一 數(shù)學啟蒙之目的：

1、不是為了讓孩子學一點數(shù)學知識；2、也不是為了提高孩子的應用能力；3、主要是為了提升孩子的抽象思維能力，及發(fā)現(xiàn)能力，及短期記憶能力。

如何理解數(shù)學啟蒙目的呢？下面進一步展開一下：

1、不是為了讓孩子學一點數(shù)學知識

啟蒙孩子數(shù)學不是為了讓孩子學一點數(shù)學知識，如果家長對這個意識不清晰的話，就會在啟蒙孩子時認為教孩子知識越多越好，其實是教的知識越少越好，而不是越多越好。因為教的越少，留給孩子思考的空間也就越大，教的越少也就更容易把知識更趣味化，而教的越多就會沖淡趣味，或容易產生趣味疲勞。教的越少，就相當于給孩子只打開一扇窗，窗外的東西讓孩子自己看及自己思考，也附帶著可以大大刺激了孩子的自學意念。

2、也不是為了提高孩子的應用能力

有很多家長在教孩子加減乘除時，都會不自覺的或會想當然的出些習題讓孩子做，或聯(lián)系一些日常生活中的事情來讓孩子運用加減乘除法解決，他們目的是為了提高孩子的應用能力。

這樣的啟蒙目的雖然算不上是很壞，但也算不上是很好，多少與應試教育有點呼應，對孩子的抽象思維能力的提升不會很大，家長并沒有很好的理解“啟蒙”二字的更大內涵作用。如果應用能力的提升不用放在“啟蒙”里，學校的教育也會教孩子的，所以在啟蒙時可以把應用這塊全部忽略掉，或大部忽略掉會更好，否則，反而很大程度上分散或轉移了孩子應該提升的抽象思維，并使得孩子在數(shù)學方面的發(fā)現(xiàn)能力得不到很好的開啟（發(fā)現(xiàn)能力是遠遠在創(chuàng)造能力之上的一種能力），發(fā)現(xiàn)能力得不到很好的開啟是啟蒙最大的失敗或可惜之處。

如果啟蒙以應用能力為主，同時也會使孩子的短期記憶能力得不到更進一步的開啟，從而也錯失了最佳啟蒙期（12歲以前），這些都是以提升應用能力為主所帶來的負面作用。而這些負面作用，很多家長是意識不到的，意識不到的原因是很多家長把應用能力與抽象思維能力混為一談了。

應用能力的提升有兩個很明顯的“作用”，一個是附帶提高了孩子自學能力，另外一個是孩子考試可以考高分。但如果不以提升應用能力為目的，而主要以提升抽象思維為目的，也會存在附帶提升了孩子自學能力的作用，但孩子考試不一定能考出很好的分數(shù)，這也就自然會讓很多家長在啟蒙孩子時，熱衷于提升孩子的應用能力。

但孩子即使考了高分，如果再走下去就可能會有點吃力，孩子越往高處走，就越需要很好的抽象思維做重要保障，而非應用能力。提升抽象思維能力附帶著來的發(fā)現(xiàn)能力其意義也遠遠大于應用能力，這個有點類似于一個熟練操作工和一個設計師，他們在生產方面各自所發(fā)揮的作用之間的比較。

3、主要是為了提升孩子的抽象思維能力，及發(fā)現(xiàn)能力，及短期記憶能力

記憶分為長期記憶和短期記憶，長期記憶的容量在現(xiàn)實意義上是無窮大，幾乎每個人都差不多，具體大小靠的是勤奮努力，而短期記憶每個人都不一樣，差別很大，這正是在啟蒙孩子時要考慮進去的非常重要的一項。

總之，家長的數(shù)學啟蒙的理念和目的，是直接決定孩子的數(shù)學能否被啟蒙的很好的兩個最關鍵的因素。

二 萊昂哈德·歐拉，是我最喜歡的數(shù)學家之一。

過去我的大腦經常會跑到三百多年以前的歐洲，我經常會想象歐拉的爸爸他用了什么樣的密招去啟蒙歐拉數(shù)學的。為此我做過很多的假想，但隨后大部分假想我都否定了。

有人說天才的大腦與眾不同，像這樣的假想早就被否定了。比如，科學研究發(fā)現(xiàn)被保留下來的愛因斯坦的大腦并沒有什么與眾不同。

還有上個世紀有位大富豪花巨資在全球征集諾貝爾獎得主的精子，幾十年后發(fā)現(xiàn)用那些精子生出來的孩子在長大后并沒有什么過人之處。

既然不存在先天的原因，那為什么世上的“歐拉”卻少之又少，只能是因為后天的啟蒙所致了。啟蒙一定存在所謂的“密招”，密招的特點一定又是與眾不同的，不然就無法解釋那個“少之又少”，與眾不同才導致了少之又少。

