奇函數(shù)四則運(yùn)算以后該如何判斷函數(shù)的奇偶性？

hello，大家好，這里是擺渡學(xué)涯，很高興在這跟大家見(jiàn)面了，馬上要進(jìn)入期中考試了，你的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備到哪里了？這次課程咱們來(lái)講一下奇函數(shù)相關(guān)的變形考點(diǎn)，對(duì)于奇函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算該如何判斷函數(shù)的奇偶性呢？

1 已知f(x)為奇函數(shù)，判斷–f(x)的奇偶性

證明：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），因此-f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且-f（x）=f（-x），令g（x）=-f（x），則g（x）=-g（-x），即g（x）為奇函數(shù)，則-f（x）為奇函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知f（x）=x，-f（x）=-x，則-f（x）為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。（溫馨提示，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可證明出來(lái)哦。）

2 已知f(x)是奇函數(shù)，判斷f(-x)的奇偶性

證明：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），因此-f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且-f（x）=f（-x），令g（x）=-f（x），則g（x）=-g（-x），即g（x）為奇函數(shù)，則-f（x）為奇函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知f（x）=x，-f（x）=-x，則-f（x）為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。（溫馨提示，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可證明出來(lái)哦。）

3 已知f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，且定義域相同，判斷f(x)g(x)的奇偶性

證明：因?yàn)閒（x），g（x）為奇函數(shù)，所以f（x），g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此f（x）g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）g（x）=f（-x）g（-x），令h（x）=f（x）g（x），則h（x）=h（-x），即g（x）為偶函數(shù)，則f（x）g（x）為偶函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知f（x）=x，g（x）=-x，則f（x）g（x）=-x的平方為偶函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。

4 已知f(x)和g(x)是表達(dá)式不互為相反數(shù)奇函數(shù)，且定義域相同，判斷f(x)+g(x)的奇偶性

證明：因?yàn)閒（x），g（x）為奇函數(shù)，所以f（x），g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此f（x）+g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）+g（x）=-f（-x）-g（-x），令h（x）=f（x）+g（x），則h（x）=-h（-x），即g（x）為奇函數(shù)，則f（x）+g（x）為奇函數(shù)。注意：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式互為相反數(shù)的時(shí)候，此時(shí)的函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù)的奇偶性我們是不做要求的哦。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知f（x）=x，g（x）=2 x，則f（x）+g（x）=-3 x為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。

5 已知f(x)和g(x)是不相等的兩個(gè)奇函數(shù)，且定義域相同，判斷f(x)-g(x)的奇偶性

根據(jù)4相關(guān)的證明即可進(jìn)行相關(guān)的證明哦。證明過(guò)程留給你自己去證明了。咱們給出結(jié)論f（x）-g（x）沒(méi)有奇偶性（奇偶性不確定）。例如：f（x）=x的三次方，g（x）=x，f（x）-g（x）非奇非偶哦。完整的證明過(guò)程你一定要自己去寫一下哦，否則你還是不理解奇函數(shù)哦。如果你還是沒(méi)有證明出來(lái)，請(qǐng)跟我們一起交流遇到的困難哦。咱們下次課再見(jiàn)吧。當(dāng)然你也可以考慮一下函數(shù)的除法，自己給出證明的。