臨界狀態(tài)的情況貫穿在物理各個(gè)方面的習(xí)題中，學(xué)會(huì)運(yùn)用受力分析及向心力公式解決圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題，最重要的是要會(huì)分析判斷臨界時(shí)的速度和受力特征。

基礎(chǔ)知識(shí)：在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題的三種模型

1、如圖所示，小球在繩或軌道內(nèi)圈豎直平面作圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn)的情況（繩或者軌道內(nèi)圈只能對(duì)小球產(chǎn)生向下的拉力或者壓力）

（1）臨界受力的條件：繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用

（2）能過最高點(diǎn)速度的條件：v≥√（Rg），

當(dāng)v_臨界＝√（Rg）時(shí)，繩對(duì)球拉力為0，軌道對(duì)球力為0。

當(dāng)v＞√（Rg）時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力。

（3）不能過最高點(diǎn)的速度條件：v＜v_臨界（實(shí)際上球沒到圓周軌道最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道，掉下來了）。

2、如圖所示情形，小球與輕質(zhì)桿相連。桿與繩力的情況不同，桿既能產(chǎn)生拉力，也能產(chǎn)生壓力

（1）能過最高點(diǎn)v臨界＝0，此時(shí)支持力N＝mg

（2）當(dāng)0＜v＜√（Rg）時(shí)，N為支持力，有0＜N＜mg，且N隨v的增大而減小

（3）當(dāng)v＝√（Rg）時(shí)，N＝0

（4）當(dāng)v＞√（Rg），N為拉力，有N＞0，N隨v的增大而增大

例題、過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R?=2.0m,R?=1.4m。一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以V。=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L?=6.0m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10m/s2，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求

（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；

（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R?應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離。

解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁

根據(jù)動(dòng)能定理

-μmgL?-2mgR?=（1/2）mv?2-（1/2）mv。2 ①

小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，

根據(jù)牛頓第二定律

F+mg=m（V?2/R?） ②

由①②得

F=10.0N ③

軌道對(duì)小球的作用力F的方向是豎直向下的

（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，

由題意: 小球恰能通過第二圓形軌道（臨界狀態(tài)），

軌道對(duì)小球的作用力F為零

mg=m（V?2/R?） ④

又根據(jù)動(dòng)能定理，

-μmg（L?+L）-2mgR?=（1/2）mv?2-（1/2）mv。2 ⑤

由④⑤得

L=12.5m ⑥

（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道（臨界狀態(tài)），

軌道對(duì)小球的作用力F為零

設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足

mg=m（V?2/R?） ⑦

又根據(jù)動(dòng)能定理，

-μmg（L?+2L）-2mgR?=（1/2）mv?2-（1/2）mv。2 ⑧

由⑥⑦⑧得

R?=0.4m

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理

-μmg（L?+2L）-mgR?=0-（1/2）mv。2

解得 R?=1.0m

此時(shí)小球已經(jīng)不能上到軌道的最高點(diǎn)，這個(gè)軌道是半徑較大中的最小值情況，此時(shí)小球上升的臨界狀態(tài)是：剛好上升到和圓心同樣的高度（運(yùn)動(dòng)1/4圓周）時(shí)（小球不脫離軌道），速度減小為0，然后又沿著原路返回。

小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑還可以再大，這時(shí)運(yùn)動(dòng)的最大高度不變，但運(yùn)動(dòng)的圓周會(huì)比1/4圓周小。

為了保證圓軌道不重疊，如圖所示，

R₃最大值（軌道的臨界情況）應(yīng)滿足（直角三角形O?O?F）

（R?+R?）2=L2+（R?-R?）2

解得 R₃=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

在軌道半徑較小的時(shí)候，小球可以通過最高點(diǎn)，第三個(gè)圓軌道的半徑滿足下面的條件：

0＜R?≤0.4m

當(dāng)軌道半徑較大的時(shí)候，小球通不過軌道最高點(diǎn)，沿著軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)（不是軌道的最高），速度為0，然后沿軌道原路返回， 這時(shí)第三個(gè)圓軌道的半徑滿足下面的條件：

1.0m≤R?≤27.9m

當(dāng)0＜R?≤0.4m 時(shí)，

小球通過軌道最高點(diǎn)，小球最終停留點(diǎn)E與起始點(diǎn)A的距離為L′，其位置在D點(diǎn)的右側(cè)，則

對(duì)起點(diǎn)A到終點(diǎn)靜止，整個(gè)過程用動(dòng)能定理，

-μmgL′=0-（1/2）mv。2

L′=36.0m

即：停留在D點(diǎn)右側(cè)L＇-（L ?+2L）=5m E點(diǎn)處

當(dāng) 1.0m≤R?≤27.9m 時(shí)，

小球通不過軌道最高點(diǎn)，沿著軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)，速度為0，然后沿軌道原路返回，小球最終停留點(diǎn)應(yīng)該在D點(diǎn)的左側(cè)E處，

由前一問可知，小球可以在水平面上運(yùn)動(dòng)的距離是5米，

沿軌道原路返回向左運(yùn)動(dòng)，

所以，小球最終停留點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)5米處，

∴小球最終停留點(diǎn)E與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則

L〞=（L ?+2L）-5=26m

小結(jié)：例題是三個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)相連接，其中會(huì)用到動(dòng)能定理的關(guān)系式，最主要的是有幾個(gè)臨界狀態(tài)：物體通過圓周軌道最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)；不能上到最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)；軌道最大的臨界狀態(tài)（圓形軌道間不相互重疊）；小球不能脫離軌道；物體左右運(yùn)動(dòng)方向改變；運(yùn)動(dòng)情況的多樣性的等狀況。要求對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)非常熟悉，還要有豐富空間的想象力，并且能畫出運(yùn)動(dòng)圖做輔助分析。