有密招的啟蒙不了解時，可以先分析一下那些“眾同”的啟蒙。

大部分家長啟蒙孩子數(shù)學都幾乎雷同，講加減乘除法時首先講其意義，為了讓孩子理解，就會舉例子，比如加法就是2個蘋果加3個蘋果等于5個蘋果，減法就是5個蘋果去掉2個蘋果還剩下3個蘋果，講乘法時也會這么舉例子，一排有5個蘋果，6排有多少個蘋果。等孩子理解了加減乘除的意義后，再出一些比較復雜一點的貼近日常生活的應用題讓孩子去解決，鍛煉孩子的應用能力。再往后小數(shù)分數(shù)方程的啟蒙大抵也如此，讓孩子理解其意義，然后再做些應用題。

這樣的“眾同”的啟蒙，顯然不是與眾不同的，歐拉的爸爸一定不是這么啟蒙歐拉的。

但不這樣啟蒙又該如何啟蒙呢？過去我一直在想。

一直等到我開始啟蒙我的孩子數(shù)學時，我才恍然大悟，一個與眾不同的啟蒙出現(xiàn)在我頭腦之中，就是講加減乘除法時完全可以不用講其意義，也完全可以不用講應用部分。

那講什么呢？答案是，什么也不講。不講怎么能行呢？事實證明還就是行了。

比如意義，我沒有講，我的孩子無師自通了。再比如應用，我沒講，但經過檢測他也無師自通了。

萬物都是相通的，其實數(shù)學和外語在實質上有不少類似之處，而我們總喜歡把它們對立起來。外語講究學一句話時不要問“為什么”，這句話就是這么說的。其實數(shù)學也如此，不要問為什么，2+3=5就是這么規(guī)定的，不要再拿什么蘋果蛋糕等去解釋，反而破壞了孩子的純抽象思維。

孩子一開始不理解其意義，并不代表以后也不理解其意義，而往往家長們一發(fā)現(xiàn)孩子不理解，就著急擔心。啟蒙孩子時一定要注意，往往發(fā)現(xiàn)問題的時候不是解決問題的最佳時候，要給孩子留下足夠的自悟自通時間。你只要相信孩子，孩子就一定會給你奇跡。

什么都不給孩子講，并不代表閑著，可以給孩子出題，一點點一步步加大難度的純抽象思維題，這才是啟蒙的目的，讓孩子不把注意力集中在意義及應用能力的提升上，而是引導孩子向純抽象思維世界的深處進軍，使得孩子的抽象思維能力得到最佳開發(fā)，而開發(fā)出來的能力將在孩子后來的進一步學習中發(fā)揮巨大作用。

出什么樣的題？比如講乘法時，可以一步步的出到六位數(shù)乘以六位數(shù)，并且是隨機出的，這樣就不會用到任何技巧，并且要求要心算。這樣啟蒙，孩子能行嗎？一定能行，因為你沒有嘗試，所以你不知道，所以你只會想當然以為不行。我是實踐了，我是相信的（我的孩子就是這樣硬碰硬可以心算六位數(shù)乘以六位數(shù)）。

我想歐拉的爸爸怎么啟蒙歐拉數(shù)學的，極可能與我暗合了。我以前總是驚嘆歐拉能心算前100位素數(shù)的前六次冪，今天我才明白，如果不用與眾不同的啟蒙，那么孩子也就與眾同了。如果那些與眾同的孩子當初被用了與眾不同的啟蒙，那么那些與眾同的孩子也就會與眾不同了。

人類用了上萬年時間發(fā)明了加減乘除法，而我們卻用它來做應用題？！

加減乘除法不是用來僅僅提高孩子的應用能力的，更大的作用是在孩子的最佳啟蒙期里，用來大大的提升孩子的純抽象思維能力，及一定會附帶而來的很好的發(fā)現(xiàn)能力和短期記憶能力，而這三力的任何一力的重要性都遠遠超過了應用能力。 這也是數(shù)學啟蒙的目的。

（4~12歲是最佳啟蒙期，12~18歲是最佳發(fā)展期，20~40歲是最佳出成果期。如果錯失了最佳啟蒙期，那么就會直接影響到后面兩期）

三 千里馬常有而伯樂不常有，一點不錯，我認為每個孩子天生都具有強大的潛能，都是一匹潛在的千里馬，而遺憾的是我們每個家長卻不都是伯樂，不都是很懂得如何啟蒙孩子，以致孩子的很多潛能幾乎出不來。

