第三章、假設(shè)檢驗(yàn)

　　　　一、引言：

　　　　二、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

　　　　　　1、單正態(tài)總體 N(μ, σ²)均值 μ 的檢驗(yàn)

　　　　　　　?。?） 雙邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀ 

　　　　　　　?。?） 單邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀

　　　　　　2、兩個(gè)正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和  N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗(yàn) H₀: μ₁ = μ₂；H₁: μ₁≠μ₂ 

 　　　　　　  　（2） 單邊檢驗(yàn) H₀: μ₁ >= μ₂；H₁: μ₁<μ₂ 

　　　　　　　?。?） 單邊檢驗(yàn) H₀: μ₁ <= μ₂；H₁: μ₁>μ₂ 

　　　　三、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)

　　　　　　1、單個(gè)正態(tài)總體方差的 χ2 檢驗(yàn)

　　　　　　　?。?） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² ≠σ₀²

　　　　　　　?。?） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² >σ₀²

　　　　　　　　（3)  H₀: σ² ≤σ₀²；H₁: σ² > σ₀² (同2.)

　　　　　　2、兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗(yàn)

　　　　　　　　　(1).  H₀: σ₁² = σ₂²；H₁: σ₁² ≠  σ₂².

　　　　　　　　 （2） H₀: σ₁² = σ₂²；H₁:    σ₁²> σ₂²

　　　　　　　　 （3） H₀: σ₁² ≤ σ₂²；H₁:    σ₁²> σ₂²

第三章、假設(shè)檢驗(yàn)

　　一、引言：

　　下面，我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題——根據(jù)樣本提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問(wèn)題。這類問(wèn)題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。

　　假設(shè)檢驗(yàn)可分為兩類：

　　1、參數(shù)檢驗(yàn)：總體分布已知情形下，檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)。

　　2、非參數(shù)檢驗(yàn)：總體分布未知情形下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

　　先看一個(gè)例子：

　　【例1】某工廠生產(chǎn) 10 歐姆的電阻，根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況，可以認(rèn)為: 電阻值 X服從正態(tài)分布 N(μ, 0.1²)?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取10個(gè)電阻, 測(cè)得它們的電阻值為:9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2.問(wèn): 從樣本看，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值 μ = 10 歐姆?

　　I.  如何建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>

　　●  確定總體：記 X 為該廠生產(chǎn)電阻的測(cè)值，則 ：X ～ N(μ, 0.1²)；

　　●  明確任務(wù)：通過(guò)樣本推斷 “X 的均值 μ 是否等于10歐姆”；

　　●  假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過(guò)樣本檢驗(yàn)“X 的均值μ =10”這一假設(shè)是否成立。

　　在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ X 的均值 μ =10” 這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)”,記成 “ H₀：μ =10”。

　　原假設(shè)的對(duì)立面是 “ X  的均值   μ ≠10”，稱為  “對(duì)立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)”，記成   “ H₁:μ ≠10”。把原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)合寫在一起，就是:H₀：μ =10； H₁：μ≠10.

　　II.  解決問(wèn)題的思路

　　這里的問(wèn)題是：如何確定常數(shù) c 呢？細(xì)致地分析:根據(jù)中心極限定理，有

　　為確定常數(shù) c，我們考慮一個(gè)很小的正數(shù)a， 如a = 0.05。當(dāng)原假設(shè) H₀: μ =10 成立時(shí)，有

　　III.  方法原理：小概率發(fā)生（落入拒絕域），則拒絕。

　　IV. 兩類錯(cuò)誤與顯著性水平

　　當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H₀ 時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：H₀ 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯(cuò)誤，即拋棄了正確假設(shè)；H₀ 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。

      因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)誤。

　　通常用 α 和 β  記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即 

　　α = P{ 拒絕H₀ | H₀ 為真 }

　　β = P{ 接受H₀ | H₀ 為假 }

　　在檢驗(yàn)問(wèn)題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率;反之亦然。 所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)得到控制。

