引發(fā)天差地別的后果。

人口增長模型和混沌理論有關(guān)，有助于解釋自然現(xiàn)象。混沌理論中最廣為人知的一個概念就是蝴蝶效應(yīng)——微小的初始值變化會引起截然不同的后果，這就來自于人口增長模型。

現(xiàn)在，人口增長模型在地震預(yù)測和天氣預(yù)報中都有應(yīng)用。

布萊克-斯科爾斯方程

布萊克和斯科爾斯(F. Black, M. Scholes)

1990年

布萊克-斯科爾斯方程是為一類金融產(chǎn)品（如期貨、期權(quán)）定價的數(shù)學模型。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。

它的發(fā)明者——美國經(jīng)濟學家費希爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·舒爾茲（Myron Scholes）因為這個方程獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。

價值上萬億美金的金融產(chǎn)品都是布萊克-斯科爾斯方程的“衍生品”。許多人認為金融危機和布萊克-斯科爾斯方程脫不了干系，因為布萊克-斯科爾斯方程里包含的一些假設(shè)在現(xiàn)實生活中站不住腳。

在2008年的金融危機之后，實際上銀行家們還在用布萊克-斯科爾斯方程對大多數(shù)金融衍生品進行定價。

你目前的數(shù)學水平晉級到了人類文明史的哪一關(guān)了呢，還是你已經(jīng)通關(guān)了？