很多家長在啟蒙孩子時，對“潛能”思考并不深也并不多，所以啟蒙的目的也就出現(xiàn)了很大的問題。

有些家長也認為啟蒙孩子數(shù)學的目的不是僅僅教孩子一點數(shù)學知識，而是提升孩子的抽象思維能力。所以這些家長在教會孩子加減乘除法后，就會讓孩子運用加減乘除法來解決一些實際問題。

但這些家長并沒有意識到，解決實際問題的應用能力，占抽象思維能力的比重并不大，孩子的更大的抽象思維潛力卻并沒有被開啟。比如，從九九表開始，不要停，繼續(xù)一步步往前推進，就是二位數(shù)乘以二位數(shù)，三位數(shù)乘以三位數(shù)，以致到六位數(shù)乘以六位數(shù)（讓孩子心算效果會更好），通過這樣的啟迪，孩子被啟迪出來的抽象思維能力，要遠遠超過通過讓孩子實際運用啟迪出來的抽象思維能力。

可能有些家長會認為：

1、孩子心算多位數(shù)乘以多位數(shù)沒有什么實際意義，也就是沒有什么用。

2、孩子也未必有那個能力能計算那么大的數(shù)。

3、數(shù)學不是計算，數(shù)學更注重的是思維和理解。

第1、2兩點，那些家長是對計算誤解了，對第3點，那些家長是對數(shù)學曲解了。如果對第1、2點不誤解，也就不存在第3點的曲解。

心算多位數(shù)乘以多位數(shù)，不是簡單的計算，這種復雜的計算，比解決實際問題的難度大很多倍不說，孩子必須要具備超強的短期記憶能力，所以在心算的同時，短期記憶能力也得到提升。

家長總會希望孩子以后學習或工作要努力要勤奮，而長期記憶就是靠勤奮得來的。短期記憶能力又直接影響到長期記憶，也就是說短期記憶能力決定了勤奮效率的高低。從心算到短期記憶能力到長期記憶再到勤奮，怎么能說心算怎么會沒有用呢？

這里的心算，不是珠心算，是隨機的硬碰硬的沒有任何技巧的純心算。我在以前講過，家長啟蒙孩子乘法時不要講其意義及應用，這個留給孩子自悟自通。另外還包括不要講豎式，沒有豎式？孩子怎么心算乘法？可能你會問。其實孩子會自悟，孩子有孩子的辦法，不一定就是大人想當然的豎式辦法。

可能我們大人很少會去思考乘法豎式是誰發(fā)明的，如果不用乘法豎式，乘法該怎么去做。思考這個問題是不是很無聊？

那我通過我的實踐告訴你，這個問題一點都不無聊，如果你在教孩子乘法時，不教孩子乘法豎式，又讓孩子去做多位數(shù)乘以多位數(shù)，孩子是會心算的（你可以先從最簡單的2位數(shù)乘以1位數(shù)開始，這樣孩子才會逐步深入到多位數(shù)乘以多位數(shù)），孩子用的不是乘法豎式，而是從高位到低位的計算模式。

只要科學的循序漸進，孩子都可以心算大數(shù)的，孩子都有這個潛能。

至于很多的歸類歸納，孩子都會自己進行的，比如二項式定理孩子都會無師自通，自己總結出來。

沒錯，數(shù)學不是計算，數(shù)學更注重思維和理解，但計算（心算）正是提升思維的，而理解，越是以后，越是需要抽象的理解。而心算大大開啟和提升了孩子純抽象思維能力。

這種純抽象思維能力的提升，在以后方程函數(shù)微積分，直至數(shù)論及抽象數(shù)學等等以后很多的數(shù)學分支，及理工科的其他學科里都將會發(fā)揮巨大作用的，甚至這種從小就被開啟出來的幾乎過目不忘的能力（短期記憶能力）對文科作用也是巨大的。

其實也不用說那么遠，現(xiàn)在就有很多家長整天叫苦，說快被折磨死了，因為每天都要陪孩子寫作業(yè)。我想那些家長之所以現(xiàn)在會這樣，可能就是他們以前對啟蒙孩子的目的理解不是很到位所致（起碼數(shù)學是這樣的）。

四 我啟蒙我孩子數(shù)學的目的，不是為了教他一點點數(shù)學知識，而是要開啟和提升他的純抽象思維能力。而在他的純抽象思維能力提升的同時，他的發(fā)現(xiàn)能力和短期記憶能力也會附帶著自然而然得到提升。

我的眼前這些心算題，仿佛都變成了一堆堆熊熊燃燒的爐火，我已經看到了“青出于藍而勝于藍”

比如在啟蒙乘法時，我主要是通過每周出一道到二道多位數(shù)的平方題讓我孩子快速心算（見上圖），來提升孩子的純抽象思維能力。

我每次看到孩子把心算結果快速正確無誤的做出來時，我都會忍不住給他批上個“so good”，因為我眼前的那些心算題，仿佛都變成了一堆堆熊熊燃燒的爐火，我已經看到了“青出于藍而勝于藍”，這才是我啟蒙的目的。

