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量子的腳步很快就走進(jìn)了1925年。這一年，奧地利物理學(xué)家薛定諤（Schr?dinger，1887年-1961年）受德拜之邀在蘇黎世作了一個(gè)介紹德布羅意“物質(zhì)波”的演講。在這場(chǎng)報(bào)告上，德拜的一個(gè)問題點(diǎn)醒了薛定諤。1926年，著名的薛定諤方程便橫空出世了！ 
撰文 | 張?zhí)烊?/span> 奧地利在我們眼中是一個(gè)音樂的國度，維也納更是著名的音樂之鄉(xiāng)，是“音樂之聲”遍地流淌的地方！并且，論起科學(xué)來，奧地利也是毫不遜色的人才輩出之地。仔細(xì)算一算的話，奧地利的著名物理學(xué)家還真不少！ 上一篇中介紹的泡利是在奧地利維也納出生的，他是年輕的量子達(dá)人。1925年薛定諤作報(bào)告時(shí)，泡利才25歲。薛定諤也誕生于維也納，比泡利大13歲，所以當(dāng)時(shí)已經(jīng)可算是老前輩了。 在薛定諤之前，還有以多普勒效應(yīng)聞名的多普勒、著名的哲學(xué)家兼物理學(xué)家馬赫、研究統(tǒng)計(jì)物理的玻爾茲曼、原子物理學(xué)家中的著名女將邁特納等等，加上后來的人物，列起名字來有一大串，其中也不乏諾貝爾獎(jiǎng)得主。 如果不限于物理學(xué)家，擴(kuò)大到其它學(xué)科，就更多了，例如：遺傳之父孟德爾。 愛因斯坦勤點(diǎn)撥 風(fēng)流才子遇機(jī)會(huì) 薛定諤1906年到1910年在維也納大學(xué)物理系學(xué)習(xí)，在那兒完成了他的大學(xué)學(xué)位，并度過了早期的科學(xué)研究生涯。維也納大學(xué)是玻爾茲曼（Boltzmann ，1844年－1906年）畢生工作之處，因此，薛定諤受玻爾茲曼科學(xué)思想的影響頗深，早年從事的研究工作便是氣體分子運(yùn)動(dòng)論和統(tǒng)計(jì)力學(xué)方面的課題，他曾深入地研究過連續(xù)物質(zhì)物理學(xué)中的本征值問題。
1921年，薛定諤受聘到瑞士蘇黎世大學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，繼續(xù)研究與氣體分子運(yùn)動(dòng)論相關(guān)的問題。正在這個(gè)時(shí)候，玻色與愛因斯坦提出了一種簡并氣體的新的統(tǒng)計(jì)方法。因而，薛定諤的工作也引起愛因斯坦的興趣。開始，薛定諤對(duì)玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的思想很不理解，特地寫信給愛因斯坦，與他進(jìn)行討論。之后幾年間，雙方有多次信件來往，因此可以說愛因斯坦是薛定諤的直接引路人。1924年，薛定諤寫了一篇有關(guān)氣體簡并與平均自由程的文章，詳細(xì)評(píng)述了理想氣體熵的計(jì)算問題。愛因斯坦對(duì)薛定諤的文章作了高度評(píng)價(jià)并將德布羅意波的想法介紹給薛定諤：“一個(gè)物質(zhì)粒子或物質(zhì)粒子系可以怎樣同一個(gè)（標(biāo)量）波場(chǎng)相對(duì)應(yīng)，德布羅意先生已在一篇很值得注意的論文中提出了?！敝?，薛定諤曾回信表示自己“懷著極大的興趣拜讀了德布羅意的獨(dú)創(chuàng)性的論文，并且終于掌握了它”。后來，才有了我們本篇開頭所言之事：薛定諤在蘇黎世作介紹德布羅意波的演講。當(dāng)時(shí)，薛定諤的精彩報(bào)告激起了聽眾的極大興趣，也使薛定諤自己開始思考如何建立一個(gè)微分方程來描述這種“物質(zhì)波”。因?yàn)楫?dāng)時(shí)作為會(huì)議主持人的德拜教授就問過薛定諤：“物質(zhì)微粒既然是波，那有沒有波動(dòng)方程？”薛定諤明白這的確是個(gè)問題，也是自己的一個(gè)大好機(jī)會(huì)！薛定諤想，這個(gè)波動(dòng)方程一旦被建立起來，首先可以應(yīng)用于原子中的電子上，結(jié)合玻爾的原子模型，描述氫原子內(nèi)部電子的物理行為，解釋索末菲模型的精細(xì)結(jié)構(gòu)。