歐拉恒等式被稱為數(shù)學中最美麗的公式之一，它把數(shù)學中幾個看似沒有聯(lián)系的數(shù)：圓周率π、自然常數(shù)e、虛數(shù)單位i、0和1 結(jié)合到了一個式子中。

當小見第一次看到這個式子時雖然一臉懵逼，但還是被它的完美震撼到了。它的推導過程對學過微積分的人來說不太困難，其實要證明歐拉公式，在你沒有高等數(shù)學知識的情況下是幾乎不可能的。對于沒學過冪級數(shù)的人來說，首先要知道一個初等函數(shù)展開定理，一個函數(shù)f（x）如果是一個初等函數(shù)（就是中學階段學過的所有函數(shù)），且在x=0處鄰域（-r，r）內(nèi)存在任意階導數(shù)，那么f（x）在x=0處可以展開成冪級數(shù)，展開式為：

看不懂？沒關(guān)系，這里只是介紹一下初等函數(shù)的展開定理。就是通過這個定理可以把冪函數(shù)e^x和三角函數(shù)sinx、cosx展開成冪級數(shù)：

這三個公式分別為其省略余項的麥克勞林公式，它們都是泰勒公式的一種特殊形式。雖然讀者可能看到這里不懂得為什么，但你只要知道這三個式子是通過上面的初等函數(shù)展開定理得來的就行了，不必自己算。當e的指數(shù)x替換成ix，即實數(shù)變量變成了純虛數(shù)變量時，可寫出：

所以結(jié)合虛數(shù)單位和上面的正余弦函數(shù)展開式得到一般形式的歐拉公式：

當x=π時，因為cosπ=-1，sinπ=0，所以就這樣在沒有利用高等數(shù)學中微積分知識和復平面圓周運動知識的情況下便證明出了歐拉恒等式：