加減乘除法，即使我現(xiàn)在不教孩子，孩子以后也會會的。

如果啟蒙孩子的目的，是為了讓孩子增長知識，那么孩子的知識增多到超過我，就需要很長的一段時間，需要很多很多年。

但如果啟蒙孩子的目的，是為了讓孩子的某些抽象思維能力超過我，那么很快就可以通過啟蒙辦到。

為什么在孩子的啟蒙階段，我不是很贊成很多家長這樣的做法，就是通過讓孩子運用加減乘除法去解決實際問題來提升孩子的抽象思維能力？原因有如下3點：

1、孩子在很多方面都具有很多的潛能，比如在音樂方面，圍棋方面，數(shù)學方面等等。而這些很多的潛能是隨著孩子的年齡而遞減的，這就是著名的潛能遞減法則。所以啟蒙孩子，讓孩子的潛能得到開啟和提升，是有一個最佳啟蒙期的，一旦錯失了就無法逆轉。這種潛能與知識不同，知識恰恰相反，是隨著年齡的增長而增加的。這也就是為什么我啟蒙出來的孩子他會立刻在純抽象思維能力方面就超過了我，雖然孩子的知識還沒有超過我。

2、實際應用能力也會隨年齡的增長而增強，故算不上是潛能方面的東西，早期的實際應用能力只沾了純抽象思維能力的一點點邊而已。

3、實際應用能力是離不開純抽象思維能力這個強有力的工具，純抽象思維能力遠遠在實際應用能力之上，也是應用能力發(fā)展的瓶頸。

聯(lián)系到目前的一些教改，很多家長都認為“孩子得語文者得天下”。而我不敢完全茍同，如果僅僅從大部分孩子的角度出發(fā)，這句話是有一定的道理的，因為大部分孩子長大后都會從事應用類的工作。但就一個國家來說，這樣就很短視了，一二百年以前，我們的國家就是因為科學的落后被人家撬開了國門。數(shù)學作為所有科學的工具，其重要性不言而喻，雖然它看起來沒有那么實用，但正是這個看起來不那么實用的東西將最終決定一個國家的未來。所以我認為如果有“孩子得語文者得天下”，那么就有“國家得數(shù)學者得宇宙”。

啟蒙孩子數(shù)學的目的要放長遠些，這樣就會看得更加清楚了。

五 目前孩子的家庭教育受到了前所未有的重視，但大部分家長都把關注力放在了孩子的興趣班上，比如音樂、繪畫、舞蹈、圍棋等等，在學習方面的啟蒙上，家長也都把關注度放在語文或外語上，比如親子閱讀，外語聽說等，其實這些都很好。

但，對孩子數(shù)學的啟蒙，很多家長并不關注或關注了又不是很用心，這就有點不太好了。萬物都有聯(lián)系，啟蒙好數(shù)學，對其他也會有幫助的。

很多家長之所以會那樣，原因就是他們以為小學的數(shù)學很簡單，無非就是加減乘除，稍微啟蒙一下，孩子也就會了。甚至有些家長還說，小學數(shù)學好，就未必上了初中會好；初中數(shù)學好，就未必上了高中會好。

都說家長的認知是天花板，家長的高度決定了孩子的起點，說的一點沒錯。

很多家長都存在對數(shù)學啟蒙的認知不足，也就使得他們在數(shù)學啟蒙的目的上存在不少問題。

根據(jù)啟蒙的目的不同，“很多家長”大致可以分為三類，下面分別展開一下，看看他們的啟蒙會結果如何。

第一類家長，他們啟蒙孩子數(shù)學，也僅僅是啟蒙了孩子一點點數(shù)學知識而已，其實這樣的啟蒙與不啟蒙并不沒有實質性的區(qū)別。知識是學不完的，即使現(xiàn)在不啟蒙，比如加減法，孩子以后也會會的，可以在學校里學。

第二類家長，他們啟蒙孩子數(shù)學時，不僅僅啟蒙了孩子一點點數(shù)學知識，還同時引導孩子運用學會的加減乘除法去解決一些生活中的實際問題。這確實鍛煉了孩子的實際應用能力，同時也提升了孩子一點點抽象思維能力。

但僅僅這樣啟蒙，也不是很好的。這樣啟蒙確實可以讓孩子在小學數(shù)學成績很好，但孩子在純抽象思維方面的更多的潛能的開啟和提升也就被錯失了，而根據(jù)潛能遞減法則，錯失了也就錯失，幾乎是無法逆轉的（關于如何開發(fā)純抽象思維，見前文）。

