R語(yǔ)言中提供了很多概率函數(shù)，可以方便的計(jì)算事件發(fā)生的概率。如二項(xiàng)分布概率函數(shù)和泊松分布概率函數(shù)。本篇文章介紹如果使用R語(yǔ)言中的這些函數(shù)求解事件發(fā)生的概率。

概率函數(shù)和前綴

R語(yǔ)言中每個(gè)概率分布都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)名稱，例如二項(xiàng)分布是binmo，泊松分布是pois，正態(tài)分布是norm等等。每個(gè)函數(shù)都分別有四個(gè)不同的前綴，加上前綴可以生成隨機(jī)數(shù)，求解概率和臨界值等等。下面是四個(gè)前綴對(duì)應(yīng)功能的說(shuō)明。

r = random = 隨機(jī)

d= density = 密度

p= probability = 概率

q =quantile = 分位

二項(xiàng)分布概率

假設(shè)網(wǎng)站的Landingpage頁(yè)面中共有20個(gè)入口，那么我們預(yù)估每個(gè)入口被點(diǎn)擊的概率為1/20，即P=0.05。(實(shí)際情況會(huì)復(fù)雜一些，每個(gè)入口在頁(yè)面中的位置和展現(xiàn)的形式都會(huì)不一樣，一般首屏的入口比后面的入口會(huì)獲得更多點(diǎn)擊，圖片和按鈕形式的入口比文字類的入口更容易受到關(guān)注，導(dǎo)航和焦點(diǎn)圖和Action按鈕比其他類型的入口更容易被點(diǎn)擊。如有要獲得最真實(shí)的點(diǎn)擊概率，需要參考這個(gè)頁(yè)面中每個(gè)入口的歷史點(diǎn)擊概率數(shù)據(jù)，這里我們只是假設(shè)一種理想情況來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。)那么在10000次點(diǎn)擊中，關(guān)鍵按鈕獲得550次的概率是多少？

先來(lái)簡(jiǎn)單介紹下R語(yǔ)言中的二項(xiàng)分布函數(shù)和其中參數(shù)的含義，二項(xiàng)分布函數(shù)為binom，前綴d表示求密度，前綴p表示求累計(jì)概率。參數(shù)中X表示實(shí)驗(yàn)的成功次數(shù)，size表示實(shí)驗(yàn)次數(shù)，prob表示概率值。在這個(gè)例子中成功次數(shù)是550，實(shí)驗(yàn)次數(shù)是10000，概率為0.05。

#點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕恰好被點(diǎn)擊550次的概率

> dbinom(x = 550,size = 10000,prob = 0.05)

[1] 0.001362855

經(jīng)過(guò)計(jì)算10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕恰好被點(diǎn)擊550次的概率為0.0013，這只是550次這個(gè)事件發(fā)生的概率值，并不包含549次點(diǎn)擊和551次點(diǎn)擊。但實(shí)際情況中恰好獲得550并不是我們實(shí)際的目標(biāo)。因此我們換一種計(jì)算方法再來(lái)看下。

#點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕被點(diǎn)擊1-550次的概率

> sum(dbinom(x = 1:550,size = 10000,prob = 0.05))

[1] 0.9889429

在成功次數(shù)X中從之前的550變成了1:550，然后進(jìn)行sum求和。獲得從1點(diǎn)點(diǎn)擊到550次點(diǎn)擊的累計(jì)概率。從結(jié)果中可以看到概率高達(dá)0.98。這能說(shuō)明10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得550次點(diǎn)擊的概率非常高嗎？我們能信心滿滿的說(shuō)獲得550次點(diǎn)擊是個(gè)高概率事件嗎？恐怕還不行。因?yàn)檫@是一個(gè)累計(jì)概率值，是從1次到550次的匯總。但我們的目標(biāo)是獲得550次或更多的點(diǎn)擊，那么550次以下的點(diǎn)擊量概率其實(shí)是我們不需要的。因此實(shí)際的概率值沒(méi)有這么高。

> pbinom(q = 550,size = 10000,prob = 0.05)

[1] 0.9889429

計(jì)算積累概率值還有一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法就是在二項(xiàng)分布概率函數(shù)的前面加前綴p，就可以自動(dòng)獲得550次點(diǎn)擊的累計(jì)概率值了。結(jié)果與前面的方法一致。

#點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得500次到550次區(qū)間的點(diǎn)擊的概率

> sum(dbinom(x = 500:550,size = 10000,prob = 0.05))

[1] 0.4953496

前面兩種方法獲得的概率值一個(gè)太低，一個(gè)太高。還有一種方法是只計(jì)算某個(gè)區(qū)間的概率值，這里我們將獲得點(diǎn)擊的次數(shù)限定在500次——550次之間，來(lái)求這一區(qū)間的概率值。從結(jié)果來(lái)看10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得500次——550次點(diǎn)擊的概率為0.49。

#點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕分別獲得500次到550次點(diǎn)擊的概率

> dbinom(x = 500:550,size = 10000,prob = 0.05)

[1] 0.018301669 0.018265138 0.018190454 0.018078155 0.017929014 0.017744025 0.017524393 0.017271524 0.016987006 0.016672594 0.016330195

[12] 0.015961845 0.015569690 0.015155968 0.014722985 0.014273095 0.013808680 0.013332131 0.012845824 0.012352105 0.011853270 0.011351550

[23] 0.010849097 0.010347966 0.009850108 0.009357356 0.008871418 0.008393869 0.007926149 0.007469553 0.007025237 0.006594211 0.006177343

