分析演繹歸納類比推理

分析法是"綜合法"的對稱。把復雜的經濟現象分解成許多簡單組成部分，分別進行研究的方法。其實質是: 通過調查研究，找出事物的內在矛盾，并對矛盾的各個方面進行深入研究。剔除那些偶然的、非本質的東西，抽象出必然的、本質的因素，并由此得出一些反映本質的簡單規(guī)定，以把握矛盾的各個方面的特殊性。分析法所提供的只是對于經濟現象的片面理解，它還不能從總體上、從各個部分之間的相互聯系上來把握經濟現象。因此，在分析的基礎上，還必須運用綜合的方法，使分析得到的各個方面的本質規(guī)定，按照經濟現象內在的邏輯聯系，形成有機的體系，這樣才能全面、深刻地認識經濟現象，提出解決問題的有效辦法。

從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法叫做綜合法。

分析法--通過對事理原因或結果的周密分析，從而證明論點的正確性、合理性的論證方法。也稱為因果分析。事物都有自己的原因和結果。從結果來找原因，或從原因推導結果，就是找出事物產生、發(fā)展的來龍去脈和規(guī)律，這就起到了證明論點的合理性和正確性的作用。

綜合分析法是指運用各種統(tǒng)計綜合指標來反映和研究社會經濟現象總體的一般特征和數量關系的研究方法。 

主要釋義

1.從求解的問題出發(fā)，正確地選擇出兩個所需要的條件，依次推導，一直到問題得到解決的解題方法叫做分析法。

2.用分析法解題時如果解題所需要的兩個條件，(或其中一個條件)是未知的時候，就要分別求解找出這兩個(或一個)的條件，一直到問題都是已知的時候為止。

3.分析法指從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到歸結為判定一個顯然成立的條件(已知量、定義、公理、定理、性質、法則等)為止，從而證明論點的正確性、合理性的論證方法。也稱為因果分析、逆推證法或執(zhí)果索因法。

數學思想

從求證的不等式出發(fā)，"由果索因"，逆向逐步找這個不等式成立需要具備的充分條件。

事物都有自己的原因和結果。從結果來找原因，或從原因推導結果，就是找出事物產生、發(fā)展的來龍去脈和規(guī)律，這就起到了證明論點的合理性和正確性的作用。

基本思想是:由未知探需知，逐步推向已知。

適用范圍

1.不易直接證明結論;

2.從結論很顯然能推出明顯正確的條件。

(在數學中，條件探究題一般用分析法進行逆推來獲得正確答案)

反證法(Proofs by Contradiction，又稱歸謬法、背理法)，是一種論證方式，他首先假設某命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。

綜合法，分析法在平面幾何中常見

分別是從條件網結論推和從結論網條件到推

各個分支有著不同的證明方法

比如無窮遞降法 奇偶分析法大部分用于數論

三角法 解析法 同一法 用于幾何

求導法 著名不等式法 用于證明不等式和最值

比較基本的方法就是直接證或者反證

高中數學常用證明方法有哪些？

1.比較法         比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 

2.綜合法         利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。

3.分析法         分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

4.反證法         有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。 

5.換元法         換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。 

6.放縮法         放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

物理中的分析方法

歸納法:不完全歸納推理是統(tǒng)計推理歸納事務中比較常用的一種方法。以關于某類事物中部分對象的判斷為前提，推出關于某類事物全體對象的判斷做結論的推理。在歸納推理中，完全歸納推理是不多的，不完全歸納推理則是大量的。有兩種：(1)簡單枚舉歸納推理，這是或然性推理；(2)科學歸納推理，這是必然性推理由于完全歸納推理具有一定的局限性和不可實現性，當需要歸納推理的單位數量過大，例如:某鄉(xiāng)鎮(zhèn)5000名農民均在最低生活標準以下。在這個命題下，歸納者若需要遵循完全歸納推理原則，就需要調查全部5000名農民的實際情況，對集合內所有要素進行逐一了解，這是一種不實際的推理原則。完全歸納推理，又稱"完全歸納法"，它是以某類中每一對象(或子類)都具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對象全部具有或不具有該屬性為結論的歸納推理。

完全歸納推理的作用主要有二:

一是具有認識作用。雖然完全歸納推理的前提所斷定的知識范圍和結論所斷定的知識范圍相同，但它仍然可以提供新知識。這是因為，它的前提是個別性知識的判斷，而結論則是一般性知識的判斷，也就是說，完全歸納推理能使認識從個別上升到一般。

二是具有論證作用。由于完全歸納推理是一種前提蘊涵結論的必然性推理，因而人們常常用它來證明論點，反駁謬誤。

綜合法         綜合分析，整體分析 

等效法         電路中用的比較多，將一個復雜電路等效為一個簡單電路，力學等也較常用 

類比法         例如將力學問題與電學問題類比等

一、控制變量法         通過固定某幾個因素轉化為多個單因素影響某一量大小的問題。 7、探索磁場對電流的作用規(guī)律; 8、研究電磁感應現象; 9、研究焦耳定律。