由于純抽象思維能力沒有得到最佳開發(fā)，這樣孩子在小學數(shù)學成績好，上了初中也或許會好，上了高中也或許會好，甚至上了大學也或許會好，但再往后研究階段是不可能有什么太大突破的，因為最終會被純抽象思維能力不是很好而卡住的，以前小學、中學、大學沒有被卡住，是因為考試的考題大都是應試制度下的一些應用類的題目，對純抽象思維能力要求并不是那么高，所以出現(xiàn)了成績會很好的現(xiàn)象。

第三類家長，實質與第二類家長是一樣的，只是在啟蒙的量上加大了。這類家長的孩子在小學中學，甚至大學都一直成績非常好，被譽為“學霸”；甚至還有個別的孩子，小學時就已經結束了中學課程，十二、三歲時就上大學了，這樣的個別孩子被譽為“神童”。但世人卻往往驚訝的發(fā)現(xiàn)，那些當年的學霸或神童，最終卻沒有幾個有什么大成就的，原因何在？原因就在于他們雖然應試能力強，但他們小時候的純抽象思維潛能并沒有被最佳開啟和最佳提升，這最終成為他們后來發(fā)展的瓶頸。

再談談第二類家長，因為第二類家長占的比例最大，大部分家長都屬于第二類家長。他們的數(shù)學啟蒙存在的問題在孩子上小學中學時就暴露無疑了，說白了，他們的啟蒙只不過是把孩子早點拖入了應試教育而已。那些整天喊累、整天被折磨得要命、整天叫喚都要陪孩子寫作業(yè)的家長，基本都是這第二類家長。

第二類家長即使不想讓孩子以后有什么大成就也沒關系，錯失了開啟孩子純抽象思維潛能也沒有什么大不了的，因為大部分人以后從事的工作都屬于應用類的工作，任何工作都是平等的，幸福是來自于內心的。

因為知識和應用能力，是隨孩子年齡的增長而增加的，所以第二類家長平時可以不用過分急，不用過分糾結，不要太逼孩子，要給孩子一定的時間來成長（這也就是為什么偶爾會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：特別是第二類家長中的有的孩子小學數(shù)學不是很好，反而初中很好了；初中不是很好，反而高中很好了），只要相信孩子，孩子會給你奇跡的。

關于如何啟蒙孩子的數(shù)學，目前很多爭論往往都是在第一類家長、第二類家長、第三類家長之間的爭論。而這三類家長卻統(tǒng)統(tǒng)沒有意識到孩子的純抽象思維潛能的重要性，也就意識不到開啟和提升孩子的純抽象思維才是啟蒙孩子數(shù)學的最重要目的。

六 第75講在講到數(shù)學啟蒙的目的時，講到“萬物都有聯(lián)系，啟蒙好數(shù)學，對其他也會有幫助的”。下面就展開一下這句話的內涵。

啟蒙好數(shù)學，主要是啟蒙好孩子的純抽象思維能力，孩子的純抽象思維能力提升了，同時孩子的發(fā)現(xiàn)能力和短期記憶能力也會附帶著提升（見第77講）。純抽象思維是一種潛能，每個孩子都有的，但如果錯失了最佳啟蒙期，那么根據(jù)潛能遞減法則，錯失了也就錯失了，幾乎無法逆轉。

如果孩子的純抽象思維潛能，在孩子的最佳啟蒙期得到最佳啟蒙，那么孩子的短期記憶能力也會得到最佳開發(fā)，就等于孩子擁有了幾乎過目不忘的能力。而這種幾乎過目不忘的能力，對孩子的其他方面幫助都會很大的。比如在孩子的興趣像音樂繪畫圍棋等方面，都會有很大的幫助。在孩子語文或外語等方面的學習，幫助也就更大了，孩子聽過的、讀過的幾乎都會過目不忘。

（PS：從時間上劃分，記憶分為長期記憶和短期記憶。從記憶對象上劃分，短期記憶又劃分為有意識記憶和無意識記憶，比如平時所說的“死記硬背”就屬于有意識記憶，有意識記憶有其很不好的一面，有時也有好的一面，數(shù)學啟蒙提升孩子純抽象思維的同時，鍛煉出來的短期記憶能力是屬于通過無意識記憶而鍛煉出來的能力，而通過無意識記憶鍛煉出來的短期記憶能力能更好的用在有意識記憶中。這就是為什么啟蒙好數(shù)學對其他幫助也很大的原因。當然短期記憶能力，也可以通過除了數(shù)學外的其他方面鍛煉，但啟蒙數(shù)學的目的不是為了鍛煉短期記憶能力，而是為了開啟和提升純抽象思維的。）

