各位同學，在上期內(nèi)容《圓錐曲線完結(jié)篇——拋物線在高考中的奧秘所在（高三兄弟可收藏）》中葉老師將圓錐曲線的所有內(nèi)容都講解完畢并做了個總結(jié)，同學們可以回顧一下。今天葉老師將為各位同學講解一下高中階段令同學比較糾結(jié)的一塊內(nèi)容——軌跡方程，希望能夠?qū)Ω魑煌瑢W有所幫助！

作者簡介：葉老師，筆名“動人定理”，專職教師，數(shù)學學科研究員，目前擔任機構數(shù)學教研組組長及學生學業(yè)規(guī)劃師。曾供職合作于多家上市教育公司，對中高考數(shù)學考點有著深入認知與理解。擁有超過10000小時的高三畢業(yè)班學生一對一輔導經(jīng)驗。

導讀

在之前的一期內(nèi)容《高三總復習必記：高考熱門考點——軌跡方程的求法》中，葉老師向各位同學介紹了高中階段求解軌跡方程的幾種常見方法，各位也可以復習一下。前幾天有粉絲私信我，讓我進一步總結(jié)一下軌跡方程在高考中會出現(xiàn)哪些題型，并讓我總結(jié)一下何時需要對軌跡方程的變量x,y進行討論。根據(jù)葉老師以往的教學經(jīng)驗，動點軌跡方程在高考中的題型大致可分為六種。好了話不多說，下面我們來好好總結(jié)一下動點軌跡方程這六種?？碱}型吧！

動點軌跡方程中動點運動的六種情形

1.求到兩定點距離之和為定值的動點軌跡方程

條件及問題分析：在這樣的條件下，很多同學會想到橢圓的定義，于是乎便直接寫出動點的軌跡方程，這樣固然好，只不過希望同學們記住：只有當兩個定點關于原點對稱時，才可利用橢圓的定義進行求解。如果說兩個定點并不關于原點對稱的話，那么只能夠借助兩點間的距離公式列方程然后化簡了

下面我們來看一道例題：

分析：本題可先求得圓的圓心坐標與半徑，并利用直線平行同位角相等以及等腰三角形的性質(zhì)，將EB轉(zhuǎn)成與EA共線的線段ED，證明出結(jié)論。接下來將定值與|AB|進行比較并利用橢圓方程的定義進行求解

下面請看具體解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

2.求過定點的動直線與定圓的兩交點的中點軌跡方程

條件與問題分析：對于此類題型，同學們首先需要確定定點與定圓的位置關系，因為只有確定了它們的關系，才能確定動直線與定圓是否相交。最后利用垂徑定理并結(jié)合向量數(shù)量積公式進行求解。另外對于直線與圓的問題，我們通常不建議使用聯(lián)立方程消參的方法，因為太過繁瑣。

下面我們來看一道例題：

分析：本題先得利用圓C的方程求出圓心坐標以及半徑并設出M坐標，判斷出直線L與圓的關系后利用垂徑定理并結(jié)合向量的數(shù)量積公式進行求解。

下面請看具體的解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

3.求與一個圓內(nèi)切與另一個圓外切的動圓圓心軌跡方程

條件與問題分析：當求動圓圓心的軌跡方程時，首先需要確定兩個定圓的位置關系，然后再來確定動圓如何與之分別相切。另外最好設出動圓的半徑，這樣可以更好地表示出內(nèi)切外切的關系。

我們來看一道例題：

分析：先得判斷兩個定圓之間的位置關系，從而得到動圓p與圓M外切，與圓N內(nèi)切，然后利用圓心距和半徑的關系得到P到M和P到N的距離之和為定值，符合橢圓定義，從而得到軌跡方程。

下面請看具體解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

4.求三角形頂點的軌跡方程

條件與問題分析：在解決此類問題的時候，請同學們切記三角形的三個頂點A,B,C不能共線。因此在求出軌跡方程后，還得畫出圖形，并排除三點共線的情況。

下面請看一道例題：

分析：本題首先得注意B與C都是等腰三角形底邊的端點，因此就不需要討論誰為頂點的問題了。另外請各位同學一定注意，如果A,B,C三點共線的話，則無法構成三角形，因此在求出軌跡方程后還應該在軌跡方程中挖去使A,B,C三點共線的點。

下面請看具體解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

5.求兩個坐標軸上截距為定值的動圓圓心方程

條件與問題分析：同學們先得明確一點：此類問題與就類似于求解圓的弦長題目一般，也是要用到垂徑定理與勾股定理的。只不過此類問題中圓的弦正好落在x與y軸上，因此圓心到弦的距離，正好為圓心坐標的絕對值。根據(jù)這點我們便可利用勾股定理構造兩個關于半徑與弦長的方程，消去r后即可求解。

下面請看一道例題：

分析：本題可先判斷弦心距等于圓心坐標的絕對值，再利用勾股定理構建兩個關于半徑的等式，消去r后即得所求。

下面請看具體解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

6.求隨著曲線上動點的運動而有規(guī)律運動的動點軌跡方程

條件與問題分析：求此類問題時，通常設所求動點坐標為（x,y）,并且在已知曲線上找到另一個動點(x0,y0),利用題設條件建立兩個動點坐標之間的關系，也就是用x,y表示x0,y0.最后再將在已知曲線上運動的動點坐標帶入所給曲線中，即可獲得動點（x,y）的軌跡方程。

下面請看一道例題：

分析：本題可先設出在橢圓上的動點M的坐標，并表示N點坐標，利用向量的關系，確定M與P坐標之間的關系，最后用未知點P的坐標表示在曲線上的動點M的坐標。并將M帶入橢圓方程中，即可得到答案。

下面請看具體解析過程：

小結(jié)：對于此種類型的軌跡方程，葉老師想通過一張流程圖向大家說明一下應對方案：

寫在文末的話

經(jīng)過上述的總結(jié)，我們可以發(fā)現(xiàn)。這六種情形的軌跡方程題目，都是對之前直線與圓以及三種圓錐曲線知識的一種補充，同學們只有在熟悉前面知識的基礎上，才能夠輕松應對軌跡方程的問題。另外對于求解完軌跡方程后，是否要對其變量的范圍進行討論的問題，葉老師總結(jié)了如下幾點：

①軌跡方程題目中，出現(xiàn)動直線時，我們可以把動直線斜率是否存在作為討論范圍的判斷依據(jù)

②當題目中可以利用向量數(shù)量積公式求解出動點軌跡方程時，一般不需要對軌跡方程中變量的范圍進行討論。

③對于動圓內(nèi)外切的問題，在求解完軌跡方程后，最后畫出軌跡方程，并討論邊界情況是否存在

④對于隨著曲線上動點的運動而有規(guī)律運動的動點軌跡方程題目，由于是用已知點進行回帶的方法求解，因此原曲線方程的范圍，就是軌跡方程變量的范圍。

最后希望今天的內(nèi)容能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?/strong>