 二、等效法         將一個物理量，一種物理裝置或一個物理狀態(tài)(過程)，用另一個相應量來替代，得到同樣的結論的方法。 1、在研究物體受幾力時，引入合力。 2、曹沖稱象。 3、在研究多個用電器組成的電路中，引入總電阻。

 三、模型法         以理想化的辦法再現原型的本質聯系和內在特性的一種簡化模型。 1、在研究光學時，引入“光線”概念。 2、在研究磁場時，引入磁感線對磁場進行描述。 3、理想電表。 

四、轉換法(間接推斷法) 累積法         把不能觀察到的效應(現象)通過自身的積累成為可觀測的宏觀物或宏觀效應。 1、用壓緊鉛柱的方法來顯示分子面的引力作用。 2、在研究分子運動時，利用擴散現象來研究。 3、根據電流所產生的效應認識電流。 4、根據磁鐵產生的作用來認識磁場。 

五、類比法         根據兩個對象之間在某些方面的相似或相同，把其中某一對象的有關知識、結論推移到另一個對象中去的一種邏輯方法。 1、水壓--電壓 2、抽水機提供水壓類似電源提供電壓。 3、用速度的定義公式引入壓強公式。 

六、比較法         找出研究對象之間的相同點或相異點的一種邏輯方法。 1、研究蒸發(fā)和沸騰的異同點。 2、比較電壓表與電流表在使用過程中的相同點和相異點。 3、比較電動機與發(fā)電機的結構和原理的相同點和異同點。 4、汽油機和柴油機的相同點和異同點。

 七、歸納法         從一系列個別現象的判斷概括出一般性判斷的邏輯的方法。 1、從氣、液、固的擴散實現現象，得出結論:一切物體的分子都在作無規(guī)則的運動。 2、物理學中的實驗規(guī)律(如串、并聯電路中電流、電壓的特點等)幾乎都用了此法。

綜合法與分析法

 學習目標

掌握綜合法和分析法的基本思路，能用綜合法和分析法證明有關問題；了解數學歸納法，會用此方法證明問題。

1、綜合法與分析法

（1）綜合法

一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理證明，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。

它的基本思路是“由因導果”，即從“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。

（2）分析法

我們從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法。

它的基本思路是“執(zhí)果索因”，即從數學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法，當從題設不易入手的題目，而從結論上較易打開思路時，多用分析法證明。

2、兩種方法的利弊特點

分析法從“未知”看“需知”，漸漸靠攏“已知”，逐步的推理，實際上是尋找它的充分條件. 它敘述冗長，但常常根底漸近，有希望成功.

綜合法從“已知”看“可知”，漸漸推向“未知”，逐步的推理，實際上是尋找它的必要條件. 它形式簡潔，條理清晰，邏輯結構嚴謹，但往往枝節(jié)叢生，難以一下子達到目的. 

注：我們在實際解題時，應把兩種方法結合起來運用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達解題過程，這就達到了揚長避短、相互協調、相得益彰的良好目的.

3、綜合法的思維特點是：由已知推出結論. 

用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）；（a，b同號）， （ ）。

【典型例題】

例1. 已知a、b、c是不全等的正數，求證：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．

【觀察】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．具有結構循環(huán)特點

【變異】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）-6abc>0再變異為a（（b2+c2）-2bc）+b（（a2+c2）-2ac）+c（（a2+b2）-2ab）>0

【分析】  采用綜合法證明，利用性質（a2+b2）≥2ab.證明：略

本題主要考查不等式的證明．證明用到了分析法，分析法是從要證明的結論出發(fā)，一步步相前推，得到一個恒成立的不等式，或明顯成立的結論即可．

例2. 已知，? 求證：。      證法一（綜合法）：

證法二（分析法）：，為了證明Y，? 只需證明  X，? 即C，? 即B，A，? 即Z.? 成立，? 成立

說明：分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，分析法的證明過程恰恰是綜合法的分析、思考過程，綜合法的證明方法是分析思考過程的逆推.

例3. 已知a，b，c∈R+，求證：

（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；

分析： 用綜合法證明，注意構造定理所需條件.

證明：

（1）ab+a+b+1=（a+1）（b+1），

ab+ac+bc+c2=（a+c）（b+c）.

∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥16abc

因此，當a，b，c∈R+，有

（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc.

說明： 用均值定理證明不等式時，一要注意定理適用的條件，二要為運用定理對式子作適當變形，把式子分成若干部分，對每部分運用均值定理后，再把它們相加或相乘.

例4. 已知：a，b∈R＋，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b＋ab2.

求差比較

證法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2.