而目前大部分家長，對孩子數(shù)學的啟蒙并是不很關注，或關注了又不是很用心。因為很多家長都把關注力放在了孩子的興趣班上，比如音樂、繪畫、舞蹈、圍棋等等。在學習方面的啟蒙上，家長也都把關注度放在語文或外語上，比如親子閱讀，外語聽說等。

很多家長認為小學數(shù)學很簡單，無非就是加減乘除，所以也沒啥好啟蒙的，隨便教教就可以了，關鍵還是培養(yǎng)孩子其他興趣很重要，孩子小，玩是天性，應該讓孩子多玩，培養(yǎng)孩子興趣也可以讓孩子盡情的玩。

很多家長還認為如果要啟蒙孩子學習，也是重點要啟蒙孩子的語文，因為孩子的形象思維好，抽象思維不好，如果語文啟蒙好了，孩子在思考理解方面就會很好，這樣反而會對孩子以后的數(shù)學有很大幫助。

其實很多家長都沒有意識到啟蒙好孩子數(shù)學，也會對其他方面幫助很大。孩子上興趣班一開始是很有興趣，也很玩，但一直上下去的話，不少孩子或家長就會感覺到很累了，也不是那么單純的好玩了，而是需要認真的學，學好興趣課也不是那么容易的，也需要很多能力的（啟蒙好數(shù)學使孩子的能力提升也會間接的幫助到孩子的興趣課方面）。

而啟蒙好孩子語文，孩子的閱讀思考理解能力是會提高，確實也會對孩子以后的數(shù)學有幫助，但只能幫助孩子提高數(shù)學的應用能力，而對孩子的純抽象思維能力的提升是幫助不了的，而最終決定孩子數(shù)學好或不好，及應用能力的發(fā)揮，都會受到純抽象思維能力大小的制約。所以啟蒙好孩子語文不但不能代替啟蒙好孩子數(shù)學，反而是在孩子的數(shù)學方面只撿到了一粒芝麻，卻丟掉了一只大西瓜。

正確的做法是，孩子的語文需要啟蒙，數(shù)學也需要啟蒙。語文和數(shù)學是互相幫助的，不僅僅語文可以幫助數(shù)學，數(shù)學也可以幫助語文的。但，誰都不可能替代誰，否則就會丟失大矣。

（也就是說短期記憶能力或其他方面的能力等能互相跨域的能力，在跨域后所達到的效果和幫助再大也是有限的，在啟蒙上都無法實現(xiàn)誰替代誰。但我們家長最好能夠了解主要有哪些能互相跨域的能力及其跨域后助力的大小，這樣在啟蒙孩子時才能有更好的認知，少些想當然。）

啟蒙好數(shù)學，也要啟蒙好其他的，這樣數(shù)學會更好。但家長無論啟蒙孩子什么，一定要對啟蒙的目的清晰。啟蒙孩子數(shù)學的目的，關鍵是啟蒙好孩子的純抽象思維。

七 啟蒙孩子數(shù)學的目的，關鍵是啟蒙孩子的純抽象思維。

純抽象思維是孩子的一個潛能，按潛能遞減法則，啟蒙是有一個最佳啟蒙期（4~12歲）。

如果錯失了最佳啟蒙期，也就錯失了，幾乎是無法逆轉的，孩子的純抽象思維能力在其長大后就會很一般。

如果在最佳啟迪期受到了最佳啟蒙，那么孩子的純抽象思維能力在其長大將會非常厲害。到底多么有厲害呢？遠遠超乎了我們常人的想象。

請先看看下面這道數(shù)學應用題：

兩列火車相隔200公里，各以每小時50千米的速度相向而行。一只蒼蠅從其中一列前端出發(fā)，以每小時75千米的速度，在兩列車之間來來回回飛個不停，問：直到兩車相撞，蒼蠅飛過的總距離是多少?

其實這道題目一點都不難，估計大部分小學生都能解答出來。解答的思路就是：兩車的相對速度是50+50=100千米/小時，那么相向而行的時間為200/100=2小時，這也是蒼蠅飛過的總時間，那么蒼蠅飛過的總距離為75*2=150千米。

但，一個年輕人在一次晚宴上，碰到大數(shù)學家馮·諾依曼，就問了他上面的那道數(shù)學應用題。

馮·諾依曼沉吟了幾秒后回答：“哦，應該是150千米?！?/p>

那個年輕人很是震撼，心想馮老師果然很牛，于是就拍起了馬屁，說：“絕大多數(shù)數(shù)學家總是忘掉了能解決這個問題的簡單方法，而去采用無窮級數(shù)求和的復雜方法?！?/p>