　　在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù) a(0<a<1)，要求犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò) a。稱 a 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，簡(jiǎn)稱水平。犯第二類錯(cuò)誤的概率的計(jì)算超出了課程的學(xué)習(xí)范圍。因此，不作討論。   

　　【例1(續(xù))】分析該例的顯著性水平。

　　現(xiàn)在我們來(lái)分析一下：取上述  c  后，如果  H₀ 是正確的，卻被我們拒絕了。這時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少呢？

二、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

1、單正態(tài)總體 N(μ, σ²)均值 μ 的檢驗(yàn)

（1） 雙邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀ 

　　假設(shè) σ²已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當(dāng)原假設(shè) H₀:  μ = μ₀ 成立時(shí)，有 

　　以上檢驗(yàn)法稱作 U 檢驗(yàn)法。

　　在應(yīng)用上，σ²未知的情況是常見(jiàn)的。此時(shí)，和前面不同的是：常用樣本方差 S²代替未知的σ² 。

　　此檢驗(yàn)法稱作  t  檢驗(yàn)法。

（2） 單邊檢驗(yàn) H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀ 

　　上一段中， H₀:μ=μ₀ ;  H₁: μ≠μ₀ 的對(duì)立假設(shè)為 H₁: μ ≠μ₀ , 該假設(shè)稱為雙邊對(duì)立假設(shè)。而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為 H₁: μ >μ₀,  稱為右邊對(duì)立假設(shè)。

 　　類似地，H₀: μ =μ₀; H₁: μ <μ₀ 中的對(duì)立假設(shè)H₁: μ <μ₀，假設(shè)稱為左邊對(duì)立假設(shè)。右邊對(duì)立假設(shè)和左邊對(duì)立假設(shè)統(tǒng)稱為單邊對(duì)立假設(shè)，其檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)。

　　例如：工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，均值為 μ₀ ；采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)還服從正態(tài)分布，但均值為 μ。我們想了解 “μ是否顯著地大于μ₀”,即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了。

　　【例 2】某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來(lái)生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值 μ₀ =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說(shuō)繩子所承受的最大拉力 μ 比15公斤增大了。

    為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.5公斤。取顯著性水平a =0.01。問(wèn)從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。

2、兩個(gè)正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和  N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　在應(yīng)用上，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體均值的比較問(wèn)題。

　　例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和 N(μ₂, σ₂²)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問(wèn)題，就變?yōu)楸容^這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 μ₁和 μ₂的的問(wèn)題。

　　又如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術(shù)實(shí)施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和 N(μ₂, σ₂²)。這時(shí)，所考察的問(wèn)題就歸結(jié)為檢驗(yàn)這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 μ₁和 μ₂是否相等的問(wèn)題。   

【說(shuō)明】

　　上面，我們假定 σ₁²=σ₂²。當(dāng)然，這是個(gè)不得已而強(qiáng)加上去的條件，因?yàn)槿绻患哟藯l件，就無(wú)法使用簡(jiǎn)單易行的 t 檢驗(yàn)。

      在實(shí)用中，只要我們有理由認(rèn)為σ₁²和σ₂²相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗(yàn)未被拒絕(見(jiàn)下節(jié)), 就認(rèn)為σ₁²和σ₂²相差不是太大。

　　【例3】假設(shè)有A和B兩種藥，欲比較它們?cè)诜?小時(shí)后在血液中的含量是否一樣。對(duì)藥品A，隨機(jī)抽取8個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測(cè)得8個(gè)病人血液中藥物濃度(用適當(dāng)?shù)膯挝?分別為:

     1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.

　　對(duì)藥品B，隨機(jī)抽取6個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測(cè)得血液中藥的濃度分別為: 1.76, 1.41,  1.87, 1.49, 1.67, 1.81.

　　假定這兩組觀測(cè)值抽自具有共同方差的兩個(gè)正態(tài)總體，在顯著性水a(chǎn)=0.10下，檢驗(yàn)病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?