[34] 0.005775361 0.005388857 0.005018291 0.004663995 0.004326183 0.004004957 0.003700313 0.003412150 0.003140280 0.002884435 0.002644275

[45] 0.002419399 0.002209352 0.002013632 0.001831702 0.001662993 0.001506913 0.001362855

以上是點(diǎn)擊量500次——到550次分解的概率值，0.49的概率值由以上的各個(gè)概率匯總而來(lái)。

#點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得550次以上點(diǎn)擊的概率

> sum(dbinom(x = 551:10000,size = 10000,prob = 0.05))

[1] 0.01105708

再來(lái)看最開(kāi)始的問(wèn)題，10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得550次點(diǎn)擊的概率。550次以下的點(diǎn)擊不是我們希望的結(jié)果，因此我們?cè)賮?lái)看下點(diǎn)擊量超過(guò)550次的概率有多少。從結(jié)果來(lái)看獲得點(diǎn)擊量在551次——10000次的概率僅為0.011，因此獲得超過(guò)550次以上的點(diǎn)擊的概率比較低。

點(diǎn)擊率0.05的情況下10000次點(diǎn)擊中關(guān)鍵按鈕獲得550次以上點(diǎn)擊的概率

> 1-pbinom(q = 550,size = 10000,prob = 0.05)

[1] 0.01105708

由于從0到10000次點(diǎn)擊的所有概率為1，因此用1減550次以下的概率值也能獲得相同的結(jié)果。

泊松分布概率

假設(shè)在一次市場(chǎng)活動(dòng)中，上一個(gè)小時(shí)中有40個(gè)用戶注冊(cè)，那么下一個(gè)小時(shí)有50個(gè)用戶注冊(cè)的概率是多少？

這里需要使用泊松分布概率函數(shù)，泊松分布函數(shù)是pois，第一個(gè)參數(shù)x是下一個(gè)時(shí)間段事件發(fā)生的次數(shù)，lambda是上一個(gè)時(shí)間段事件發(fā)生的次數(shù)。在這個(gè)例子中x=50，lambda=40。

#上一小時(shí)產(chǎn)生40個(gè)注冊(cè)用戶，下一小時(shí)產(chǎn)生恰好50個(gè)注冊(cè)用戶的概率

> dpois(x = 50,lambda = 40)

[1] 0.01770702

經(jīng)過(guò)計(jì)算，下一個(gè)小時(shí)恰好有50個(gè)注冊(cè)用戶的概率為0.017。與二項(xiàng)分布中的問(wèn)題一樣，0.017是恰好50個(gè)用戶的概率。不是49個(gè)用戶也不是51個(gè)用戶的概率。

#上一小時(shí)產(chǎn)生40個(gè)注冊(cè)用戶，下一小時(shí)產(chǎn)生1-50個(gè)注冊(cè)用戶的概率

> sum(dpois(x = 1:50,lambda = 40))

[1] 0.947372

把下一小時(shí)注冊(cè)用戶的數(shù)量改為1:50，并進(jìn)行求和，獲得了下一個(gè)小時(shí)獲得1-50個(gè)注冊(cè)用戶的累計(jì)概率值。這個(gè)值有0.94。但我們的目標(biāo)是50個(gè)注冊(cè)用戶，雖然概率很高但低于50的事件發(fā)生并不是我們的目標(biāo)。

> ppois(q = 50,lambda = 40)

[1] 0.947372

這是另一種計(jì)算方法，把泊松分布函數(shù)的前綴換為p，計(jì)算50個(gè)注冊(cè)用戶的累計(jì)概率值，結(jié)果與前面的方法一致。

#上一小時(shí)產(chǎn)生40個(gè)注冊(cè)用戶，下一小時(shí)產(chǎn)生40-50個(gè)注冊(cè)用戶區(qū)間的概率

> sum(dpois(x = 40:50,lambda = 40))

[1] 0.4684008

前一小時(shí)40個(gè)注冊(cè)用戶，后一個(gè)小時(shí)目標(biāo)50個(gè)注冊(cè)用戶，我們來(lái)看下下一個(gè)小時(shí)注冊(cè)用戶是40-50這個(gè)區(qū)間的概率是多少。經(jīng)過(guò)計(jì)算這個(gè)區(qū)間發(fā)生的概率為0.46。

#上一小時(shí)產(chǎn)生40個(gè)注冊(cè)用戶，下一小時(shí)分別產(chǎn)生40-50個(gè)注冊(cè)用戶的概率

> dpois(x = 40:50,lambda = 40)

[1] 0.06294704 0.06141175 0.05848738 0.05440686 0.04946078 0.04396514 0.03823056 0.03253664 0.02711387 0.02213377 0.01770702

這里顯示了40-50個(gè)注冊(cè)用戶分別的發(fā)生概率，0.46的概率值由以上各個(gè)概率值匯總計(jì)算獲得。

#上一小時(shí)產(chǎn)生40個(gè)注冊(cè)用戶，下一小時(shí)產(chǎn)生50個(gè)注冊(cè)用戶以上的概率

> 1-ppois(q = 50,lambda = 40)

[1] 0.05262805

最后再來(lái)看下下一個(gè)小時(shí)注冊(cè)用戶數(shù)量超過(guò)50的概率。用1減去50個(gè)用戶的累計(jì)概率值就是超過(guò)50個(gè)注冊(cè)用戶發(fā)生的概率，計(jì)算結(jié)果是0.052，因此下一個(gè)小時(shí)獲得超過(guò)50個(gè)注冊(cè)用戶的概率不高。