而這時，馮·諾伊曼卻面露驚奇，說：“我用的就是無窮級數(shù)求和的方法呀?！?/p>

像馮·諾依曼這樣的純抽象思維能力，歷史上還有很多，比如歐拉就可以心算前100位素數(shù)的前六次冪（其中第100位的素數(shù)是541，541的的三次方等于158340421，541的六次冪就是158340421再乘以158340421）。

而他們的純抽象思維能力，都已經遠遠超乎我們常人的想象。

但，這種看似超人的純抽象思維能力不是天生的，而是在最佳啟蒙期里啟蒙出來的。

而目前很多家長，甚至也包括一些啟蒙機構，并沒有意識到“純抽象思維是孩子的一個潛能”，也沒有意識到“啟蒙孩子數(shù)學的目的，關鍵是啟蒙孩子的純抽象思維”。

所以他們在啟蒙孩子數(shù)學時，總強調孩子的抽象思維不好而形象思維好，所以總拿一些形象的東西（比如五顏六色的卡片及繪本）來讓幫助孩子理解抽象的東西，總會用一些現(xiàn)實生活中的例子來解說抽象的東西。

打個不恰當?shù)谋确?，上面那種啟蒙方法比方好像在學習外語時，用漢字來標注外語單詞的發(fā)音，孩子好記是好記了，但發(fā)音會不準；又比方好像每說一句英語時都要和孩子翻譯成漢語，孩子理解是理解了，但英語思維卻不能很好的形成。同理用那種啟蒙數(shù)學的方法，孩子是可以快理解，也可以提升應用能力，但同時孩子的純抽象思維也就錯失了很好的開啟和提升的最佳機會了。

很多家長或有些啟蒙機構又在孩子理解了抽象思維后，就開始讓孩子解決實際問題來鍛煉孩子的應用能力（其中奧數(shù)最典型，從小學三年級就有奧數(shù)培訓班）。孩子的應用能力是提高了，但卻大大忽略了啟迪孩子的純抽象思維潛能，這最終將限制孩子的應用能力。

啟蒙階段，沒有任何技巧的硬碰硬的心算是最能鍛煉孩子的純抽象思維，而很多家長或啟蒙機構在啟蒙孩子心算，卻過早的引入了一些心算技巧，比如心珠算等（心珠算是可以提高孩子的動眼、動手及應用能力），那是得不償失的，因為也大大抹殺了孩子純抽象思維潛能。

八 關于啟蒙數(shù)學的目的，已經講了很多講了，其中反復提到過“目前有很多家長，并沒有意識到啟蒙孩子數(shù)學的目的關鍵是啟蒙孩子的純抽象思維，而不是啟蒙數(shù)學知識或數(shù)學技巧。

但為什么很多家長在啟蒙孩子數(shù)學時，沒有意識到這個關鍵點呢？

因為我們大部分家長從小到大都是在應試教育制度下接受數(shù)學教育的，長期以來腦子里就形成了這樣的不完全正確的觀點：數(shù)學是一門工具，主要是為了應用，所以應用能力非常重要，鍛煉抽象思維最好在應用中去鍛煉，而通過應用鍛煉出來的抽象思維又是為了再應用。

真正正確的觀點是：數(shù)學不僅僅是一門工具，也不僅僅是為了應用，應用能力是很重要，但對數(shù)學來說不是最重要的，抽象思維是可以在應用中得到鍛煉，但卻不是最好的鍛煉方式，在孩子的啟蒙階段，恰恰是很不好的鍛煉方式，因為它把抽象思維引入到了不是抽象思維領悟，其實是一種干擾，啟蒙階段，抽象思維最好是在純數(shù)學領悟內進行鍛煉，才是最佳的鍛煉方式，這樣鍛煉出來的抽象思維才會是更厲害的，而鍛煉出來的抽象思維再應用到應用領悟，抽象思維得到進一步的鞏固，但對純抽象思維本身并不會有什么太大的提升，只是大大的提升了應用能力而已，所以純抽象思維能力的意義遠遠大于應用能力的意義，應用能力的大小最終取決于純抽象思維能力的大小。

應試教育制度不可以全盤否定，在沒有更好的代替制度之下，它還是很好的。

但我們一定也要看到應試教育制度的弊端，只有這樣，我們才可能更好的用家庭教育或其他教育來彌補學校教育。應試教育制度的弊端就是，誰的應用能力強，誰就可以考高分，因為數(shù)學試卷中大部分綜合題都是應用類型的綜合題，最后幾道應用類型的綜合題也是拉分題或壓軸題，而很少見到有純抽象類型的綜合題。

如果在最佳啟蒙期錯失了純抽象思維的最佳啟蒙，那么孩子的純抽象思維能力就會很一般，以后無論怎么努力勤奮，無論刷多少題目，效率都不會高到哪里去，甚至很多學生都不能堅持下來，而能堅持下來的學生得到提升的也是應用能力，而不是純抽象思維能力，純抽象思維能力得到的提升是很少的，不過如果是為了應試，為了考高分，為了考好學校，也只有這樣，這樣了也會取得好成績的，但代價卻是很大的。

