三角函數(shù)的相關知識們在中小學的時候就接觸了。實際上，在高中我們對三角函數(shù)的初等性質(zhì)研究得非常深入，有人也許會產(chǎn)生一種感覺，關于三角函數(shù)的一切問題都是中學習題級別的難度。

實際上，有很多看上去非常簡單和初等的關于三角函數(shù)的問題會非常難，甚至至今還屬于全人類都沒解決那種問題。比如今天介紹的一個關于正切函數(shù)tan問題。

提問：是不是有無限多個自然數(shù)n滿足不等式tan(n) > n

實際上，如果你經(jīng)常做關于自然數(shù)和三角函數(shù)結合的問題，你會感覺到，很多時候不是再研究問題本身，而是在研究圓周率π的性質(zhì)。這個問題也不會例外，對這個不等式的研究說不定能讓我們對這個神奇的無理數(shù)有更深刻的理解呢？

如果我們編程算一下，發(fā)現(xiàn)滿足tan(n) > n的自然數(shù)似乎非常非常的稀少。我們哆嗒數(shù)學網(wǎng)的小編用Python簡單暴力循環(huán)計算了一下，在100億以內(nèi)滿足這個不等式只有6個數(shù)，它們是：1 , 260515 , 37362253 , 122925461 , 534483448 , 3083975227 ，這些數(shù)看上去間隔越來越大。

import math

for n in range(1,10000000000):

if(math.tan(n)>n):

print(n,'   ',math.tan(n))

實際上，著名數(shù)列搜集網(wǎng)站OEIS上列出了滿足這個不等式的16個數(shù)（數(shù)列編號A249836），它們是：

1

260515

37362253

122925461

534483448

3083975227

902209779836

74357078147863

214112296674652

642336890023956

18190586279576483

248319196091979065

1108341089274117551

118554299812338354516058

1428599129020608582548671

4285797387061825747646013

關于這個不等式的研究，我們能找到的最新的成果是2014年Bellamy，Lagarias，Lazebnik三人合寫的4頁紙的文章 ( 見http://www.math./~lazebnik/papers/tan_n.pdf)。在文章里，它們證明了滿足不等式|tan(n)| > n 以及 tan(n) > n/4的自然數(shù)有無窮多個。這篇文章不難，用到的定理也不算太深，相當數(shù)量的大二以上的本科生應該能理解文章的方法。實際上這些人在1999年在《美國數(shù)學月刊》上也發(fā)表過關于這個問題的部分結果。這個雜志對發(fā)表內(nèi)容的層次要求不高，是愿意發(fā)表一些相對簡單的數(shù)學成果的。

現(xiàn)在的情況是，要解決這個問題，似乎要去找到一個n/π的小數(shù)部分和1/2的某種“性質(zhì)良好”的逼近，比如60515/π = 82924.49999917..., 37362253/π= 11892774.4999999915 等等。另外，從大部分人對π的小數(shù)展開某種“隨機性”直覺來猜想，不僅問題本身滿足tan(n) > n 的自然數(shù)n應該有無窮多個，甚至對任意自然數(shù)k，滿足足tan(n) > kn的自然數(shù)n也應該有無窮多個。

這樣的問題不是太深刻，比較簡單（至少目前涉及的深度來看），而且普通人只要學過高中都看的懂。真的非常適合普通的數(shù)學愛好者來做一做，如果有什么進展，那可是全人類第一次完成的“創(chuàng)舉”（哈哈……哈），到時候可是你得瑟的機會。