三、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)

　　1、單個(gè)正態(tài)總體方差的 χ2 檢驗(yàn)

　　設(shè) X₁, X₂, …, X_n 為來(lái)自總體 N(μ , σ²) 的樣本，μ  和 σ²未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為 a  的檢驗(yàn)。

　　（1） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² ≠σ₀²

　　【思路分析】利用樣本方差 S²是 σ²的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，且 (n-1)S²/  σ² ~ χ²_n-1 的結(jié)論。

　　當(dāng)原假設(shè) H₀: σ² = σ₀²成立時(shí)，S²和σ₀²應(yīng)該比較接近，即比值 S²/σ₀²應(yīng)接近于1。所以,這個(gè)比值過(guò)大或過(guò)小 時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)。

     合理的做法是:  找兩個(gè)合適的界限 c₁ 和 c₂ ,

　　● 當(dāng) c₁<(n-1)S²/σ₀² < c₂ 時(shí)，接受H₀；

　　● 當(dāng) (n-1)S²/σ₀²≤c₁ 或 (n-1)S²/σ₀²≥c₂ 時(shí),   拒絕 H₀ 。    

　?。?） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² >σ₀²

　　（3)  H₀: σ² ≤σ₀²；H₁: σ² > σ₀² (同2.)

　　【例1】某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑 (單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 σ₀=0.048 。現(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)部件，測(cè)得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.

取a=0.05，問(wèn):

　　(1). 能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為σ= σ₀?

　　(2). 能否認(rèn)為σ ≤ σ₀?

　　解:  (1). 的問(wèn)題就是檢驗(yàn)H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² ≠σ₀². 其中，n=5，a =0.05，σ₀=0.048.

　　(2).  的問(wèn)題是檢驗(yàn)H₀: σ² ≤σ₀²；H₁: σ² > σ₀².

　　2、兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗(yàn)

　　設(shè)X₁, X₂, …, X_m和Y₁, Y₂, …, Y_n 分別為抽自正態(tài)總體 N(μ₁ , σ₁²)和 N(μ₂ , σ₂²)的樣本,  欲檢驗(yàn)

　　(1).  H₀: σ₁² = σ₂²；H₁: σ₁² ≠  σ₂².

　　該檢驗(yàn)主要用于上節(jié)中實(shí)施兩樣本 t 檢驗(yàn)之前，討論  σ₁² = σ₂² 的假設(shè)是否合理。

【思路分析】

　　因兩總體 N(μ₁ , σ₁²)和 N(μ₂ , σ₂²)的樣本方差S₁²和S₂²分別為σ₁²和σ₂²的無(wú)偏估計(jì)。所以,直觀上講，S₁²/S₂² 是σ₁²/σ₂²的一個(gè)好的估計(jì)。

　　當(dāng)  H0:  σ₁² = σ₂² 成立時(shí),  σ₁²/σ₂²=1,  作為其估計(jì)，S₁²/S₂²也應(yīng)與 1 相差不大。當(dāng)該值過(guò)分地大或過(guò)分地小時(shí)，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。

    合理的思路是：找兩個(gè)界限c₁和c₂,

　　　　● 當(dāng) c₁< S₁²/S₂² < c₂ 時(shí)，接受H₀；

　　　　● 當(dāng) S₁²/S₂² ≤ c₁, 或 S₁²/S₂² ≥ c₂ 時(shí),  拒絕H₀ 。

　　（2） H₀: σ₁² = σ₂²；H₁:    σ₁²> σ₂²

　　（3） H₀: σ₁² ≤ σ₂²；H₁:    σ₁²> σ₂²

　　　　結(jié)論同 2。

　　【例2】甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別隨機(jī)地抽取12個(gè)和10個(gè)樣品,測(cè)得它們的電阻值后，計(jì)算出樣本方差分別為S₁²=1.40，S₂²=4.38。假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布   N(μ₁ , σ₁²)和 N(μ₂ , σ₂²)。在顯著性水平 a = 0.10下, 是否可接受：   (l).σ₁² =σ2²；(2).σ₁²≤σ2².