導(dǎo)數(shù)是高數(shù)中的重要概念，被應(yīng)用于多種學(xué)科。

從物理意義上講，導(dǎo)數(shù)就是求解變化率的問題；從幾何意義上講，導(dǎo)數(shù)就是求函數(shù)在某一點(diǎn)上的切線的斜率。

我們熟知的速度公式：v = s/t，這求解的是平均速度，實(shí)際上往往需要知道瞬時(shí)速度：

當(dāng)t趨近于t0，即t-t0趨近于0時(shí)，得到的就是順時(shí)速度。設(shè)Δt=t-t0，s是t的函數(shù)s=f(t)，瞬時(shí)速度用數(shù)學(xué)表示就是：

為什么s=f(t)呢？請看下圖：

將橫軸作為距離，以時(shí)間為單位分隔，在t0時(shí)間經(jīng)過的距離是f(t0)=S0，在t時(shí)間經(jīng)過的距離是f(t)=s

在幾何上，如下圖所示：

直線a與曲線相切于點(diǎn)Q，直線b與曲線相割于點(diǎn)Q和點(diǎn)P。b的斜率，k=(y-y0)/(x-x0)，當(dāng)b以Q為軸心沿著曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)，鉉長|PQ|趨近于0，即x->x0時(shí)，極限存在：

有上述兩個(gè)問題可以看出，變化率和切線的問題都可以歸結(jié)為下面的公式：

定義Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0)，上面的公式可以寫成：

由此得出導(dǎo)數(shù)的概念，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx->0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f’(x0) ：

也記作：

簡寫為：

1/x求導(dǎo)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，代入f(x) = 1/x

這就OK了，所以說導(dǎo)數(shù)很簡單，因?yàn)樗鼉H有一個(gè)公式，但沒完，因?yàn)樯鲜經(jīng)]有任何意義，僅僅是看起來更復(fù)雜了。如果我們直接觀察導(dǎo)數(shù)公式，對于所有求導(dǎo)，當(dāng)Δx->0時(shí)，分母為0，所以必須將導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步簡化。

需要注意的是，求f’(x)的完整說法是求f(x)在定義域某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，所以x是已知的，求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然要知道這個(gè)點(diǎn)是什么。

求切線所在三角形的面積

如下圖所示，直線MN是曲線1/x的切線，切點(diǎn)是(x0,y0)，求S△MON

S△MON = 1/2(MO * ON)，已知條件是切點(diǎn)(x0,y0)，需要求解的未知條件是MO和NO。

直線MN的公式是y=kx+b，根據(jù)上節(jié)的介紹，1/x在（x0,y0）的導(dǎo)數(shù)是MN的斜率 -1/x02，代入得：

y0=-1/x02 + b =>

1/x0 = (-1/x02) x0+ b =>

b = 2/x0

設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,0)，代入y=kx+b得：

0=(-1/x02)x+2/x0 => x = 2x0

即OM = 2x0

同理，MO=2y0

S△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x02y0) = 1/2(2x0)(2/x0) = 2

冪函數(shù)求導(dǎo)

f(x) = Xn的導(dǎo)數(shù)：f’(x) = nxn-1

例：(3x6)’ = 3 * 6x6-1 = 18x5

該公式可以擴(kuò)展到多項(xiàng)式中：

(3x3 + 6x10)' = 3 * 3x3-1 + 6 * 10 x10-1 = 9x2 + 60x9

sin和cos求導(dǎo)

下面是sinx和cosx的去曲線圖：

sinx

cosx

sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1

求導(dǎo)時(shí)需要用到幾個(gè)公式：

1、2不解釋，3、4后面會給出證明：

(sinx)’

(cosx)’

為什么會有公式3、4

，需要從幾何意義上證明。

上圖是一個(gè)單位圓，將Δx用θ替換。由于單位圓r=1，弧長MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。

公式3：

當(dāng)θ趨近于0時(shí)，PN比弧長MN更快地趨近于0，所以公式3成立。

公式4：sinθ=MP/OM=MP. 當(dāng)θ趨近于0時(shí)，MP越來越趨近與MN（趨近但不等于0），所以：

函數(shù)可導(dǎo)的條件

如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導(dǎo)呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在且相等。這實(shí)際上是按照極限存在的一個(gè)充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導(dǎo)而來。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

下面是兩個(gè)不可導(dǎo)的例子：

f(x)=x1/3

f(x)=x1/3，f’(x)=x-2/3/3在x=0處分母為0，所以在x=0處不可導(dǎo)。實(shí)際上該函數(shù)在x=0處的切線是y軸，導(dǎo)數(shù)趨近于無窮，不符合導(dǎo)數(shù)的定義。

f(x)=|x|

幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線。更準(zhǔn)確地說，當(dāng)切線經(jīng)過曲線上的某點(diǎn)（即切點(diǎn)）時(shí)，切線的方向與曲線上該點(diǎn)的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0點(diǎn)時(shí)，曲線沒有唯一方向，即在x=0點(diǎn)沒有切線，所以該函數(shù)在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)。

總結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：描述變化率，幾何意義：切線的斜率

2.導(dǎo)數(shù)公式:

3.基本函數(shù)求導(dǎo)公式

1) (C)’ = 0

2) (1/x)’ = -1/x2

3) (xn)’ = nxn-1

4) (sinx)’ = cosx

5) (cosx)’=-sinx

4.可導(dǎo)的充要條件，它的左右極限存在且相等；可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。