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，

進而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，

所以a3＋b3＞a2b-ab2.

分析法：

證法2：

欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，

即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

因為a＋b＞0，

故只需證a2-ab＋b2＞ab，

即證a2-2ab＋b2＞0，

即證（a-b）2＞0，

因為a≠b，

所以（a-b）2＞0成立，

所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立.

綜合法：

證法3：

由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，則a2-ab＋b2＞ab

又a＋b＞0，則（a＋b）?（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

即a3＋b3＞a2b＋ab2.

注：熟練地應用學過的證明方法，對同一命題用三種方法進行了證明，開闊了思路. 應學會針對具體題目，靈活地選取方法.

例5. 用數學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*

證明：①當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除

②假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，

42（k+1）+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3－42k+1?3+42k+1?3

=42k+1?13+3?（42k+1+3k+2?）

∵42k+1?13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴當n=k+1時也成立 

由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除 

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、已知f（n）=（2n+7）?3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈N,都能使m整除f（n），則最大的m的值為（    ）

A. 30                    B. 26                            C. 36                    D. 6

2、如果命題p（n）對n=k成立，則它對n=k+2也成立，又若p（n）對n=2成立，則以下說法正確的是（   ）

A. p（n）對所有的正整數n成立

B. p（n）對所有的正偶數n成立

C. p（n）對所有的正奇數n成立

D. p（n）對所有大于1的正整數n成立。

3、對于任意實數a、b、c、d，命題①；②

③；④；⑤.

其中真命題的個數是 （     ）

A. 1                     B. 2                             C. 3                 D. 4 

4、數列1，，，…前100項的和等于（   ）

A.             B.                                  

5、中有（    ）個不小于2

A. 3                     B. 0                             C. 至少一個               D. 至多1個

6、設，且的取值范圍是（    ）

A.                                        B. 

C.                                             D. 

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為________，由此猜想an=________ 

8、已知x>0,y>0.且x+2y+xy=30,則xy的最大值為________

9、有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，則這n個圓把平面分成f（n）＝_______個部分.

10、若△的內切圓半徑為，三邊長為、、，則△的面積為。若四面體的內切球半徑為，四個面的面積為、、、，則四面體的體積____________________.

三、解答題（本大題共4題，共50分）

11、已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求證：|am+bn|≤1.

12、若a、b、c是不全相等的正數，求證：

13、在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列 

（1）求a2,a3,a4，并推出an的表達式；

（2）用數學歸納法證明所得的結論；

（3）求數列{an}所有項的和 

14、已知，，，求證：在三數中，不可能都大于.

【試題答案】

1、解析：∵f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360=10×36

∴f（1）,f（2）,f（3）能被36整除，猜想f（n）能被36整除。

證明：n=1,2時，由上得證，設n=k（k≥2）時，

f（k）=（2k+7）?3k+9能被36整除，則n=k+1時，

f（k+1）－f（k）=（2k+9）?3k+1?－（2k+7）?3k

=（6k+27）?3k－（2k+7）?3k

=（4k+20）?3k=36（k+5）?3k－2?（k≥2）

f（k+1）能被36整除

∵f（1）不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36。

答案：C

2、B

3、A

4、A

5、C

6、C

解：設，

    則

7. 解析：

、、、  

8、18

9、f（n）＝n2-n＋2

10、

11、證法一：（比較法）

證法二：（分析法）

∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立.

證法三：（綜合法）

∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0.

即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn|

∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）

∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1

∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1.

證法四：（換元法）

由已知，可設a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ.

于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1.

【說明】一個不等式的證明方法往往不只一種，要注意依據題目特點選擇恰當的方法.

12、證明：∵a，b，c∈R+，

abc成立. 上式兩邊同取常用對數，得

13、解  ∵an,Sn,Sn－成等比數列，

∴Sn2=an?（Sn－）（n≥2）                       （*）

（1）由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入（*）式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入（*）式得  a3=－

同理可得  a4=－,由此可推出  an=

（2）①當n=1,2,3,4時，由（*）知猜想成立 

②假設n=k（k≥2）時，ak=－成立

故Sk2=－?（Sk－）

∴（2k－3）（2k－1）Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= （舍）

由Sk+12=ak+1?（Sk+1－）,得（Sk+ak+1）2=ak+1（ak+1+Sk－）

由①②知，an=對一切n∈N成立 

（3）由（2）得數列前n項和Sn=,∴S=Sn=0 

14、分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明. 假設命題不成立，則三數都大于，從這個結論出發(fā)，進一步去導出矛盾.

證明：假設三數都大于，

即，，.

又∵，，，

∴，，.

∴   ①

又∵，，.

以上三式相加，即得：

  ②

顯然①與②相矛盾，假設不成立，故命題獲證.

說明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關鍵在于“歸謬”，同時，在反證法的證明過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想.