就這樣，薛定諤綜合玻色、愛因斯坦、德布羅意的思想，首先將自己原來氣體理論的研究工作做了一個(gè)總結(jié)，于1925年12月15日發(fā)表了一篇題為《論愛因斯坦的氣體理論》的文章。這篇文章中，薛定諤充分運(yùn)用了德布羅意的理論，將它用來研究自由粒子的運(yùn)動(dòng)。顯而易見，這個(gè)工作的下一步，便是將德布羅意的理論用來研究最簡單的束縛態(tài)粒子，即氫原子中的電子。然而，那不是像自由粒子運(yùn)動(dòng)那么簡單了，薛定諤明白，首要任務(wù)是要建立一個(gè)方程！不過，這時(shí)候到了圣誕節(jié)的假期，風(fēng)流倜儻的薛定諤正好碰見了一位早期交往過的神秘女友，兩人舊情復(fù)發(fā)，相約去到白雪皚皚的阿爾卑斯山上度假數(shù)月。風(fēng)流才子果然名不虛傳，物理研究十分重要，情人約會(huì)也必不可少。沒料到美麗的愛情居然大大激發(fā)了薛定諤的科學(xué)靈感，著名的薛定諤方程橫空出世！波動(dòng)方程顯威力 原子模型得解釋 在1926年的1月、2月、5月、6月，薛定諤接連發(fā)表了4篇論文。實(shí)際上，在3月和4月也穿插發(fā)表了兩篇相關(guān)的重要文章。這一連串射出并爆炸的6發(fā)“炮彈”，正式宣告了波動(dòng)力學(xué)的誕生。 第一篇（1月）論文《量子化是本征值問題I》，將量子化的實(shí)質(zhì)歸結(jié)于數(shù)學(xué)上的本征值問題。薛定諤在大學(xué)期間深入研究過的連續(xù)介質(zhì)本征值問題，在這兒派上了用場(chǎng)。原來所謂“玻爾—索末菲量子化條件”，并不是什么需要人為規(guī)定的東西，而實(shí)際上是求解勢(shì)阱中本征值問題自然得到的結(jié)論。根據(jù)這個(gè)思想，薛定諤建立了氫原子的定態(tài)薛定諤方程并求解，給出氫原子中電子的能級(jí)公式，計(jì)算氫原子的譜線，得到了與玻爾模型及實(shí)驗(yàn)符合得很好的結(jié)果。第二篇（2月）論文《量子化是本征值問題II》，從含時(shí)的哈密頓—雅克比方程出發(fā)，建立一般的薛定諤方程，討論了方程的求解，并從經(jīng)典力學(xué)和幾何光學(xué)的類比及物理光學(xué)到幾何光學(xué)過渡的角度，闡述了他建立波動(dòng)力學(xué)的思想，解釋了波函數(shù)的物理意義。當(dāng)年的薛定諤，探求描述電子波粒二象性的動(dòng)力學(xué)方程，自然首先到經(jīng)典物理中尋找對(duì)應(yīng)物。電子作為經(jīng)典粒子，是用牛頓定律來描述的，如何描述它的波動(dòng)性呢？考察經(jīng)典力學(xué)理論，除了用牛頓力學(xué)方程表述之外，還有另外幾種等效的表述方式，它們可以互相轉(zhuǎn)換，都能等效地描述經(jīng)典力學(xué)。這些經(jīng)典描述中，哈密頓-雅可比方程是離波動(dòng)最接近的。當(dāng)初，哈密頓和雅可比提出這個(gè)方程，就是為了將力學(xué)與光學(xué)作類比。
圖1. 薛定諤方程的導(dǎo)出 3月的文章《微觀力學(xué)到宏觀力學(xué)》，闡明量子力學(xué)與牛頓力學(xué)之間的聯(lián)系。4月的文章《論海森伯、波恩、約當(dāng)量子力學(xué)和薛定諤量子力學(xué)的關(guān)系》，從特例出發(fā)，證明矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)可以相互變換。5月、6月的兩篇文章，分別建立定態(tài)及含時(shí)的微擾理論及其應(yīng)用。總結(jié)歸納一下薛定諤方程的建立過程，有如下幾個(gè)要點(diǎn)： - 定態(tài)問題就是求解一定邊界條件下的本征方程，以此來計(jì)算原子中電子的能級(jí)；
- 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓—雅克比方程，不但可以描述粒子的運(yùn)動(dòng)，也可以用來描述光波的傳播，可以將其推廣而建立電子的量子波動(dòng)方程；