數(shù)學很美，美就美在它的抽象上，數(shù)學不僅僅是一門工具，數(shù)學分為純數(shù)學和應用數(shù)學，而我們大部分人學了一輩子的數(shù)學，其實純數(shù)學知識并沒有學到多少，只是學了一點應用數(shù)學而已，而全部所學的數(shù)學，也僅僅是幾百年前的一些數(shù)學知識，而所學的這點數(shù)學知識除了考試用到之外，在工作生活中實際用到的那就更加少的微乎其微了，這就是很多人拿“用”來看所學數(shù)學的認知，這樣的認知又怎么能啟蒙好孩子數(shù)學呢？也就更無法認知到啟蒙孩子數(shù)學是為了開啟和提升孩子的純抽象思維。

九 前段時間，有位家長想讓我看看他孩子在數(shù)學方面是否真有天賦，那位家長說他孩子從小就很喜歡數(shù)學，他也常給孩子些啟蒙，現(xiàn)在孩子上小學三年級了，數(shù)學成績一直很好，另外孩子對奧數(shù)很感興趣，所以他還給孩子報了奧數(shù)班。

我首先對那位家長說“世上哪里有什么天賦，天賦都是后天啟蒙開發(fā)出來的，或熏陶出來的。”

接著我問了下那位家長他是如何啟蒙孩子的，果不出我所料，他的啟蒙方法和啟蒙目的，與很多家長是一樣的，就是把抽象的數(shù)學形象化。

而我認為那位家長那樣的啟蒙雖然便于孩子理解，但也同時大大抹殺掉了孩子的很多純抽象思維潛能，雖然會暫時讓孩子的應用能力得到很大提升，并會出現(xiàn)孩子數(shù)學成績很好的現(xiàn)象，但這個“現(xiàn)象”注定將不會持續(xù)非常長的時間，因為孩子純抽象思維能力不是很好將最終限制孩子的應用能力。

于是我把我的“認為”講給那位家長聽了，另外我又告訴那位家長，數(shù)學啟蒙的目的，不是為了教孩子一點數(shù)學知識，也不是為了提高孩子一點應用能力，而是為了在孩子的最佳啟蒙期里使孩子的純抽象思維得到最佳開啟和提升。

那位家長似乎沒怎么明白我的意思，后來他把我邀到他家里去，我看了看他孩子的一張數(shù)學試卷后，指著其中一道要求用簡單方法計算的計算題，對他孩子說“我再出一道類似的題目給你做，不過我要求是心算，好嗎？”他孩子說好的，我就出了一道“59×61=？”沒用多長時間，孩子很快就心算出來了，結果很正確。我問孩子“你心算的過程再告訴我一下好嗎？”孩子告訴我后，我發(fā)現(xiàn)孩子用的方法是簡單計算的方法。我又對孩子說“你再心算一道題57×64好嗎？”孩子望著我，想了想，說好的，然后心算較長時間，把結果正確心算出來了，我問孩子為什么這次用的時間長了點？孩子答道“因為這道題沒有很簡單的計算方法?！?/p>

事后我單獨對那位家長說“你孩子心算那道題的時間長了點，不是因為那道題沒有很簡單的計算方法，而是因為你孩子的純抽象思維能力不夠好，這才是真正的原因。所以我建議你最好暫時不要再讓孩子上奧數(shù)班，我認為你孩子在奧數(shù)班學習的那些內容，無非就是把以后你孩子要學的一些內容給提前了，另外還有一些解題的技巧，這樣你孩子上奧數(shù)班也就是多學了一點數(shù)學知識，提高了一點應用能力，而關鍵是你孩子的純抽象思維能力并沒有提升多少，要想大幅度開啟和提升孩子的純抽象思維能力，參加奧數(shù)班是不辦不到的，在時間上，反而會錯失了孩子的純抽象思維潛能的最佳啟蒙期，而一旦錯失了就錯失了，以后幾乎是無法逆轉的，因為潛能是隨著孩子年齡的增長而遞減的（潛能遞減法則），而孩子的知識和應用能力不但不會錯失，反而會隨著孩子年齡的增長而增加和提高的，更關鍵的是，以后孩子數(shù)學知識增加和應用能力提高的效率的大小，還受孩子的純抽象思維能力的大小影響最大?！?/p>

聽我這么一說，那位家長好像恍然大悟了，他明白了自己啟蒙孩子數(shù)學的目的上出現(xiàn)了很多問題，于是他又問了我一些關于如何開啟和提升孩子純抽象思維方面的具體辦法。