針對學(xué)友提出的“入門容易，但不會(huì)解題”這一問題，針對函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)常用題型，整理出來，供參考。

初中學(xué)二次函數(shù)時(shí)，學(xué)生熟悉這個(gè)語句：y隨x的增大而增大，y隨Ⅹ的增大而減小。這就是高中函數(shù)的單調(diào)性。

y隨X的增大而增大，從圖象上看是上升的，即對任意的X1，X2∈D，且Ⅹ1<X2，有f(X1)<f(X2)，也就是增函數(shù)。

y隨X的增大而減小，從圖象上看是下降的，即對任意的X1，X2∈D，且Ⅹ1<Ⅹ2，有f(X1)>f(X2)，也就是減函數(shù)。

增加的部分①D是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間，所以單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。②單調(diào)區(qū)間。③增減離不開區(qū)間。

函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)圖象上升或下降狀態(tài)的一種描述。對已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)，直接利用性質(zhì)得出。必須熟記。要會(huì)證明。

一次函數(shù)y=kX+b(K≠0)

當(dāng)K>0時(shí)，在(一∞，+∞)上是增函數(shù)；

當(dāng)K<0時(shí)，在(一∞，+∞)上是減函數(shù)。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠o)

當(dāng)a>0時(shí)，在(一∞，一b/2a]上是減函數(shù)；

在[一b/2a，+∞)上是增函數(shù)。

當(dāng)a<O時(shí)，在(一∞，一b/2a]上是增函數(shù)；

在[一b/2a，+∞)上是減函數(shù)。

反比例函數(shù)y=k/X(K≠O)

當(dāng)K>0時(shí)，在(一∞，0)，(0，+∞)上都是減函數(shù)；

當(dāng)k<0時(shí)，在(一∞，0)，(0，+∞)上都是增函數(shù)。

反比例函數(shù)模型最易出錯(cuò)，如說函數(shù)y=2/X是減函數(shù)。錯(cuò)因是對函數(shù)的單調(diào)性定義“定義域上某區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)”理解不透，單調(diào)性是函數(shù)局部性質(zhì)，“定義域”內(nèi)很重要。X=0是函數(shù)無意義。糾錯(cuò)：①先確定定義域；②函數(shù)y=2/X是減函數(shù)沒指出區(qū)間。正確解讀：函數(shù)y=2/X在區(qū)間(一∞，O)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是減函數(shù)；③錯(cuò)寫為：函數(shù)y=2/Ⅹ在(一∞，0)∪(0，+∞)上是減函數(shù)。糾錯(cuò)：一個(gè)函數(shù)有幾個(gè)單調(diào)區(qū)間的，用逗號“，”連接，不能用符號“U'和漢字“或”。

一、證明函數(shù)的單調(diào)性

例：討論函數(shù)y=X+1/X在(O，+∞)上的單調(diào)性。

[解析]設(shè)X1，Ⅹ2是(0，+∞)上的任意兩個(gè)數(shù)，且X1<X2，則

f(X1)一f(X2)=……=X1一X2+1/X1一1/X2=(X1一X2)[Ⅹ1Ⅹ2一1)/X1Ⅹ2]

(此時(shí)X1X2一1的正負(fù)不能確定，要細(xì)分為(0，1]與[1，+∞)兩個(gè)區(qū)間。)

∵O<X1<X2，∴X1一X2<0，X1X2>0。

當(dāng)O<x1<X2<1時(shí)，x1x2一1<O，f(Ⅹ1)一f(X2)>0，即f(x1)>f(×2)，

函數(shù)在(0，1)上是減函數(shù)；

當(dāng)1≤X1<X2時(shí)，X1X2一1>0，

f(x1)一f(X2)<0，即f(X1)<f(X2)，函數(shù)在[1，+∞)上是增函數(shù)。

[解題步驟]按照①任?。涸O(shè)X1，X2∈D，且Ⅹ1<X2。

②作差：f(X1)一f(X2)

③變形：通分，分解因式，分解到能判斷正負(fù)號為止。

④判號。

⑤結(jié)論。f(X1)<f(X2)=>f(X)在D上是增函數(shù)；f(X1)>f(X2)=>f(X)在D上是減函數(shù)。

在判斷符號時(shí)，若不能確定，則必須細(xì)分。變形時(shí)要分解為不能再分解為止。

二、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

判斷復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))單調(diào)性的步驟：

①確定函數(shù)的定義域；

②分解函數(shù)為y=f(u)，u=g(Ⅹ)；

③分別確定兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；

④按“同增異減'確定函數(shù)的單調(diào)性。

例：求函數(shù)y=√(X2+X一6)的單調(diào)性。

[解析]函數(shù)的定義域?yàn)?一∞，一3]U[2，+∞)。

設(shè)y=√u，u=X2+X一6，y=√u在u∈[O，+∞)上為增函數(shù)，u=X2+X一6在(一∞，一1/2]上遞減，在[一1/2，+∞)上遞增。

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(一∞，一3]。

三、比較大小

若y=f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，則f(a2-a+2)與f(7/4)的大小關(guān)系是

[思路探尋]利用單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小，先比較自變量的大小。注意是同一單調(diào)區(qū)間上。

[解析]

∵a2一a+2=(a一1/2)2+7/4≥7/4

f(X)在(0，+∞)上是減函數(shù)，

∴f(a2一a+2)≤f(7/4)

四、解不等式

利用單調(diào)性求解含“f”的不等式，抓住兩點(diǎn)：①定義域(常被忽視而出錯(cuò))；②單調(diào)性。

例：已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范圍.

[思路探尋】不等式f(1-a)<f(2a-1)為抽象不等式,不能直接解,考慮到函數(shù)的單調(diào)性,可將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系,即轉(zhuǎn)化為具體不等式來求解。

【解析】由題意可知

一1<1一a<1且一1<2a-1<1,

解得0<a<1.①

又f(x)在(一1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1)

故1ーa>2a-1,即a<2/3②

由①②可知,0<a<2/3

即所求a的取值范國是0<a<3。

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