- 根據(jù)德布羅意位相波理論，電子可以看成一種波，反映其粒子性的動(dòng)量、能量與其相應(yīng)的波的波長、頻率的關(guān)系，由德布羅意—愛因斯坦公式給出。
薛定諤綜合這些要點(diǎn)，導(dǎo)出了薛定諤方程，其中關(guān)鍵思想是來自于德布羅意物質(zhì)波的啟示，其間愛因斯坦起了重要作用，因此人們認(rèn)為，愛因斯坦是波動(dòng)力學(xué)的主要“推手”。復(fù)數(shù)加算符 量子之要素 比較一下圖1右上和右下公式中的薛定諤方程和哈密頓-雅可比方程，可以看出經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的“零波長極限”，實(shí)際上也就是當(dāng)普朗克常數(shù)h趨于0時(shí)候的極限。普朗克常數(shù)h在這兒又出現(xiàn)了，正如之前所說的，它是量子的標(biāo)志。 薛定諤方程和哈密頓-雅可比方程都是偏微分方程，公式中將時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)明顯地寫成了時(shí)間微分算符的形式。經(jīng)典方程中的算符是(?/ ?t)，薛定諤方程中的算符中則多了一個(gè)乘法因子（-i?），是虛數(shù)i和約化普朗克常數(shù)?（=h/2π）的乘積。這兒h表征量子，h數(shù)值很小，因而薛定諤方程只在微觀世界才有意義。虛數(shù)i，則代表了波動(dòng)的性質(zhì)，對(duì)波動(dòng)而言，每一個(gè)點(diǎn)的“運(yùn)動(dòng)”不但有振幅，還有相位。相位便會(huì)將復(fù)數(shù)的概念牽扯進(jìn)來。因此，薛定諤方程將普朗克常數(shù)、復(fù)數(shù)、還有算符結(jié)合一起，這三者構(gòu)成新量子論之?dāng)?shù)學(xué)要素。算符對(duì)量子尤其重要，因?yàn)樵诹孔永碚撝校Ｗ拥能壍栏拍钍チ艘饬x，原來的經(jīng)典物理量均被表示為算符。什么是算符？算符即運(yùn)算符號(hào)，并不神秘，實(shí)際上，一般的函數(shù)和變量，都可以算是算符，矩陣是不對(duì)易的算符的例子，上文中所示的 (?/ ?t)，是大家所熟悉的微分算符，也就是微分。微分算符通常作用在函數(shù)上，將一個(gè)函數(shù)作微分變成另一個(gè)函數(shù)。量子力學(xué)中的微分算符作用在系統(tǒng)的量子態(tài)（波函數(shù)）上，將一個(gè)量子態(tài)變成另一個(gè)量子態(tài)。
從算符的角度看，薛定諤方程看起來只是個(gè)簡單的恒等式：左邊是算符 (i??/ ?t) 作用在波函數(shù)上，右邊等于算符H作用于同一波函數(shù)上。能量算符H描述系統(tǒng)的能量，在具體條件下有其具體的表達(dá)式。一般來說，量子系統(tǒng)的能量表達(dá)式可以從它所對(duì)應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的能量公式得到，只需要將對(duì)應(yīng)的物理量代之以相應(yīng)的算符就可以了。比如說，一個(gè)經(jīng)典粒子的總能量可以表示成動(dòng)能與勢(shì)能之和：將總能量表達(dá)式中的動(dòng)量p及勢(shì)能V，代之以相應(yīng)的量子算符，就可得到這個(gè)粒子（系統(tǒng)）對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)能量算符。然后，將此總能量算符表達(dá)式作用在電子的波函數(shù)上，一個(gè)單電子的薛定諤方程便可以被寫成如下具體形式：
