大家好！感謝閱讀本雞的拙作。

本文專為初學(xué)微積分的選手選手設(shè)計(jì)，需要復(fù)習(xí)微積分概念的，也很適合。

沒有晦澀的證明，只說人話。

一個(gè)例子基本上可以說明數(shù)列所有的事，定義和極限存在法則?，F(xiàn)在想想pi，圓周率。你肯定能寫出來十進(jìn)制表達(dá)式π=3.1415926........。現(xiàn)在你這樣寫，先寫3.1，再寫3.14，.......

這就得到一個(gè)序列，因?yàn)檫@一坨東西，每一個(gè)都是數(shù)，并且可以說第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)......

要理解，這實(shí)際上是一個(gè)映射，或者說函數(shù)，也就是用全體自然數(shù)，給特定的一坨數(shù)，貼上唯一的標(biāo)簽。你如果恰好懂“可列”這個(gè)詞，那就太好了。如果不懂，暫時(shí)影響也不大；可以看本雞的拙作“菜雞速通微積分：自然數(shù)、有理數(shù)、奇數(shù)等等都一樣多！一句話的事”。提這件事的目的在于，讓你體會(huì)，數(shù)列的極限與函數(shù)的極限，基本上是一回事。

現(xiàn)在我們避開討論一個(gè)困難的問題，就是你到底能不能寫出來，實(shí)際上你寫不出來，重要的是，你寫不出來也不要緊。π只是一個(gè)符號(hào)，代表著圓周率。所有的無理數(shù)你都不知道確切的數(shù)值，但是無理數(shù)一定有其存在的意義：比如圓周率就是圓周長除以半徑，這是比率的意思。

回來繼續(xù)說。如果一系列數(shù)，最終能趨于一個(gè)數(shù)，就說那個(gè)數(shù)是數(shù)列的極限。記號(hào)在上面圖里面最后一行，如果極限是實(shí)數(shù)L，那么就寫

現(xiàn)在，重點(diǎn)來了。不難，但請別讀太快。epsilon-N語言來了。先把這一列數(shù)，畫出來。

仔細(xì)看圖。

馬上可以說單調(diào)收斂準(zhǔn)則：數(shù)列單調(diào)有界必收斂。

現(xiàn)在，明擺著，雖然不知道π的具體值，但是，這個(gè)數(shù)列，最后的確會(huì)趨于π。原因是，比方說，如果你只觀察到第二項(xiàng)，那么可以說π在3.1和3.15之間；觀察到第三項(xiàng)以后，就可以說π在3.14和3.142之間，以此類推。后面說成是夾逼準(zhǔn)則。

這樣就能抽象出來幾件事：

1.定義。不論給定多么小的一個(gè)數(shù)，記作epsilon，總有一個(gè)自然數(shù)N（項(xiàng)的下標(biāo)，就是第幾個(gè)的意思），使得有一個(gè)實(shí)數(shù)（現(xiàn)在是π），與第N+1項(xiàng)以后所有項(xiàng)的數(shù)值，差別不會(huì)超過epsilon。寫出來，就是：

讀作：任給一個(gè)epsilon，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，an與L的差不超過epsilon。

這就是所謂epsilon-N條件---L就是極限。也說數(shù)列收斂。這就是嚴(yán)格的數(shù)列極限定義。這里有一個(gè)很大的邏輯上的困難，最后再說。

2.定理

仍然看圓周率的圖像，還有上面的表達(dá)式，就可以說，從第N+1項(xiàng)以后所有項(xiàng)，落在極限周圍任意小的鄰域（范圍內(nèi)）。你能看懂下面這個(gè)圖了。

這個(gè)圖告訴我們很多事

“去掉數(shù)列的前面（或者隨便哪些）任意有限項(xiàng)，不改變其收斂性”；因?yàn)槌擞邢揄?xiàng)，數(shù)值都在特定范圍內(nèi)。

并且“收斂序列一定有界，并且最終有界”；等價(jià)的“最終無界數(shù)列不收斂”這種情況麻煩些，序列可能趨于正無窮，或者負(fù)無窮，或者不斷在正負(fù)無窮這兩個(gè)東西跳來跳去。

柯西準(zhǔn)則：從N開始，任意兩項(xiàng)差別任意小。這簡直是廢話。

夾逼準(zhǔn)則：回憶分割線上面的一段，觀察下面的圖，明擺著三個(gè)序列都收斂到π。這就是某序列被夾在兩個(gè)序列之間，這兩個(gè)序列有相同的極限，那么就逼著序列an有相同的極限。

本文的主題到此結(jié)束。下面多說幾句。

前面有個(gè)巨大的困難，如果你事先不能明確有個(gè)東西叫做π，那么數(shù)列收斂到什么？這里涉及兩個(gè)原則性的大問題：

1.實(shí)數(shù)的分析（極限）運(yùn)算性質(zhì)，完備性和連續(xù)性。意思是實(shí)數(shù)列如果收斂，那么極限是實(shí)數(shù)。以及，任何實(shí)數(shù)，都唯一對應(yīng)著數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)軸沒有縫隙。

你可能說，廢話，誰不知道π？你可拉倒吧，世界上沒讓人能寫出π的十進(jìn)制表達(dá)式。據(jù)說有人能背出上萬位，但是，只要停下來，就是有限位，這就是有理數(shù)！為了避免篇幅，不去談稠密性。所以，如果沒有事先定義好π，e，根號(hào)2，.......你根本一步都走不了。

2.實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（域）性質(zhì)，你要談四則運(yùn)算法則，以及分配律。這里說的就是三件事：實(shí)數(shù)關(guān)于加法是Abel群，除去0以后對乘法也是Abel群，乘法對加法有左右分配律。極限也要做代數(shù)運(yùn)算，比如極限的和差積商。

此外，實(shí)數(shù)還必須能夠比較大小，否則你不能使用不等式來說事。

一句話，”實(shí)數(shù)集是具有上確界性質(zhì)的有序域“。這就是是微積分絕對的基礎(chǔ)；類似的，復(fù)數(shù)集也類似有完備性域性質(zhì)，但有明顯區(qū)別，復(fù)數(shù)不能直接比較大小。這是復(fù)分析的基礎(chǔ)。因此，真正有水平的書，都會(huì)花大力氣，從邏輯上定義實(shí)數(shù)。比如

素材還取自J.stewart的書，

以及同濟(jì)高數(shù)。