冪函數(shù)的擴(kuò)展形式

f(x) = xn的導(dǎo)數(shù)：f’(x) = nxn-1，n是整數(shù)，該公式對(duì)f(x) = xm/n, m,n 是整數(shù)同樣適用。

推導(dǎo)過程：

兩端同時(shí)求導(dǎo)，由于y是x的函數(shù)，根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：

什么是隱函數(shù)

引自知乎：

“如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)。

“本質(zhì)上F(x,y)=0函數(shù)y=f(x)是一樣的，但是在數(shù)學(xué)理論中，總有一些函數(shù)，人們已經(jīng)證明它們的函數(shù)關(guān)系，但是還是無法表示成顯函數(shù)的形式，就叫做隱函數(shù)。隱函數(shù)一般是一個(gè)含x,y的方程如e^y+x^2+x=0這種形式，由于形式復(fù)雜，y不容易變形為用含x的式子表示，即不易表示為y=f(x)，但如果能確定對(duì)于x的每一取值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)的話，y就是x的函數(shù)關(guān)系，但這樣的關(guān)系隱含在方程中，不容易寫成明顯的函數(shù)關(guān)系的形式，所以稱隱函數(shù)?！?/p>

示例1：x2 + y2 = 1求導(dǎo)

對(duì)x2 + y2 = 1，y >= 0求導(dǎo)

解法1：y = (1-x2)1/2

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，

解法2：y2 = 1 – x2，y是x的函數(shù)，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)：

解法3：隱函數(shù)保持不變，直接對(duì)等式兩側(cè)求導(dǎo)：

示例2：y4 + xy2 – 2 = 0求導(dǎo)

用顯示求導(dǎo)方法將麻煩到一定程度，所以直接使用隱示求導(dǎo)：

到此，隱示法求解的結(jié)果還是隱示，但似乎沒有必要再把y用x替換，當(dāng)需要求解f(x,y)=y4+xy2-2=0在某一點(diǎn)(x0,y0)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需要將x0,y0代入即可；如果只給出x0，也可以通過簡單的代入法求出對(duì)應(yīng)的y0，再代入隱示結(jié)果。