上述薛定諤方程是“非相對(duì)論”的，因?yàn)槲覀兪菑牧Ｗ印胺窍鄬?duì)論”的能量動(dòng)量關(guān)系出發(fā)得到了它。所以，薛定諤方程有一個(gè)不足之處：它沒有將狹義相對(duì)論的思想包括進(jìn)去，因而只能用于非相對(duì)論的電子，也就是只適用于電子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)的情形?？紤]相對(duì)論，粒子的總能量關(guān)系式應(yīng)該是：薛定諤曾經(jīng)試圖用上述相對(duì)論總能量公式來構(gòu)建方程。但因?yàn)槠渥筮吺荅的平方，相應(yīng)的算符便包含對(duì)時(shí)間的2階偏導(dǎo)，這樣構(gòu)成的方程實(shí)際上就是后來的克萊因-高登方程。但是，薛定諤從如此建造的方程中，沒有得到令人滿意的結(jié)果，還帶給人們所謂負(fù)數(shù)幾率的困惑。之后，狄拉克解決了這個(gè)問題，此是后話。薛定諤的貓 弄拙反成巧 薛定諤方程是薛定諤對(duì)量子力學(xué)的最大貢獻(xiàn)，但廣大民眾知道薛定諤的名字，或許是由于一部有關(guān)他的舞臺(tái)浪漫喜劇《薛定諤的女朋友》，也可能是因?yàn)樵S多量子力學(xué)科普讀物中經(jīng)常描述的“薛定諤的貓”！ 薛定諤的貓，是薛定諤1935年在一篇論文中提出的一個(gè)佯謬，也被稱為“薛定諤佯謬”，實(shí)際上，是一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)。薛定諤1926年創(chuàng)立了薛定諤方程，成功地解出了氫原子的波函數(shù)，這是一個(gè)十分難得非常美妙的解析解！比玻爾模型更為精確地解釋了實(shí)驗(yàn)中得到的光譜數(shù)據(jù)及精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的意義等等。雖然再要找其它更多的解析解就難之又難，但對(duì)氫原子的成功，使人們相信新量子論，即量子力學(xué)的正確性。電子既是粒子，又是波。粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用牛頓定律描述，“粒子波”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用薛定諤方程描述。牛頓方程的解：x(t)，是空間位置x隨時(shí)間變化的一條曲線，顯示粒子在空間運(yùn)動(dòng)的軌道。薛定諤方程的解：ψ(x,t)，是一個(gè)空間及時(shí)間的復(fù)數(shù)函數(shù)“波函數(shù)”。牛頓經(jīng)典軌道x(t)只是一條線，量子波函數(shù)解 ψ(x,t) 卻彌漫于整個(gè)空間。粒子軌道的概念容易被人接受，但對(duì)波函數(shù)的解釋卻眾說紛紜。 因此，盡管有了波函數(shù)，對(duì)它的解釋卻成了問題。薛定諤自己曾經(jīng)想把它解釋為電荷的分布函數(shù)，這個(gè)想法，連他自己都覺得不現(xiàn)實(shí)。在對(duì)量子論的態(tài)度上，薛定諤與普朗克和愛因斯坦有類似之處，他們都是量子思想的奠基者，但又是被經(jīng)典哲學(xué)牢牢捆住的“老頑固”。革命的科學(xué)精神引領(lǐng)他們不停地披荊斬棘開墾處女地，而開墾地上長出來的果實(shí)又狠狠地給他們腦袋重重一擊！將腦海中許多固有的經(jīng)典觀念敲得咚咚響。薛定諤在愛氏祖師爺?shù)耐苿?dòng)下建立了波動(dòng)力學(xué)解出了波函數(shù)，反過頭來卻不知其為何物，即便有玻恩玻爾等提出概率解釋、“哥本哈根詮釋”等等，他們卻接受不了。微觀疊加態(tài)的特點(diǎn)與宏觀規(guī)律是如此不同，物理學(xué)家如薛定諤也想不通。于是，薛定諤在1935年發(fā)表了一篇論文，題為《量子力學(xué)的現(xiàn)狀》。在論文的第5節(jié)，薛定諤便設(shè)計(jì)了一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，在這個(gè)試驗(yàn)中，他把量子力學(xué)中的反直觀效果轉(zhuǎn)嫁到日常生活中的事物上來，試圖將微觀不確定性變?yōu)楹暧^不確定性，微觀的迷惑變?yōu)楹暧^的佯謬，也就是說，將微觀世界中疊加態(tài)的概念轉(zhuǎn)嫁到“貓”的身上，如此而導(dǎo)致一個(gè)荒謬的結(jié)論：一只現(xiàn)實(shí)世界中不可能存在的“又死又活”的可怖的貓！薛定諤想以此來嘲笑玻爾等對(duì)量子物理的統(tǒng)計(jì)解釋，但反而向大眾科普了量子論的基本思想及哥本哈根詮釋。按照量子理論：如果沒有揭開蓋子，進(jìn)行觀察，薛定諤的貓的狀態(tài)是“死”與“活”的疊加。此貓將永遠(yuǎn)處于同時(shí)是死又是活的疊加態(tài)。這與我們的日常經(jīng)驗(yàn)嚴(yán)重相違。一只貓，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活呢？這個(gè)聽起來似乎荒謬的物理理想實(shí)驗(yàn)，卻描述了微觀世界的真實(shí)現(xiàn)象。它不僅在物理學(xué)方面極具意義，在哲學(xué)方面也引申了很多的思考。這只貓的確令人毛骨悚然，使得相關(guān)的爭論一直持續(xù)到今天。連當(dāng)今偉大的物理學(xué)家霍金也曾經(jīng)憤憤地說：“當(dāng)我聽說薛定諤的貓的時(shí)候，我就想跑去拿槍，干脆一槍把貓打死！”在宏觀世界中，既死又活的貓不可能存在，但許多許多實(shí)驗(yàn)都已經(jīng)證實(shí)了微觀世界中疊加態(tài)的存在，以及被測(cè)量時(shí)疊加態(tài)的坍縮。通過薛定諤的貓，人們認(rèn)識(shí)到微觀現(xiàn)象與宏觀之不同，微觀疊加態(tài)的存在，是量子力學(xué)最大的奧秘，是量子現(xiàn)象給人以神秘感的根源，是我們了解量子力學(xué)的關(guān)鍵。出版“生命是什么” 跨界物理和生物 薛定諤還寫過一本生物學(xué)方面的書和許多科普文章。1944年，他出版了《生命是什么》一書。此書中薛定諤自己發(fā)展了分子生物學(xué)，提出了負(fù)熵的概念，他想通過物理的語言來描述生物學(xué)中的課題。之后發(fā)現(xiàn)了DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的瓦森（James D. Watson）與克里克（Francis Crick），都表示曾經(jīng)深受薛定諤這本書的影響。 科學(xué)界有一句玩笑話，說在物理學(xué)家看來，所有的問題都是物理學(xué)的問題。事實(shí)上，這句話也不是沒有道理，物理學(xué)是研究大自然基本規(guī)律的科學(xué)，大自然包括了萬物。既然生命體系是大自然的一部分，那就當(dāng)然也逃不掉最基本的物理定律。薛定諤是一位物理學(xué)家。他也希望從物理學(xué)的角度去理解生命是什么，認(rèn)為物理學(xué)能夠?qū)斫馍谋举|(zhì)提供獨(dú)特的啟發(fā)。在薛定諤的時(shí)代，科學(xué)家還沒有完全理解遺傳的物質(zhì)基礎(chǔ)是什么。當(dāng)時(shí)的技術(shù)條件僅僅能識(shí)別染色體，人們還不知道DNA的內(nèi)部組成成分，不知道遺傳物質(zhì)是核酸。但薛定諤覺得，物理學(xué)的研究方法一定能對(duì)理解生命的本質(zhì)有幫助。所以他寫了那本書，果然影響了后人對(duì)DNA的發(fā)現(xiàn)，之后也促進(jìn)了物理生物學(xué)的發(fā)展，至今也還有一定的意義。薛定諤在書中還提出了另一個(gè)“負(fù)熵”的革命性觀點(diǎn)。熱力學(xué)第二定律認(rèn)為熵增是一個(gè)自發(fā)的由有序向無序發(fā)展的過程，最終將歸于熱寂。然而，生命現(xiàn)象卻能夠生生不息，不斷地做到從無序到有序。當(dāng)時(shí)薛定諤的觀點(diǎn)是，生命體處于一個(gè)開放狀態(tài)下，不斷地從環(huán)境中汲取“負(fù)熵”，使得有機(jī)體能成功地消除了當(dāng)它自身活著的時(shí)候產(chǎn)生的熵。普利高津后來提出了“耗散結(jié)構(gòu)”，試圖解釋無序如何能達(dá)到有序，目前，這些仍然是熱門的研究課題。未來的生命科學(xué)，將和物理、化學(xué)、工程等結(jié)合交叉在一起，實(shí)現(xiàn)薛定諤的愿望。 當(dāng)年的量子江湖上派別林立人物眾多，如果就地域而言有三大巨頭：哥本哈根的玻爾、慕尼黑的索末菲和哥廷根的玻恩。玻爾和索末菲都已經(jīng)介紹過了，下周，我們就來講講德國物理學(xué)家馬克斯·玻恩的故事。敬請(qǐng)期待！
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